1、高等数学(工本)自考题-2 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、单项选择题(总题数:5,分数:15.00)1.过点(2,3,-4)且垂直于平面 2x+3y-z+2=0 的直线方程是( ) *(分数:3.00)A.B.C.D.2.已知函数 f(x,y)在(0,1)处的偏导数存在,则 ( )Af x(0,1) Bf x(0,2)C (分数:3.00)A.B.C.D.3.n 为半球 x2+y2+z21,z0,则三重积分 ( )(分数:3.00)A.B.C.D.4.函数*的傅立叶系数 a0=( ) *(分数:3.00)A.B.C.D.5.L 是抛物线 y=x2-1 从 A(-1,
2、0)到 B(1,0)的一段,则曲线积分 ( )(分数:3.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:5,分数:10.00)6.微分方程*满足初始条件 y(1)=1 的特解是 1(分数:2.00)填空项 1:_7.三重积分*= 1,其中 是球 x2+y2+z21(分数:2.00)填空项 1:_8.极限*= 1(分数:2.00)填空项 1:_9.微分方程 y“+4y+3y=0 的通解为 y= 1(分数:2.00)填空项 1:_10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在-,上表达式为*,s(x)是 f(x)的傅里叶级数的和函数,则 s()= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、计算题(总题数
3、:12,分数:60.00)11.计算二重积分 (分数:5.00)_12.求函数 z=3xy-x3-y3的极值点(分数:5.00)_13.求过点 A0,1,1),B1,2,0)与 x 轴平行的平面方程(分数:5.00)_14.判断无穷级数*的敛散性(分数:5.00)_15.求过点 P(-1,2,-3),并且与直线 x=3+t,y=t,z=1-t 垂直的平面方程(分数:5.00)_16.设函数 z=ln(x2+y2)-sinxy,求全微分 dz(分数:5.00)_17.设函数*(分数:5.00)_18.求函数 f(x,y)=x 2+xy+y2+x-y+2 的极值(分数:5.00)_19.设由方程*
4、确立的隐函数 z=f(x,y),其中 F 具有连续的一阶偏导数,求*,*(分数:5.00)_20.已知 a=1,1,-4,b=1,-2,2,求(1)ab;(2)a 与 b 的夹角;(3)a 在 b 上的投影 ab(分数:5.00)_21.设 L 为折线 OAB,其中 O(0,0),A(1,1),B(1,0),求曲线积分*(分数:5.00)_22.计算二重积分*,其中 D 为 y=x2,y=4x 2及 y=1 所围成的闭区域(分数:5.00)_四、综合题(总题数:3,分数:15.00)23.(1)已知函数 x+y+z=sin(x+y+z),求 z 对 x,y 的一阶与二阶偏导数;(2)已知函数
5、(分数:5.00)_24.求函数 f(x,y)=x 3-4x2+2xy-y2+1 的极值(分数:5.00)_25.求曲 z=xy 包含在圆柱 x2+y2=1 内部分的曲面面积 S(分数:5.00)_高等数学(工本)自考题-2 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、单项选择题(总题数:5,分数:15.00)1.过点(2,3,-4)且垂直于平面 2x+3y-z+2=0 的直线方程是( ) *(分数:3.00)A.B.C. D.解析:平面的法向量 n=2,3,-1因为直线垂直于该平面,故该直线的方向向量 vn故取 v=2,3,-1,因此直线的方程为*2.已知函数 f(x,y)在(0
6、,1)处的偏导数存在,则 ( )Af x(0,1) Bf x(0,2)C (分数:3.00)A.B.C. D.解析:解析 本题考查偏导数要点透析 3.n 为半球 x2+y2+z21,z0,则三重积分 ( )(分数:3.00)A.B.C.D. 解析:解析 本题考查球面坐标下的三重积分要点透析 由球面坐标下三重积分的计算公式可得由 为半球 x2+y2+z21,x0 可知,0r1, ,02于是4.函数*的傅立叶系数 a0=( ) *(分数:3.00)A.B.C.D. 解析:*5.L 是抛物线 y=x2-1 从 A(-1,0)到 B(1,0)的一段,则曲线积分 ( )(分数:3.00)A.B. C.D
7、.解析:解析 本题考查对坐标的曲线积分要点透析 由 L:y=x 2-1,-1x1,得 dy=2xdx,则二、填空题(总题数:5,分数:10.00)6.微分方程*满足初始条件 y(1)=1 的特解是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:y=x)解析:*两端积分得 lny=lnx+lnC通解为 y=cx,把 x=1,y=1 代入得 c=1,故特解为 y=x7.三重积分*= 1,其中 是球 x2+y2+z21(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:0)解析:因为 关于平面 z 对称,*为 z 的奇函数 *8.极限*= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:0)解析:考虑级
8、数* 所以,这一正项级数收敛,因此*9.微分方程 y“+4y+3y=0 的通解为 y= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:c 1e-x+c2e-3x)解析:特征方程为 r2+4r+3=0r 1=-3,r 2=-1,从而通解为 y=c1e-x+c2e-3x10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在-,上表达式为*,s(x)是 f(x)的傅里叶级数的和函数,则 s()= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:三、计算题(总题数:12,分数:60.00)11.计算二重积分 (分数:5.00)_正确答案:(积分区域 D,如下图所示,于是)解析:考点点击 主要考查
9、的知识点为二重积分的计算12.求函数 z=3xy-x3-y3的极值点(分数:5.00)_正确答案:(* *)解析:13.求过点 A0,1,1),B1,2,0)与 x 轴平行的平面方程(分数:5.00)_正确答案:(设所求平面的法向量为 n,则* 又*,在 x 轴上取单位向量 i=1,0,0,则 ni,取*-k,故所求平面方程为(-1)(y-1)+(-1)(z-1)=0,即 y+z-2=0)解析:14.判断无穷级数*的敛散性(分数:5.00)_正确答案:(由正项级数比值审敛法 * 原级数收敛)解析:15.求过点 P(-1,2,-3),并且与直线 x=3+t,y=t,z=1-t 垂直的平面方程(分
10、数:5.00)_正确答案:(解:平面的法向量为1,1,-1所求平面方程为 1(x+1)+1(y-2)+(-1)(z+3)=0即 x+y-z-4=0)解析:16.设函数 z=ln(x2+y2)-sinxy,求全微分 dz(分数:5.00)_正确答案:( ,于是 dz=zxdx+zydy= )解析:考点点击 主要考查的知识点为全微分17.设函数*(分数:5.00)_正确答案:(* *)解析:18.求函数 f(x,y)=x 2+xy+y2+x-y+2 的极值(分数:5.00)_正确答案:(F(x,y) =x 2+xy+y2+x-y+2 令* A=Fxx(-1,1)=2,B=F xy(-1,1)=1,
11、C=F yy(-1,1)=2 B=AC=-30 又 A=20 f(x,y)在(-1,1)处取得极小值 极小值为 f(-1,1)=1)解析:19.设由方程*确立的隐函数 z=f(x,y),其中 F 具有连续的一阶偏导数,求*,*(分数:5.00)_正确答案:(用隐函数求偏导公式 * *)解析:20.已知 a=1,1,-4,b=1,-2,2,求(1)ab;(2)a 与 b 的夹角;(3)a 在 b 上的投影 ab(分数:5.00)_正确答案:(1)ab=11+1(-2)+(-4)2=-9 (2)设夹角为 ,那么* * (3)ab=|a|b|cos=|b|a b a 在 b 上的投影为*)解析:21
12、.设 L 为折线 OAB,其中 O(0,0),A(1,1),B(1,0),求曲线积分*(分数:5.00)_正确答案:(*)解析:22.计算二重积分*,其中 D 为 y=x2,y=4x 2及 y=1 所围成的闭区域(分数:5.00)_正确答案:(积分区域如图所示 * 由于区域 D 关于 y 轴对称 x 是关于 x 的奇函数,y 是关于 x 的偶函数 *)解析:四、综合题(总题数:3,分数:15.00)23.(1)已知函数 x+y+z=sin(x+y+z),求 z 对 x,y 的一阶与二阶偏导数;(2)已知函数 (分数:5.00)_正确答案:(1)令 F(x,y,z)=x+y+z-sin(x+y+
13、z),则Fx=Fy=Fz=1-cos(x+y+z)故 ,(2)所以 )解析:考点点击 本题考查隐函数求导和全微分24.求函数 f(x,y)=x 3-4x2+2xy-y2+1 的极值(分数:5.00)_正确答案:(f x(x,y)=3x 2-8x+2y=0 fy(x,y)=2x-2y=0 得驻点为(0,0),(2,2) 而 fxx(x,y)=6x-8 f xy(x,y)=2 f yz(x,y)=-2 对于(0,0),有 B2-AC=-120,A=-80 所以(0,0)是 f(x,y)的极大值点,极大值为 f(0,0)=1 对于(2,2),有 B2-AC=120,所以(2,2)不是 f(x,y)的极值点 综上所述,f(x,y)在(0,0)处取得极大值为 1)解析:25.求曲 z=xy 包含在圆柱 x2+y2=1 内部分的曲面面积 S(分数:5.00)_正确答案:(设所求曲面面积为 S,该曲面在 Oxy 坐标面上的投影 D:x 2+y21)解析:考点点击 主要考查的知识点为重积分的应用.