1、高等数学(工本)自考题-2 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.过点(2，3，-4)且垂直于平面 2x+3y-z+2=0 的直线方程是( ) *（分数：3.00）A.B.C.D.2.已知函数 f(x，y)在(0，1)处的偏导数存在，则 ( )Af x(0，1) Bf x(0，2)C （分数：3.00）A.B.C.D.3.n 为半球 x2+y2+z21，z0，则三重积分 ( )（分数：3.00）A.B.C.D.4.函数*的傅立叶系数 a0=( ) *（分数：3.00）A.B.C.D.5.L 是抛物线 y=x2-1 从 A(-1，
2、0)到 B(1，0)的一段，则曲线积分 ( )（分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.微分方程*满足初始条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_7.三重积分*= 1，其中 是球 x2+y2+z21（分数：2.00）填空项 1:_8.极限*= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 y“+4y+3y=0 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在-，上表达式为*，s(x)是 f(x)的傅里叶级数的和函数，则 s()= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、计算题(总题数
3、：12，分数：60.00)11.计算二重积分 （分数：5.00）_12.求函数 z=3xy-x3-y3的极值点（分数：5.00）_13.求过点 A0，1，1)，B1，2，0)与 x 轴平行的平面方程（分数：5.00）_14.判断无穷级数*的敛散性（分数：5.00）_15.求过点 P(-1，2，-3)，并且与直线 x=3+t，y=t，z=1-t 垂直的平面方程（分数：5.00）_16.设函数 z=ln(x2+y2)-sinxy，求全微分 dz（分数：5.00）_17.设函数*（分数：5.00）_18.求函数 f(x，y)=x 2+xy+y2+x-y+2 的极值（分数：5.00）_19.设由方程*
4、确立的隐函数 z=f(x，y)，其中 F 具有连续的一阶偏导数，求*，*（分数：5.00）_20.已知 a=1，1，-4，b=1，-2，2，求(1)ab；(2)a 与 b 的夹角；(3)a 在 b 上的投影 ab（分数：5.00）_21.设 L 为折线 OAB，其中 O(0，0)，A(1，1)，B(1，0)，求曲线积分*（分数：5.00）_22.计算二重积分*，其中 D 为 y=x2，y=4x 2及 y=1 所围成的闭区域（分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.(1)已知函数 x+y+z=sin(x+y+z)，求 z 对 x，y 的一阶与二阶偏导数；(2)已知函数
5、（分数：5.00）_24.求函数 f(x，y)=x 3-4x2+2xy-y2+1 的极值（分数：5.00）_25.求曲 z=xy 包含在圆柱 x2+y2=1 内部分的曲面面积 S（分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-2 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.过点(2，3，-4)且垂直于平面 2x+3y-z+2=0 的直线方程是( ) *（分数：3.00）A.B.C. D.解析：平面的法向量 n=2，3，-1因为直线垂直于该平面，故该直线的方向向量 vn故取 v=2，3，-1，因此直线的方程为*2.已知函数 f(x，y)在(0
6、，1)处的偏导数存在，则 ( )Af x(0，1) Bf x(0，2)C （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查偏导数要点透析 3.n 为半球 x2+y2+z21，z0，则三重积分 ( )（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查球面坐标下的三重积分要点透析 由球面坐标下三重积分的计算公式可得由 为半球 x2+y2+z21，x0 可知，0r1， ，02于是4.函数*的傅立叶系数 a0=( ) *（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：*5.L 是抛物线 y=x2-1 从 A(-1，0)到 B(1，0)的一段，则曲线积分 ( )（分数：3.00）A.B. C.D
7、.解析：解析 本题考查对坐标的曲线积分要点透析 由 L：y=x 2-1，-1x1，得 dy=2xdx，则二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.微分方程*满足初始条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=x）解析：*两端积分得 lny=lnx+lnC通解为 y=cx，把 x=1，y=1 代入得 c=1，故特解为 y=x7.三重积分*= 1，其中 是球 x2+y2+z21（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：因为 关于平面 z 对称，*为 z 的奇函数 *8.极限*= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考虑级
8、数* 所以，这一正项级数收敛，因此*9.微分方程 y“+4y+3y=0 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：c 1e-x+c2e-3x）解析：特征方程为 r2+4r+3=0r 1=-3，r 2=-1，从而通解为 y=c1e-x+c2e-3x10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在-，上表达式为*，s(x)是 f(x)的傅里叶级数的和函数，则 s()= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：(积分区域 D，如下图所示，于是)解析：考点点击 主要考查
9、的知识点为二重积分的计算12.求函数 z=3xy-x3-y3的极值点（分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：13.求过点 A0，1，1)，B1，2，0)与 x 轴平行的平面方程（分数：5.00）_正确答案：(设所求平面的法向量为 n，则* 又*，在 x 轴上取单位向量 i=1，0，0，则 ni，取*-k，故所求平面方程为(-1)(y-1)+(-1)(z-1)=0，即 y+z-2=0)解析：14.判断无穷级数*的敛散性（分数：5.00）_正确答案：(由正项级数比值审敛法 * 原级数收敛)解析：15.求过点 P(-1，2，-3)，并且与直线 x=3+t，y=t，z=1-t 垂直的平面方程（分
10、数：5.00）_正确答案：(解：平面的法向量为1，1，-1所求平面方程为 1(x+1)+1(y-2)+(-1)(z+3)=0即 x+y-z-4=0)解析：16.设函数 z=ln(x2+y2)-sinxy，求全微分 dz（分数：5.00）_正确答案：( ，于是 dz=zxdx+zydy= )解析：考点点击 主要考查的知识点为全微分17.设函数*（分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：18.求函数 f(x，y)=x 2+xy+y2+x-y+2 的极值（分数：5.00）_正确答案：(F(x，y) =x 2+xy+y2+x-y+2 令* A=Fxx(-1，1)=2，B=F xy(-1，1)=1，
11、C=F yy(-1，1)=2 B=AC=-30 又 A=20 f(x，y)在(-1，1)处取得极小值 极小值为 f(-1，1)=1)解析：19.设由方程*确立的隐函数 z=f(x，y)，其中 F 具有连续的一阶偏导数，求*，*（分数：5.00）_正确答案：(用隐函数求偏导公式 * *)解析：20.已知 a=1，1，-4，b=1，-2，2，求(1)ab；(2)a 与 b 的夹角；(3)a 在 b 上的投影 ab（分数：5.00）_正确答案：(1)ab=11+1(-2)+(-4)2=-9 (2)设夹角为 ，那么* * (3)ab=|a|b|cos=|b|a b a 在 b 上的投影为*)解析：21
12、.设 L 为折线 OAB，其中 O(0，0)，A(1，1)，B(1，0)，求曲线积分*（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：22.计算二重积分*，其中 D 为 y=x2，y=4x 2及 y=1 所围成的闭区域（分数：5.00）_正确答案：(积分区域如图所示 * 由于区域 D 关于 y 轴对称 x 是关于 x 的奇函数，y 是关于 x 的偶函数 *)解析：四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.(1)已知函数 x+y+z=sin(x+y+z)，求 z 对 x，y 的一阶与二阶偏导数；(2)已知函数 （分数：5.00）_正确答案：(1)令 F(x，y，z)=x+y+z-sin(x+y+
13、z)，则Fx=Fy=Fz=1-cos(x+y+z)故 ，(2)所以 )解析：考点点击 本题考查隐函数求导和全微分24.求函数 f(x，y)=x 3-4x2+2xy-y2+1 的极值（分数：5.00）_正确答案：(f x(x，y)=3x 2-8x+2y=0 fy(x，y)=2x-2y=0 得驻点为(0，0)，(2，2) 而 fxx(x，y)=6x-8 f xy(x，y)=2 f yz(x，y)=-2 对于(0，0)，有 B2-AC=-120，A=-80 所以(0，0)是 f(x，y)的极大值点，极大值为 f(0，0)=1 对于(2，2)，有 B2-AC=120，所以(2，2)不是 f(x，y)的极值点 综上所述，f(x，y)在(0，0)处取得极大值为 1)解析：25.求曲 z=xy 包含在圆柱 x2+y2=1 内部分的曲面面积 S（分数：5.00）_正确答案：(设所求曲面面积为 S，该曲面在 Oxy 坐标面上的投影 D：x 2+y21)解析：考点点击 主要考查的知识点为重积分的应用.
