1、高等数学(工本)自考题模拟 31及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设函数 ，则 f(x，y)=_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x，y)=x 3 +y 3 ，则点(0，0)是 f(x，y)的_（分数：3.00）A.极小值点B.间断点C.极大值点D.连续点3.设积分区域 D：y=1，y=-1，x=0，x=2，则二重积分 （分数：3.00）A.大于零B.小于零C.等于零D.不确定4.微分方程 （分数：3.00）A.齐次微分方程B.可分离变量的微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微
2、分方程5.幂级数 （分数：3.00）A.ln(1+x)B.arctanxC.ln(1-x)D.arctan(-x)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量 =k，2，-6和 =2，-1,3平行，则常数 k= 1. （分数：2.00）7.设函数 f(x，y)=x 2 -y 2 ，则 （分数：2.00）8.设 是常数，若 （分数：2.00）9.通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x (C 1 ，C 2 为任意实数)的二阶常系数线性齐次微分方程为 1 （分数：2.00）10.若 ，则 （分数：2.00）三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.设平面 1 ：2x-y+z
3、-7=0 和平面 2 ：x+y+2z-11=0，求 1 和 2 的夹角. （分数：5.00）_12.求曲面 在点 （分数：5.00）_13.设方程 z 2 +xyz-e xy =1确定函数 z=z(x，y)，求 （分数：5.00）_14.求函数 f(x，y)ln(x 2 y+x)的梯度 grad f(x，y) （分数：5.00）_15.计算积分 （分数：5.00）_16.已知积分区域 是由 x 2 +y 2 =1，z=-1 及 z=1所围成，求三重积分 （分数：5.00）_17.计算对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_18.计算对坐标面的曲面积分 （分数：5.00）_19.求微分方程 y-2
4、y+y=0 的通解 （分数：5.00）_20.求一曲线，使得该曲线上任意点(x，y)处的切线平行于 x+3y=1，且点(1，2)在该曲线上 （分数：5.00）_21.判断级数 （分数：5.00）_22.设函数 的傅里叶级展开式为 （分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=x 2 -4x+3y 2 +6y+1的极值点. （分数：5.00）_24.求椭圆抛物面 z=x 2 +y 2 被平面 z=0，z=1 所截得的曲面面积 （分数：5.00）_25.求幂级数 （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题模拟 31答案解析(总分：100.00，做题时间：
5、90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设函数 ，则 f(x，y)=_ A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 本题主要考查的知识点为函数的转换 令 ，即 ，则有 ，即 2.设函数 f(x，y)=x 3 +y 3 ，则点(0，0)是 f(x，y)的_（分数：3.00）A.极小值点B.间断点C.极大值点D.连续点 解析：解析 本题主要考查的知识点为判断函数的基本性质3.设积分区域 D：y=1，y=-1，x=0，x=2，则二重积分 （分数：3.00）A.大于零B.小于零C.等于零 D.不确定解析：解析 主要考查的知识点为二重积分的对称奇偶性 积分区域
6、D：y=1,y=-1,x=0,x=2(如下图所示)区域 D关于 x轴对称，被积函数 f(x，y)=y 是关于 y的奇函数，故原积分为零. 4.微分方程 （分数：3.00）A.齐次微分方程 B.可分离变量的微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微分方程解析：解析 本题主要考查的知识点为齐次微分方程. 将 的分子分母同时除以 x 2 ，得 5.幂级数 （分数：3.00）A.ln(1+x)B.arctanxC.ln(1-x) D.arctan(-x)解析：解析 本题主要考查的知识点为幂级数展开式得应用. 因为幂级数 ，所以 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量 =k，2
7、，-6和 =2，-1,3平行，则常数 k= 1. （分数：2.00）解析：-4 解析 本题主要考查的知识点为空间解析几何中两向量之间的关系. 因为 与 平行，故有 7.设函数 f(x，y)=x 2 -y 2 ，则 （分数：2.00）解析：x 2 +xy+y 2 解析 本题主要考查的知识点为函数的变换. 因 f(x，y)=x 2 -y 2 ，则 8.设 是常数，若 （分数：2.00）解析：2 解析 本题主要考查的知识点为全微分 令 ， ，则 ，因为 是某个函数 u(x，y)的全微分，故 9.通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x (C 1 ，C 2 为任意实数)的二阶常系数线性齐次微分方
8、程为 1 （分数：2.00）解析：y-3y+2y=0 解析 本题主要考查的知识点为二阶常 系数线性齐次微分方程的通解形式 由题意可知，二阶常系数线性齐次微分方程对应的特征方程有两个不相等的实根，r 1 =1，r 2 =2，故特征方程为 r 2 -3r+2=0，因此所要求的我积分方程为 y-3y+2y=0.10.若 ，则 （分数：2.00）解析：发散解析 本题主要考查的知识点为无穷级数的收敛的必要条件三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.设平面 1 ：2x-y+z-7=0 和平面 2 ：x+y+2z-11=0，求 1 和 2 的夹角. （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要
9、考查的知识点为求两平面之间的夹角 设两平面的夹角为 ，由于两平面的法向量分别为 n 1 =2，-1,1，n 2 =1,1,2，故 即两平面的夹角 12.求曲面 在点 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为求曲面的切面方程. ， ，则 故所求切平面方程为 13.设方程 z 2 +xyz-e xy =1确定函数 z=z(x，y)，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为隐函数的偏导数. 令 F(x，y，z)=z 2 +xyz-e xy -1，则 14.求函数 f(x，y)ln(x 2 y+x)的梯度 grad f(x，y) （分数：5.00）_正确
10、答案：()解析：本题主要考查的知识点为函数的梯度. ， ，故 15.计算积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为重积分的计算. 16.已知积分区域 是由 x 2 +y 2 =1，z=-1 及 z=1所围成，求三重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为用柱面坐标计算三重积分 17.计算对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为对坐标的曲线积分 由题意知，直线的参数方程为 x=1+2t，y=1+3t,z=1+4t(0t1) 故 18.计算对坐标面的曲面积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主
11、要考查的知识点为对坐标面的曲面积分 积分区域，如下图所示，利用柱坐标变换 令 x=cos，y=sin，0z1 19.求微分方程 y-2y+y=0 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程 微分方程的特征方程为 r 2 -2r+1=0， 则其特征根为 r 1 =r 2 =1， 故所求通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x 20.求一曲线，使得该曲线上任意点(x，y)处的切线平行于 x+3y=1，且点(1，2)在该曲线上 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为微分方程的应用 由题意知 所以 又因为点(1，2)在该曲
12、线上，故有 因此所求方程为 21.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为级数的敛散性 22.设函数 的傅里叶级展开式为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为傅里叶系数 故 四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=x 2 -4x+3y 2 +6y+1的极值点. （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为函数的极值点 由 得驻点(2，-1). 由于 f xx =2，f xy =0，f yy =6， 则 24.求椭圆抛物面 z=x 2 +y 2 被平面 z=0，z=1 所截得的曲面面积 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为重积分的应用 设所求曲面的面积为 S，在 Oxy坐标面上投影为 D：x 2 +y 2 1，则有 25.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为幂级数的和函数 设和函数 逐项求积分可得 再设 逐项求积分可得 两边求导得 所以 两边求导得
