1、高等数学一自考真题 2013 年 07 月及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.下列函数中为偶函数的是_ A （分数：2.00）A.B.C.D.2.已知 f“(x 0 )=0，则当 xx 0 时，f(x)-f(x 0 )是 x-x 0 的_（分数：2.00）A.同阶无穷小B.等阶无穷小C.低阶无穷小D.高阶无穷小3.设f(x)dx=sinx+C，则 f(x)=_（分数：2.00）A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.cosx+xsinxD.cosx-xsinx4.无
2、穷限反常积分 _ A-1 B C （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 D 是由曲线 x 2 +y 2 =4 与两个坐标轴所围成的第一象限部分的平面区域，则二重积分 _ A B （分数：2.00）A.B.C.D.三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6.设函数 ，则 （分数：3.00）7.曲线 y=e x 在点(0，1)处的切线方程为 1 （分数：3.00）8.已知某商品的收益函数为 （分数：3.00）9.函数 f(x)=x 2 -2x-4 在闭区间-3，2上的最大值是 1 （分数：3.00）10.曲线 （分数：3.00）11.定积
3、分 （分数：3.00）12.微分方程 y“=x(1+y 2 )的通解是 1 （分数：3.00）13.不定积分 （分数：3.00）14.设函数 z=x y-1 ，则偏导数 （分数：3.00）15.设函数 （分数：3.00）五、计算题(一)(总题数：5，分数：25.00)16.设函数 （分数：5.00）_17.求极限 （分数：5.00）_18.求函数 f(x)=2x 2 -lnx 的单调区间 （分数：5.00）_19.计算定积分 （分数：5.00）_20.求不定积分x 2 lnxdx （分数：5.00）_六、计算题(二)(总题数：3，分数：21.00)21.求函数 y=x x 的二阶导数 y“ （
4、分数：7.00）_22.计算定积分 （分数：7.00）_23.计算二重积分， ，其中 D 是由曲线 y=x 2 与直线 y=x 围成的区域，如图所示 （分数：7.00）_七、应用题(总题数：1，分数：9.00)已知某厂生产某种产品 Q 件时的总成本为 C(Q)=1200+2Q(万元)，又需求函数为 （分数：9.00）(1).求需求价格弹性函数（分数：4.50）_(2).求最大利润（分数：4.50）_八、证明题(总题数：1，分数：5.00)24.证明：当 x0 时， （分数：5.00）_高等数学一自考真题 2013 年 07 月答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选
5、择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.下列函数中为偶函数的是_ A （分数：2.00）A.B. C.D.解析：考点 本题考查函数奇偶性 解析 对 2.已知 f“(x 0 )=0，则当 xx 0 时，f(x)-f(x 0 )是 x-x 0 的_（分数：2.00）A.同阶无穷小B.等阶无穷小C.低阶无穷小D.高阶无穷小 解析：考点 本题考查无穷小量的比较 解析 3.设f(x)dx=sinx+C，则 f(x)=_（分数：2.00）A.sinx+xcosx B.sinx-xcosxC.cosx+xsinxD.cosx-xsinx解析：考点 本题考查导数的四
6、则运算 解析 对等式两边求导得 f(x)=(xsinx)“=x“sinx+x(sinx)“=sinx+xcosx4.无穷限反常积分 _ A-1 B C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：考点 本题考查第二换元积分法，反常积分 解析 5.设 D 是由曲线 x 2 +y 2 =4 与两个坐标轴所围成的第一象限部分的平面区域，则二重积分 _ A B （分数：2.00）A.B.C. D.解析：考点 二重积分的性质 1 解析 三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6.设函数 ，则 （分数：3.00）解析： 考点 复合函数的运算 解析 令
7、，则 7.曲线 y=e x 在点(0，1)处的切线方程为 1 （分数：3.00）解析：y=x+1 考点 函数微分的几何意义 y=f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 ) 解析 y=e 0 +e x0 | x0=0 (x-0)=x+18.已知某商品的收益函数为 （分数：3.00）解析：0 考点 R(P)的导数为边际收益，复合函数的链式求导法则 解析 9.函数 f(x)=x 2 -2x-4 在闭区间-3，2上的最大值是 1 （分数：3.00）解析：11 考点 函数的最值 解析 f“(x)=2x-2，令 f“(x)=0 得 x=1， 列表： x -3 1 2 f(x) 11 -5 -4 故最
8、大值为 f(-3)=1110.曲线 （分数：3.00）解析： 考点 曲线的水平渐近线 解析 11.定积分 （分数：3.00）解析：4 考点 在对称区间上，奇函数的积分为 0，牛顿莱布尼茨公式 解析 12.微分方程 y“=x(1+y 2 )的通解是 1 （分数：3.00）解析： 考点 可分离变量的微分方程 解析 13.不定积分 （分数：3.00）解析： 考点 基本积分公式 解析 14.设函数 z=x y-1 ，则偏导数 （分数：3.00）解析：x y-1 lnx 考点 偏导数的运算 解析 把 z 看成常数，此时 z=x y-1 是 y 的指数函数，所以 15.设函数 （分数：3.00）解析： 考
9、点 全微分与偏导数的关系 解析 ， 所以 ， 故 五、计算题(一)(总题数：5，分数：25.00)16.设函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：a=5，b=3 考点 函数在一点的单侧连续性 解析 因为 f(x)在点 x=0 处连续，所以 ， 又 17.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：e 3 考点 函数的重要极限 解析 18.求函数 f(x)=2x 2 -lnx 的单调区间 （分数：5.00）_正确答案：()解析：f(x)在 内递减，在 内递增 考点 函数单调性的判定 解析 函数 f(x)的定义域为(0，+)， 令 ，得 或 (舍)， 在区间 内 f“(x)0，区间 内
10、f“(x)0， 故 f(x)在 内递减，在 19.计算定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 考点 牛顿莱布尼茨公式 解析 20.求不定积分x 2 lnxdx （分数：5.00）_正确答案：()解析： 考点 分部积分法 解析 六、计算题(二)(总题数：3，分数：21.00)21.求函数 y=x x 的二阶导数 y“ （分数：7.00）_正确答案：()解析：y“=x x (ln+1) 2 +x x-1 考点 高阶导数的求法 解析 y=x x =e xlnx ，y“=x x (lnx+1)， 22.计算定积分 （分数：7.00）_正确答案：()解析： 考点 第二换元积分法 解析 令 ，则
11、 23.计算二重积分， ，其中 D 是由曲线 y=x 2 与直线 y=x 围成的区域，如图所示 （分数：7.00）_正确答案：()解析： 考点 二重积分 解析 七、应用题(总题数：1，分数：9.00)已知某厂生产某种产品 Q 件时的总成本为 C(Q)=1200+2Q(万元)，又需求函数为 （分数：9.00）(1).求需求价格弹性函数（分数：4.50）_正确答案：()解析：(2).求最大利润（分数：4.50）_正确答案：()解析：当 Q=625 时，最大利润 L(625)=50(万元) 考点 (1)需求弹性，(2)收益函数与利润函数 解析 (1)需求弹性函数为 ， (2)收益函数为 ， 利润函数为 ， 令 八、证明题(总题数：1，分数：5.00)24.证明：当 x0 时， （分数：5.00）_正确答案：()解析：函数 在0，+)上连续， 当 x0 时； ，所以 f(x)单调增加 故 f(x)f(0)=0，即
