1、高等数学(工本)自考题-4 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处偏导数存在，并且取得极小值，则下列说法正确的是( )Af x(x0，y 0)0，f xx(x0，y 0)0 Bf x(x0，y 0)=0，f xx(x0，y 0)0Cf x(x0，y 0)0，f xx(x0，y 0)0 Df x(x0，y 0)=0，f xx(x0，y 0)0（分数：3.00）A.B.C.D.2.设向量 =3，2，-1 与 z 轴正向的夹角为 ，则 满足( )（分数：3.00）A.B.C.D.3.在 Ox
2、y 坐标面上，设 e 为单位向量，o 为零向量，则( ) Aeo=0 Bee=e Ceo=0 Dee=e（分数：3.00）A.B.C.D.4.极限 ( )A等于 0 B等于 （分数：3.00）A.B.C.D.5.设向量 i+2j+3k 与 2i+mj+6k 垂且，则 m=( ) A4 B-4 C10 D-10（分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设积分区域 D：x 2+y22，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_7.过点(1，4，-1)并且平行于 Oyz 坐标面的平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.已知向量 a=0，-1，3 和
3、b=1，-2，-1，则-2n+b 1（分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 y+3y=sinx 的阶数是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程*的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.设为坐标面及平面 x=1，y=1，z=1 所围成的正方体表面的外侧，计算曲面积分*（分数：5.00）_12.计算*，L 是圆周 x2+y2=a2沿逆时针方向（分数：5.00）_13.判断级数 （分数：5.00）_14.求出 z=x3+y3-3xy 的极值（分数：5.00）_15.已知方程 x2+y2+z2-8z=0 确定函数 z=z(x，y)
4、，求*（分数：5.00）_16.求过点(-1，1，-2)并且与平面 2x-y+z-3=0 和平面 x-y=0 都平行的直线方程（分数：5.00）_17.求微分方程*满足条件*的特解（分数：5.00）_18.计算曲线积分 （分数：5.00）_19.求方程 xy=y的通解（分数：5.00）_20.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，在一个周期-，上的表达式为*，试写出 f(x)的傅里叶级数的和函数在 x=- 处的值（分数：5.00）_21.求*，其中 D 是直线 y=2，y=x 和双曲线 xy=1 所围成的平面区域（分数：5.00）_22.证明级数 （分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分
5、数：15.00)23.设函数 ，证明 （分数：5.00）_24.没一物体占有空间区域 =(x，y，z)|0x2，0y1，0z3，该物体在点(x，y，z)处的密度为 (x，y，z)=x+2y+z，求这个物体的质量（分数：5.00）_25.证明无穷级数 （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-4 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处偏导数存在，并且取得极小值，则下列说法正确的是( )Af x(x0，y 0)0，f xx(x0，y 0)0 Bf x(x0，y 0)=0，f xx(x0，y
6、 0)0Cf x(x0，y 0)0，f xx(x0，y 0)0 Df x(x0，y 0)=0，f xx(x0，y 0)0（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 主要考查的知识点为极值存在的充分条件2.设向量 =3，2，-1 与 z 轴正向的夹角为 ，则 满足( )（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 主要考查的知识点为向量的夹角要点透析 3.在 Oxy 坐标面上，设 e 为单位向量，o 为零向量，则( ) Aeo=0 Bee=e Ceo=0 Dee=e（分数：3.00）A.B.C. D.解析：*，由定义(模为零的向量为零向量)故 eo=0，故选 C又|ee|=|e|e|sin
7、(e，e)=0，ee=e 是错误的另外两个向量的数最积是一个数量，从而 eo=0 和 e-e=e 都是错误的4.极限 ( )A等于 0 B等于 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 ，令 3(x2+y2)=u，则当 x0，y0 时，u0，故5.设向量 i+2j+3k 与 2i+mj+6k 垂且，则 m=( ) A4 B-4 C10 D-10（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：两向量 a 与 b 垂直的充要条件是 ab=0 由题意知(i+2j+3k)(2i+mj+6k)=2+2m+18=0 m=-10二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设积分区域 D：x 2+y22，则
8、二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：7.过点(1，4，-1)并且平行于 Oyz 坐标面的平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x-1=0）解析：解析 主要考查的知识点为平面方程的求法及特殊位置的平面要点透析 因为所求的平面平行于 Oxz 坐标面，故设其万程为 Ax+D=0，又因为该平面过点(1，4，-1)，所以 A+D=0，即 A=-D，因此所求平面方程为 x-1=08.已知向量 a=0，-1，3 和 b=1，-2，-1，则-2n+b 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1，0，-7）解析：解析 主要考查的知识点为向量的加减法要点
9、透析 -2a+b=-20，-1，3+1，-2，-1=0，2，-6+1，-2，-1=1，0，-79.微分方程 y+3y=sinx 的阶数是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：10.微分方程*的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.设为坐标面及平面 x=1，y=1，z=1 所围成的正方体表面的外侧，计算曲面积分*（分数：5.00）_正确答案：(设 ：0x1，0y1，0z1 由高斯公式得 * *)解析：12.计算*，L 是圆周 x2+y2=a2沿逆时针方向（分数：5.00）_正确答案：(* 据格林公
10、式有*)解析：13.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：(，而级数 发散，由比较判别法得原级数发散. )解析：考点点击 本题考查级数的敛散性(比较判别法).14.求出 z=x3+y3-3xy 的极值（分数：5.00）_正确答案：(f(x，y)=x 3+y3-3xy f x(x，y)=3x 2-3y，f y(x，y)=3y 2-3x A=fxx=6x，B=f xy=-3，c=f yy=6y 令*得驻点(1，1)(0，0) 关于第一个驻点(1，1)有 B2-AC=9-66=-270 且 A0 因此(x，y)在点(1，1)取得极小值 f(1，1)=1+1-3=-1 关于第二个驻点(0，0)有 B
11、2-AC=90，因此 f(x，y)在(0，0)点取不到极值)解析：15.已知方程 x2+y2+z2-8z=0 确定函数 z=z(x，y)，求*（分数：5.00）_正确答案：(设 F(x，y，z)=x 2+y2+z2-8z 则 Fx=2x，F y=2y，F z=2z-8 *)解析：16.求过点(-1，1，-2)并且与平面 2x-y+z-3=0 和平面 x-y=0 都平行的直线方程（分数：5.00）_正确答案：(两平面的法向量分别为 n1=(2，-1，1)，n 2=(1，-1，0)，则所求直线的方向向量，故所求的直线方程为 )解析：考点点击 主要考查的知识点为平面与直线间的关系17.求微分方程*满
12、足条件*的特解（分数：5.00）_正确答案：(将方程变形为* *)解析：18.计算曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(令 ，则即故曲线积分与路径无关，选取路径如图所示，在线段 AC 上 y=1，dy=0在线段 BC 上，x=2，dx=0故)解析：考点点击 本题考查平面曲线积分与路径无关19.求方程 xy=y的通解（分数：5.00）_正确答案：(令 p=y，代入原方程得 xp=p，分离变量两边积分得 lnp=lnx+lnC1，即 p=C1x，将 p=y代入上式得分离变量 dy=C1xdx，两边积分得 )解析：考点点击 本题考查 y=f(x，y)型微分方程.20.设 f(x)是周期为 2 的
13、周期函数，在一个周期-，上的表达式为*，试写出 f(x)的傅里叶级数的和函数在 x=- 处的值（分数：5.00）_正确答案：(x=- 是 f(x)的间断点 故由收敛定理知*)解析：21.求*，其中 D 是直线 y=2，y=x 和双曲线 xy=1 所围成的平面区域（分数：5.00）_正确答案：(积分区域如图所示 * *)解析：22.证明级数 （分数：5.00）_正确答案：( ，则 Sn ，所以原级数收敛，且和数 S=1. )解析：考点点击 本题考查级数的绝对收敛性.四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.设函数 ，证明 （分数：5.00）_正确答案：(解： )解析：24.没一物体占有空间区域 =(x，y，z)|0x2，0y1，0z3，该物体在点(x，y，z)处的密度为 (x，y，z)=x+2y+z，求这个物体的质量（分数：5.00）_正确答案：(由题意知 *)解析：25.证明无穷级数 （分数：5.00）_正确答案：(解： ，|x|+求导从而)解析：
