1、高等数学(工本)自考题-5 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设函数 f(x，y)满足 fx(x0，y 0)=(x0，y 0)=0，则函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处( ) A一定连续 B一定有极值 C一定可微 D偏导数一定存在（分数：3.00）A.B.C.D.2.微分方程 y“-2y+3y=5e2x的一个特解为( ) *（分数：3.00）A.B.C.D.3.设无穷级数*收敛，则( ) AP1 BP3 CP2 DP2（分数：3.00）A.B.C.D.4.微分方程 （分数：3.00）A.B.C.D.5.若级数*收敛，
2、则级数*( ) A发散 B绝对收敛 C条件收敛 D可能收敛，也可能发散（分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设二元函数*则 fxy(0，0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 z=exy(x2+y-1)，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.已知 y1=ex，y 2=x2是微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个特解，则 Q(x)=_（分数：2.00）填空项 1:_9.方程 2y+y-y=2x 的一个特解是_（分数：2.00）填空项 1:_10.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求
3、*其中 是由球面 x2+y2+z2=z 所限定的球域（分数：5.00）_12.求由 x2-2x+y2=0， （分数：5.00）_13.计算*，其中 L 为依逆时针方向绕圆周 x2+y2=R2一周的路径（分数：5.00）_14.计算 ，其中 是由锥面 （分数：5.00）_15.应用格林公式计算曲线积分 （分数：5.00）_16.设函数 a=f(excosy，lny，3x 2)具有连续的二阶偏导数求*（分数：5.00）_17.计算对弧长的曲线积分 （分数：5.00）_18.函数*的傅立叶级数展开式*，求系 a0（分数：5.00）_19.计算*，其中 L 是 x2+y2=4x 的上半圆周由 A(4，
4、0)至 B(0，0)（分数：5.00）_20.设 f(x，y，z)=x 2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求 gradf(0，0，0)（分数：5.00）_21.求函数 u=x3+2y2+3z2+xy-xz 在点(1，1，1)处的梯度（分数：5.00）_22.求微分方程 y“=y+x 的解（分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.设函数 ，其中 (u)为可微函数.证明： （分数：5.00）_24.设函数 f(x)在区间0，1上连续，证明*（分数：5.00）_25.设*，试证*（分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-5 答案解析(总分：100.00，做题时间
5、：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设函数 f(x，y)满足 fx(x0，y 0)=(x0，y 0)=0，则函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处( ) A一定连续 B一定有极值 C一定可微 D偏导数一定存在（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：2.微分方程 y“-2y+3y=5e2x的一个特解为( ) *（分数：3.00）A.B. C.D.解析：3.设无穷级数*收敛，则( ) AP1 BP3 CP2 DP2（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：4.微分方程 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 5.若级数*收敛，则级数*( ) A发散 B绝对
6、收敛 C条件收敛 D可能收敛，也可能发散（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：例：*又*若*可能收敛，也可能发散二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设二元函数*则 fxy(0，0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：当*，并且 *7.设函数 z=exy(x2+y-1)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：e xy(x2y+2x+y2-y)）解析：解析 主要考查的知识点为函数的一阶偏导数要点透析 函数 z=exy(x2+y-1)，则8.已知 y1=ex，y 2=x2是微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个特解，则 Q(x)=_（分数：2.
7、00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 主要考查的知识点为微分方程的特解要点透析 将 y1=ex，y 2=x2代入微分方程 y+P(x)y=Q(x)得解方程组得9.方程 2y+y-y=2x 的一个特解是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=-2x-2）解析：解析 本题考查 f(x)=ex Pm(x)型要点透析 方程 2y+y-y=2x 对应的齐次方程为 2y+y-y=0其特征方程为 2 2+-1=0，解之得 1=-1，10.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 本题考查幂级数的收敛半径.要点透析 设 ，则三、计算题(总题数：12，分数：6
8、0.00)11.求*其中 是由球面 x2+y2+z2=z 所限定的球域（分数：5.00）_正确答案：(用球坐标形式，设 x=rcossin，y=rsinsin，z=rcos *)解析：12.求由 x2-2x+y2=0， （分数：5.00）_正确答案：(积分区域 D：(x-1) 2+y21， ，由柱面坐标法得)解析：考点点击 本题考查三重积分的应用13.计算*，其中 L 为依逆时针方向绕圆周 x2+y2=R2一周的路径（分数：5.00）_正确答案：(L 的参数议程：* *)解析：14.计算 ，其中 是由锥面 （分数：5.00）_正确答案：(区域 在 Oxy 平面上的投影区域 Dxy(如图所示)：
9、x2+y21，则)解析：考点点击 本题考查柱面坐标下三重积分的计算.15.应用格林公式计算曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(闭区域 D：x=0，y=0，y-x=1，如图所示故)解析：考点点击 本题考查格林公式16.设函数 a=f(excosy，lny，3x 2)具有连续的二阶偏导数求*（分数：5.00）_正确答案：(根据复合函数求导法 * 再对 y 求导得： *)解析：17.计算对弧长的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(直线段 L 的方程为 y=3x，其中 0x1，于是 )解析：考点点击 主要考查的知识点为弧长的曲线积分18.函数*的傅立叶级数展开式*，求系 a0（分数：5.0
10、0）_正确答案：(*)解析：19.计算*，其中 L 是 x2+y2=4x 的上半圆周由 A(4，0)至 B(0，0)（分数：5.00）_正确答案：(积分路线如图所示 * P=y+2xy Q=x 2+x+y2 *，故积分与路径无关 *)解析：20.设 f(x，y，z)=x 2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求 gradf(0，0，0)（分数：5.00）_正确答案：(* gradf(0，0，0)=3，-2，-6)解析：21.求函数 u=x3+2y2+3z2+xy-xz 在点(1，1，1)处的梯度（分数：5.00）_正确答案：(* 故 gradu(1，1，1)=3，5，5)解析：22.求微分方程 y“=y+x 的解（分数：5.00）_正确答案：(令 y=p，则*，代入方程得*为一阶线性微分方程，解得 p=c1ex-x-1，即：y=c 1ex-x-1，积分得*)解析：四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.设函数 ，其中 (u)为可微函数.证明： （分数：5.00）_正确答案：(证明：左边 )解析：24.设函数 f(x)在区间0，1上连续，证明*（分数：5.00）_正确答案：(* 设* 则积分区域 D=(x，y)|0y1，0x*交换二次积分的积分次序有 * 等式成立)解析：25.设*，试证*（分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：
