1、高等数学(工本)自考题模拟 37 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：15.00)1.已知|=3，|=26，|=72，则|=_（分数：3.00）A.30B.24C.0D.12.在空间直角坐标系中方程 2x 2 -3y 2 +z 2 -1=0 表示的图形是_（分数：3.00）A.单叶双曲面B.双叶双曲面C.锥面D.椭球面3.交换二次积分 的积分次序得_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.4.幂级数 （分数：3.00）A.1，3)B.(1，3)C.(1，3D.1，35.方程 y“=e x+y 的通解为_ A.ex+e-y=1
2、 B.ex-e-y=C C.ex-ey=C D.ex+e-y=C（分数：3.00）A.B.C.D.二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：10.00)6.设 f(x，y)=ln(x 2 +y 2 )，g(x，y)=e(x+y)，则 fx 2 ，g(x，y)= 1 （分数：2.00）7.设 ，则 在 （分数：2.00）8.由曲面 及 围成的闭区域 上的三重积分 （分数：2.00）9.设是球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)的内侧，则曲面积分 （分数：2.00）10.微分方程 xdy-ydx=y 2 e y dy 的全部解为 1 （分数：2.00）三、计算题(总题数：12，分数：
3、60.00)11.已知平面 1 ：mx-3y+4z-7=0 与 2 ：2x+6y-nz+3=0 表示两个互相平行的平面，求 m 和 n 的值 （分数：5.00）_12.设 =xye z ，且 x 2 +2y+z-3=0，求 （分数：5.00）_13.在曲面 z=xy 上求一点，使这点的法线垂直于平面 x+3y+z+9=0，并写出法线方程 （分数：5.00）_14.计算二重积分 （分数：5.00）_15.计算 ，其中 是由曲线 （分数：5.00）_16.设 L 是圆周 x 2 +y 2 +2y=0，求关于弧长的曲线积分 L (y 2 x+x 4 )ds （分数：5.00）_17.计算曲面积分 （
4、分数：5.00）_18.计算 ， 为柱面 （分数：5.00）_19.解方程 y“-2y“-3y=2x+1 （分数：5.00）_20.将函数 （分数：5.00）_21.求幂级数 （分数：5.00）_22.求微分方程 （分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.要用铁板做一个体积为 8m 3 的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 （分数：5.00）_24.设 z=u v ， （分数：5.00）_25.证明曲线积分 L (x+y)dx+(x-y)dy 在整个 Oxy 面内与路径无关，并计算积分值 （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题模拟 37
5、 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：15.00)1.已知|=3，|=26，|=72，则|=_（分数：3.00）A.30 B.24C.0D.1解析：解析 设 与 的夹角为 (0)，则 |=|sin=78sin=72 于是 ，且 从而 2.在空间直角坐标系中方程 2x 2 -3y 2 +z 2 -1=0 表示的图形是_（分数：3.00）A.单叶双曲面 B.双叶双曲面C.锥面D.椭球面解析：解析 由于方程 3.交换二次积分 的积分次序得_ A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 x=y 2 与 x=y 的交点为(0，0
6、)和(1，1)故 4.幂级数 （分数：3.00）A.1，3)B.(1，3)C.(1，3D.1，3 解析：解析 令 t=(x-2) 2 ，则所给幂级数成为 记 ，则由 知的收敛半径为 1并且，当 t=1 时，成为 5.方程 y“=e x+y 的通解为_ A.ex+e-y=1 B.ex-e-y=C C.ex-ey=C D.ex+e-y=C（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 将 y“=e x+y 分离变量得 e -y dy=e x dx， e -y dy=e x dx 从而 e x +e -y =C二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：10.00)6.设 f(x，y)=ln(x 2
7、+y 2 )，g(x，y)=e(x+y)，则 fx 2 ，g(x，y)= 1 （分数：2.00）解析：ln(x 4 +e 2x+2y ) 解析 fx 2 ，g(x，y)=fx 2 ，e (x+y) =ln(x 4 +e 2(x+y) )=ln(x 4 +e 2x+2y )7.设 ，则 在 （分数：2.00）解析： 解析 8.由曲面 及 围成的闭区域 上的三重积分 （分数：2.00）解析： 解析 因为 =(r，)|1r2，02， ， 由 在 yOz 平面的投影区域如下图阴影部分所示知 ， 所以 9.设是球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)的内侧，则曲面积分 （分数：2.00）解析
8、：0 解析 将分为两部分， 1 ：前半球面，取后侧； 2 ：后半球面，取前侧 1 和 2 在 Oyz 面的投影区域为 D 10.微分方程 xdy-ydx=y 2 e y dy 的全部解为 1 （分数：2.00）解析：x+ye y =Cy 及 y=0 解析 y=0 是所给微分方程的解，下面考虑 y0，将所给微分方程改 写为 即 所以，所给微分方程的全部解是 三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.已知平面 1 ：mx-3y+4z-7=0 与 2 ：2x+6y-nz+3=0 表示两个互相平行的平面，求 m 和 n 的值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：平面 1 和 2 的法向
9、量分别为 n 1 =m，-3，4和 n 2 =2，6，-n 若两平面互相平行，则 n 1 n 2 ，即 12.设 =xye z ，且 x 2 +2y+z-3=0，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由方程 x 2 +2y+z-3=0 得 z=3-x 2 -2y，则 =xye 3-x2-2y 所以， 13.在曲面 z=xy 上求一点，使这点的法线垂直于平面 x+3y+z+9=0，并写出法线方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：易知平面 x+3y+z+9=0 的法向量为 n 1 =1，3，1 令 F(x，y，z)=z-xy 则 F x =-y，F y =-x，F z =1
10、从而曲面上任一点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处的法向量为 n 2 =-y 0 ，-x 0 ，1 依题意知 n 1 n 2 故有 即 x 0 =-3，y 0 =-1 从而曲面上点(-3，-1，3)处的法线垂直于平面 x+3y+z+0=0 该点处的法线方程为 14.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解： 15.计算 ，其中 是由曲线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：16.设 L 是圆周 x 2 +y 2 +2y=0，求关于弧长的曲线积分 L (y 2 x+x 4 )ds （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：L 的参数方程为 ，所以 17.计算曲面积分 （
11、分数：5.00）_正确答案：()解析：解：在 Oxy 面上的投影域为 D xy ：x 2 +y 2 2 18.计算 ， 为柱面 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解： 在 xOy 平面上的投影区域 D 由 ，y=0 围成，利用 柱面坐标系，即 及 =0 故 19.解方程 y“-2y“-3y=2x+1 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：该方程对应的齐次方程为 y“-2y“-3y=0，特征方程为 r 2 -2r-3=0，特征根为 r 1 =3，r 2 =-1于是齐次方程通解为 设非齐次特解为 y*=ax+b 代入原方程得 故原方程的一个特解为 从而原方程的通解为 20.将函数 （分
12、数：5.00）_正确答案：()解析：解： 由于 有 因此，可得 21.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解： 收敛半径 ，又 x=1 时22.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：将方程变形为 方程的通解为 ，将条件 y| x=1 =1 代入，得 所以所求特解为 四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.要用铁板做一个体积为 8m 3 的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：设水箱的长为 x(m)，宽为 y(m)，则其高应为 ，从而水箱的表面积 S 应为 得驻点(2，2) 由题意知，水箱所用材料的最小值一定存在，并在开区域 D：x0，y0 内取得，又函数在 D 内只有唯一驻点(2，2)，故(2，2)即为 S 的最小值点，即当水箱长为 2m,宽为 2m，高为 24.设 z=u v ， （分数：5.00）_正确答案：()解析：解： 其中 25.证明曲线积分 L (x+y)dx+(x-y)dy 在整个 Oxy 面内与路径无关，并计算积分值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：P“ y =1=Q“ x ，所以线积分与路径无关。
