1、高等数学(工本)自考题-3 及答案解析(总分：95.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设 f(x+y，xy)=x 2+y2，则 f(x，y)=( ) Ax 2-2xy By 2-2x Cy 2-2xy Dx 2-2y（分数：3.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x，y)的二重极限*，则( ) *（分数：3.00）A.B.C.D.3.在空间直角坐标系中 x+y=1 表示的图形是( ) A直线 B曲线 C平面 D点（分数：3.00）A.B.C.D.4.若函数 f(x，y)在区域 D 内具有二阶偏导数，则下列结论正确的是( ) A必有* Bf(x,y)
2、在 D 内必可微 Cf(x，y)在 D 内必连续 D以上结论都不成立（分数：3.00）A.B.C.D.5.函数图形是下半球面的是( ) A-2(x 2+y2) B-(x+y) C* D-y 2（分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.微分方程 exy=1 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设函数*= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 z=(1+xy)y，则*= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.区域 是由平面 z=0，x 2+y2+z2=1(x0)所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.二重极限*= 1（分数：2
3、.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：11，分数：55.00)11.计算三重积分 ，其中积分区域 由 ，y=0，z=0 及 （分数：5.00）_12.计算二重积分*，D：axx 2+y2a 2，x0，y0(a0)（分数：5.00）_13.计算*，其中是立体*(ab0)的表面的外侧（分数：5.00）_14.求幂级数*的收敛半径和收敛区间（分数：5.00）_15.设积分区域 由上半球面*及平面 z=0 所围成，求三重积分*（分数：5.00）_已知平面 ：2x+y+z=3 和直线 L：*（分数：5.00）(1).写出直线 L 的对称式方程；（分数：2.50）_(2).求平面 与直线 L 的交点（
4、分数：2.50）_16.设二元函数 z=z(x，y)由方程 z=x+yez确定，求*（分数：5.00）_17.判断无穷级数*的敛散性（分数：5.00）_18.在所有周长等于 6 的直角三角形中，求出斜边最小的三角形（分数：5.00）_19.设 z=arcsin(xy)，x=se t，y=t 2，则*（分数：5.00）_20.计算二次积分*（分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)21.求方程 eydx+(xey+2y)dy=0 的通解（分数：5.00）_22.设*，试问在点(0，0)处 f(0，y)是否连续?偏导数是否存在?（分数：5.00）_23.设幂级数为*，求其和函数
5、和收敛区间（分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-3 答案解析(总分：95.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设 f(x+y，xy)=x 2+y2，则 f(x，y)=( ) Ax 2-2xy By 2-2x Cy 2-2xy Dx 2-2y（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：f(x+y，xy)=x 2+y2=(x+y)2-2xy f(x，y)=x 2-2y2.设函数 f(x，y)的二重极限*，则( ) *（分数：3.00）A. B.C.D.解析：累次极限*存在表明其对应的 P(x，y)P 0(x0，y 0)的路径为二重极限*的 PP 0各种
6、路径中的一条，所以，*3.在空间直角坐标系中 x+y=1 表示的图形是( ) A直线 B曲线 C平面 D点（分数：3.00）A.B.C. D.解析：在空间直解坐标系中，任何一个三元一次方程都表示一个平面，而方程 x+y=1 是三元一次方程，由于在该方程中缺少未知量 z，故该方程表示平行于 z 轴的平面4.若函数 f(x，y)在区域 D 内具有二阶偏导数，则下列结论正确的是( ) A必有* Bf(x,y)在 D 内必可微 Cf(x，y)在 D 内必连续 D以上结论都不成立（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：因为二阶混合偏导数在区域 D 内虽然存在，但不一定处处连续，所以 A 不成立由条件知
7、一阶偏导数在区域 D 内处处存在，但不一定处处连续，即 B 不成立一阶偏导数在区域 D 内存在，而函数 f(x，y)住区域 D 内不一定处处连续，那么 C 也不成立5.函数图形是下半球面的是( ) A-2(x 2+y2) B-(x+y) C* D-y 2（分数：3.00）A.B.C. D.解析：球面方程为 x2+y2+z2=R2下半球面方程为*二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.微分方程 exy=1 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C-e -x）解析：*7.设函数*= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：* *8.设 z=(1+xy
8、)y，则*= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：将 z=(1+xy)y两边取对数得 lnz=yln(1+xy)，两边同时埘 y 求偏导数得*9.区域 是由平面 z=0，x 2+y2+z2=1(x0)所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查球坐标下三重积分的计算要点透析 10.二重极限*= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：当 x0，y0 时，*，从而*，由于*=0 *三、计算题(总题数：11，分数：55.00)11.计算三重积分 ，其中积分区域 由 ，y=0，z=0 及 （分数：5.00）_正确答
9、案：(积分区域 如下图所示，故)解析：考点点击 主要考查的知识点为三重积分的计算12.计算二重积分*，D：axx 2+y2a 2，x0，y0(a0)（分数：5.00）_正确答案：(积分域 D 的图形如下图所示，D 可用不等式表示为 * * *)解析：13.计算*，其中是立体*(ab0)的表面的外侧（分数：5.00）_正确答案：(由高斯公式得：* 由对称性知* 于是*)解析：14.求幂级数*的收敛半径和收敛区间（分数：5.00）_正确答案：(* 级数的收敛半径为* 对 x=2，原级数成为* 对 x=-2，原级数成为*是交错级数，由莱布尼茨判别法知该级数收敛 级数*的收敛半径为 2，收敛区间是-2
10、2)解析：15.设积分区域 由上半球面*及平面 z=0 所围成，求三重积分*（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：已知平面 ：2x+y+z=3 和直线 L：*（分数：5.00）(1).写出直线 L 的对称式方程；（分数：2.50）_正确答案：(L 的方向向量为* 点(-2，0，3)在直线 L 上 所以直线 L 的对称式方程为 *)解析：(2).求平面 与直线 L 的交点（分数：2.50）_正确答案：(* 解得 L 与 的交点坐标为(1，-1，2)解析：16.设二元函数 z=z(x，y)由方程 z=x+yez确定，求*（分数：5.00）_正确答案：(所给方程两边分别关于 x，y 求偏导数，得
11、 *)解析：17.判断无穷级数*的敛散性（分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：18.在所有周长等于 6 的直角三角形中，求出斜边最小的三角形（分数：5.00）_正确答案：(设直角三角形的两直角边为 x，y，斜边为 z，则有构造拉格朗日函数 L(x，y)= +(x+y+z-6)=(1+) +(x+y-6)，解方程组当 =-1 时，方程组的前两个式子都不成立，故 -1解得由于实际情况必存在斜边最小值，故当直角三角形的两直角边长均为 )解析：考点点击 本题考查最值的应用19.设 z=arcsin(xy)，x=se t，y=t 2，则*（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：20.计算二次积分*（分数：5.00）_正确答案：(交换积分次序得 * *)解析：四、综合题(总题数：3，分数：15.00)21.求方程 eydx+(xey+2y)dy=0 的通解（分数：5.00）_正确答案：(P=e y，Q=xe y+2y *，故存在一个二元函数 F(x，y)使 *)解析：22.设*，试问在点(0，0)处 f(0，y)是否连续?偏导数是否存在?（分数：5.00）_正确答案：(* 故 f(x，y)在(0，0)处不连续 *)解析：23.设幂级数为*，求其和函数和收敛区间（分数：5.00）_正确答案：(* R=+，收敛区间为(-，+) 设* *)解析：
