1、高等数学(工本)自考题模拟 35 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系中，方程 z=x 2 +y 2 的图形是_（分数：3.00）A.椭球面B.球面C.椭圆抛物面D.椭圆锥面2.设函数 z=sin(x+y)，则 （分数：3.00）A.cos(x+y)B.-cos(x+y)C.sin(x+y)D.-sin(x+y)3.设为半球面 x 2 +y 2 +z 2 =1，z0，则对面积的曲面积分 （分数：3.00）A.4B.2C.3D4.微分方程 dy=(x 2 +y-1)dx 是_（分数：3.00）A.可分离变量的微分
2、方程B.二阶线性微分方程C.一阶线性微分方程D.齐次微分方程5.幂级数 （分数：3.00）A.0B.2C.+D.1二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量 =1，4，-2和 =k，-2，-2垂直，则常数 k= 1. （分数：2.00）7.设函数 z=x 4 -2xy+y 2 +1，则 （分数：2.00）8.设积分区域 D：x 2 +y 2 2x，则二重积分 （分数：2.00）9.微分方程 （分数：2.00）10.设 则 f(x)的傅里叶级数的和函数在 （分数：2.00）三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求与平面 3x+2y-z+4=0 和平面 3x+2y-z=0
3、的距离都相等的动点的轨迹方程 （分数：5.00）_12.求空间曲线 L：x=t 2 ，y=3t，z=2t 3 在点(1，-3，-2)处的法平面方程 （分数：5.00）_13.设函数 z=f(z+y，lnxy)，其中 f 是可微函数，求 （分数：5.00）_14.求函数 f(x，y)=e xy 在点(1，2)处沿从点(1，2)到点(2， （分数：5.00）_15.求曲面 z=3-x 2 -2y 2 上平行于平面 2x+4y+z+8=0 的切平面方程 （分数：5.00）_16.计算二重积分 （分数：5.00）_17.计算三重积分 （分数：5.00）_18.计算对弧长的曲线积分 L (x 2 +y
4、2 )ds，其中 L 是以原点为中心，半径为 1 的上半圆 （分数：5.00）_19.计算对坐标的曲线积分 L ydx+dy，其中 L 为 y=sinx(0x)与 x 轴所围成的闭曲线，依顺时针方向 （分数：5.00）_20.求微分方程 （分数：5.00）_21.判断无穷级数 （分数：5.00）_22.求幂级数 （分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=3xy-x 3 -y 3 的极值 （分数：5.00）_24.求由曲面 z=x 2 +y 2 ，z=3(x 2 +y 2 )和 y=x，y=x 2 所围成的立体的体积 （分数：5.00）_25.将函
5、数 （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题模拟 35 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系中，方程 z=x 2 +y 2 的图形是_（分数：3.00）A.椭球面B.球面C.椭圆抛物面 D.椭圆锥面解析：解析 主要考查的知识点为空间直角坐标系中的二次曲面2.设函数 z=sin(x+y)，则 （分数：3.00）A.cos(x+y) B.-cos(x+y)C.sin(x+y)D.-sin(x+y)解析：解析 本题主要考查的知识点为函数的一阶偏导数3.设为半球面 x 2 +y 2 +z 2 =1，z0，则对面积的曲面
6、积分 （分数：3.00）A.4B.2 C.3D解析：解析 本题主要考查的知识点为面积的曲面积分. ，则 ，曲面在 Oxy 面上的投影为 x 2 +y 2 1，所以 4.微分方程 dy=(x 2 +y-1)dx 是_（分数：3.00）A.可分离变量的微分方程B.二阶线性微分方程C.一阶线性微分方程 D.齐次微分方程解析：解析 本题主要考查的知识点为微分方程的形式5.幂级数 （分数：3.00）A.0B.2C.+D.1 解析：解析 本题主要考查的知识点为幂级数的收敛半径 令 ，则 ，因此 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量 =1，4，-2和 =k，-2，-2垂直，则常数 k= 1
7、. （分数：2.00）解析：4 解析 本题主要考查的知识点为两向量之间的关系. 因为向量 ，则有 =0，即 k+4(-2)+(-2)(-2)=0，得 k=4.7.设函数 z=x 4 -2xy+y 2 +1，则 （分数：2.00）解析：-2 解析 本题主要考查的知识点为函数的一阶偏导数. 8.设积分区域 D：x 2 +y 2 2x，则二重积分 （分数：2.00）解析： 解析 本题主要考查的知识点为极坐标下二重积分. 积分区域 D：x 2 +y 2 2x 即(x-1) 2 +y 2 1 如下图所示.故二重积分 . 9.微分方程 （分数：2.00）解析：y 2 =2x 2 lnx+Cx 2 解析 本
8、题主要考查的知识点为齐次方程. 微分方程 ，将方程右边分子分母同时除以 x 2 得 . 令 ，则 ，代入上式得 ， ， 分离变量得 ， 两边同时积分得 ， 将 10.设 则 f(x)的傅里叶级数的和函数在 （分数：2.00）解析： 解析 本题主要考查的知识点为傅里叶级数的收敛性. 将 f(x)作以 2 为周期的延拓且 f(x)按段光滑，而 是 f(x)的间断点，故 f(x)收敛于 ，即f(x)的傅里叶级数的和函数在 x=0 处的值为 三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求与平面 3x+2y-z+4=0 和平面 3x+2y-z=0 的距离都相等的动点的轨迹方程 （分数：5.00）_
9、正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为点的轨迹. 设动点 P 为(x，y，z)，则点 P 到两平面的距离分别为 ， ， 则有 d 1 =d 2 ，即 12.求空间曲线 L：x=t 2 ，y=3t，z=2t 3 在点(1，-3，-2)处的法平面方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为空间曲线的法平面方程. 由于点(1，-3，-2)在空间曲线上，将点代入曲线方程得 t=-1，所以 13.设函数 z=f(z+y，lnxy)，其中 f 是可微函数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为复和函数的偏导数. 14.求函数 f(x，y)=e xy
10、在点(1，2)处沿从点(1，2)到点(2， （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为函数的方向导数. 方向 ， 故 15.求曲面 z=3-x 2 -2y 2 上平行于平面 2x+4y+z+8=0 的切平面方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为利用平面平行求曲面的切平面方程. 由 z=3-x 2 -2y 2 ， 于是 z x =-2x，z y =-4， 由于所求切平面平行于平面 2x+4y+z+8=0，因此 ， 解上式得 x=1，y=1，z=0，则 16.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为用极坐标计算二
11、重积分. 17.计算三重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为计算三重积分. 积分区域 如下图所示， 在 Oxy 面上的投影域为 D xy ：x 2 +y 2 1(z=0)，于是 18.计算对弧长的曲线积分 L (x 2 +y 2 )ds，其中 L 是以原点为中心，半径为 1 的上半圆 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为对弧长的曲线积分. 曲线 L 的参数方程 x=cos，y=sin， 则 19.计算对坐标的曲线积分 L ydx+dy，其中 L 为 y=sinx(0x)与 x 轴所围成的闭曲线，依顺时针方向 （分数：5.00）_正确答案
12、：()解析：本题主要考查的知识点为对坐标的曲线积分. 积分曲线 L 如下图所示. 对于弧 AO，有 y=sinx，dy=cosxdx， 对于线段 AO，有 y=0，dy=0， 故 20.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为分离变量微分方程求通解. 分离变量得 ， 两边积分得 21.判断无穷级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为比值审敛法. 22.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为幂级数的收敛区间. 由于 ，所以收敛半径 R=1.当 x=1 时， 四、综合题(总题数：3，分数：15.00)2
13、3.求函数 f(x，y)=3xy-x 3 -y 3 的极值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为函数的极值. 解 得驻点(0，0)，(1，1)， 又 f xx =-6x，f xy =3，f yy =-6y， f xx (0，0)=0，f yy (0，0)=0， ， 故(0，0)不是极值点. f xx (1，1)=-60，f yy (1，1)=-6， 24.求由曲面 z=x 2 +y 2 ，z=3(x 2 +y 2 )和 y=x，y=x 2 所围成的立体的体积 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为重积分的应用. 空间体在 Oxy 面上的投影 D：0x1，x 2 yx，故所求体积 25.将函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为幂级数的展开式
