1、高等数学(工本)自考题模拟 34 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.平面 x-2y+3z+4=0 的法向量为_（分数：3.00）A.1，-2，-3B.-1，2，-3C.-1，-2，3D.1，-2，32.设函数 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处偏导数存在，则 _ Af x (x 0 ，y 0 ) B Cf y (x 0 ，y 0 ) D （分数：3.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x，y)，g(x，y)具有连续的偏导数，且 f(x，y)dx+g(x，y)dy 是某个函数 u(x，y)的全微分，则 f(x，y)，g(
2、x，y)满足_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.4.微分方程 y+4y+4y=x 2 e 2x 的一个特解 y * 可设为_ A.(b0x2+b1x+b2)x2e2x B.(b0x2+b1x+b2)xe2x C.(b0x2+b1x+b2)e2x D.(b0x2+b1x)x2e2x（分数：3.00）A.B.C.D.5.下列无穷级数中收敛的无穷级数是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.向量 =1，-2，2的模为 1 （分数：2.00）7.设函数 z=f(xy，y 2 )，则 （分数：2.00）8.设积分区域 D 由
3、x 2 +y 2 =1(y0)，y=0 所围成，将二重积分 （分数：2.00）9.微分方程 ydx-xdy=0 的通解为 1 （分数：2.00）10.函数 （分数：2.00）三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求经过 P(2，1，-3)，且通过 y 轴的平面 的方程 （分数：5.00）_12.求曲面 z=xy 上点(1，2，2)处的法线方程 （分数：5.00）_13.设方程 sin(x 2 +y 2 +z 2 )-xz=1 确定函数 z=z(x，y)，求 （分数：5.00）_14.求函数 f(x，y)=x 2 -xy+y 2 的梯度 gard f(1，-1). （分数：5.00）
4、_15.计算二重积分 （分数：5.00）_16.计算由(x+y) 2 +z 2 =1，z0，x0，y0 所围成的体积 （分数：5.00）_17.计算对弧长的曲线积分 C ，其中 C 是 x=0,y=0，x+y=1 所围成的. （分数：5.00）_18.计算对坐标的曲线积分 C xydx+(x+y)dy，其中 C 为曲线 y=x 2 从点(0，0)到(1，1)的一段弧 （分数：5.00）_19.求二阶微分方程 y+y-e x =0 的通解 （分数：5.00）_20.求微分方程 y-4y+5y=0 的通解 （分数：5.00）_21.判断级数 （分数：5.00）_22.求幂函数 （分数：5.00）_
5、四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=2x 2 -2xy+y 2 -2x-2y+4 的极值 （分数：5.00）_24.设曲线 y=f(x)上任意一点(x，y)处的切线斜率为 （分数：5.00）_25.将函数 f(x)=arctanx 展开为 x 的幂级数 （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题模拟 34 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.平面 x-2y+3z+4=0 的法向量为_（分数：3.00）A.1，-2，-3B.-1，2，-3C.-1，-2，3D.1，-2，3 解析：解析 本题主要考查
6、的知识点为平面方程的法向量2.设函数 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处偏导数存在，则 _ Af x (x 0 ，y 0 ) B Cf y (x 0 ，y 0 ) D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 本题主要考查的知识点为用定义求偏导数3.设函数 f(x，y)，g(x，y)具有连续的偏导数，且 f(x，y)dx+g(x，y)dy 是某个函数 u(x，y)的全微分，则 f(x，y)，g(x，y)满足_ A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查的知识点为全微分4.微分方程 y+4y+4y=x 2 e 2x 的一个特解 y * 可设为_ A.(
7、b0x2+b1x+b2)x2e2x B.(b0x2+b1x+b2)xe2x C.(b0x2+b1x+b2)e2x D.(b0x2+b1x)x2e2x（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 本题主要考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程的解的形式 原非齐次微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 r 2 -4r+4=0，故其特征根 r 1 =r 2 =2，非齐次微分方程的 f(x)=x 2 e 2x (m=2，=2)故可设微分方程的一个特解形式为 y * =(b 0 x 2 +b 1 x+b 2 )x 2 e 2x .5.下列无穷级数中收敛的无穷级数是_ A B C D （分数：3.0
8、0）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查的知识点为无穷级数的敛散性 选项 A 而级数 发散，故 也发散；选项 B ，当 n 为偶数时 ，当 n 为奇数时 ，故级数 发散；选项 D ，令 ，则 ，故 发散；选项 C ，令 ，则 ，故 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.向量 =1，-2，2的模为 1 （分数：2.00）解析：3 解析 本题主要考查的知识点为向量的模. 7.设函数 z=f(xy，y 2 )，则 （分数：2.00）解析：f 1 +xyf 11 +2y 2 f 12 解析 本题主要考查的知识点为函数的二阶偏导数. 由 z=f(xy，y 2 )则 8.设积分区域 D 由
9、x 2 +y 2 =1(y0)，y=0 所围成，将二重积分 （分数：2.00）解析： 解析 本题主要考查的知识点为直角坐标下的二重积分. 积分区域 D，如下图所示，则 9.微分方程 ydx-xdy=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析：y=Cx(C 为任意常数) 解析 本题主要考查的知识点为可分离变量的微分方程. ydx-xdy=0，即 10.函数 （分数：2.00）解析： 解析 本题主要考查的知识点为幂级数的展开式 由 ，得 三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求经过 P(2，1，-3)，且通过 y 轴的平面 的方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知
10、识点为利用特殊位置的平丽方程求其它平面方程 所求平面 通过 y 轴，故可设其方程为 Ax+Cz=0，又因为点 P 在平面 上，所以 2A-3C=0，则 12.求曲面 z=xy 上点(1，2，2)处的法线方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为空间曲面的法线方程 令 F(x，y，z)=z-xy,则 则法线方程为 13.设方程 sin(x 2 +y 2 +z 2 )-xz=1 确定函数 z=z(x，y)，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为隐函数的导数 令 F(x，y，z)=sin(x 2 +y 2 +z 2 )-xz-1，则 F x =2
11、xcos(x 2 +y 2 +z 2 )-z， F y =2ycos(x 2 +y 2 +z 2 )， Fz=2zcos(x 2 +y 2 +z 2 )-x, 故 14.求函数 f(x，y)=x 2 -xy+y 2 的梯度 gard f(1，-1). （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为函数的梯度. f x =2x-y，f y =-x+2y，则 15.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为用极坐标求二重积分. 16.计算由(x+y) 2 +z 2 =1，z0，x0，y0 所围成的体积 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主
12、要考查的知识点为用球面坐标计算三重积分. 其中 0r1， 故 17.计算对弧长的曲线积分 C ，其中 C 是 x=0,y=0，x+y=1 所围成的. （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为对弧长的曲线积分. 积分曲线 C 如下图所示. 对于线段 OA：y=0，dy=0，ds=dx， 对于线段 OB：x=0，dx=0，ds=dy， 对于线段 AB：y=1-x， 故 18.计算对坐标的曲线积分 C xydx+(x+y)dy，其中 C 为曲线 y=x 2 从点(0，0)到(1，1)的一段弧 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为对坐标的曲线积分. 曲线
13、 C 如下图所示.y=x 2 ，则 dy=2xdx,故有 19.求二阶微分方程 y+y-e x =0 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：此微分方程属于 y=f(x，y)型，令 p=y，代入原方程得 p+p-e x =0，即 p+p=e x ， 该方程对应的齐次微分方程为 p+p=0， 分离变量并积分 p=C 1 e -x ， 利用常数变易法，令 p=u(x)e -x ， 则 p=u(x)e -x -u(x)e -x ， 将 p及 p 代入微分方程 p+p=e x 得 u(x)e -x =e x ，即 u(x)=e 2x ， 积分得 则 即 则原微分方程的通 20.求微分方程 y-
14、4y+5y=0 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的通解. 原微分方程的特征方程为 r2-4r+5=0， 解得特征根为 r 1 =2+i，r 2 =2-i， 由于 r 1 与 r 2 是一对共轭复根，因此所求的通解为 y=e 2x (C 1 cosx+C 2 sinx).21.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为无穷级数收敛的充分必要条件. 设级数部分和数列为S n ，则 22.求幂函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为幂级数的收敛半径和收敛区间. 设 ，则对任意的
15、x 都有 ，故级数的收敛半径 R=+，收敛域为(-，+). 该级数为缺奇数项的幂级数，故求收敛半径时不能用 四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=2x 2 -2xy+y 2 -2x-2y+4 的极值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为函数的极值 解 得驻点(2，3)， 由于 f xy =4，f xy =-2，f yy =2，于是 24.设曲线 y=f(x)上任意一点(x，y)处的切线斜率为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为可分离变量的常微分方程的应用 由题意知 分离变量 25.将函数 f(x)=arctanx 展开为 x 的幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为幂级数的展开式(先求导，再积分) 因为 所以
