1、高等数学(工本)自考题-20 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系下，方程 2x2+3y2=6 表示的图形为_ A.椭圆 B.柱面 C.旋转抛物面 D.球面（分数：3.00）A.B.C.D.2.设 fx(x0，y 0)=0，f y(x0，y 0)=0，则在点(x 0，y 0)处函数 f(x，y)_ A.连续 B.一定取得极值 C.可能取得极值 D.的全微分为零（分数：3.00）A.B.C.D.3.设积分区域 ：x 2+y2R 2，0z1，则三重积分 f(x2+y2)dxdydz=_ABCD （分数：3.0
2、0）A.B.C.D.4.下列方程中为一阶线性非齐次方程的是_Ay=2y B(y) 2+2xy=exC2xy+x 2y=-1 Dy= （分数：3.00）A.B.C.D.5.设正项级数 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是_A +100 B (un+1-un)C (3un)D （分数：3.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.若向量 ， ， 两两的夹角都为 ，且 =2， =1，| |=3，则（分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 f(x，y)= ，则 f( （分数：2.00）填空项 1:_8.二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 y“-3y=
3、sinx 的阶数是_（分数：2.00）填空项 1:_10.将函数 （分数：2.00）填空项 1:_三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.设平面 过点 P1(1，2，-1)和点 P2(-5，2，7)，且平行于 y 轴，求平面 的方程（分数：5.00）_12.设 z= ，求 （分数：5.00）_13.设函数 z= （分数：5.00）_14.求抛物面 z=3x2+4y2在点(0，1，4)处的切平面方程（分数：5.00）_15.求曲面 x2+y2+2z2=23 在点(1，2，3)处的切平面方程（分数：5.00）_16.I= （分数：5.00）_17.计算三重分 （分数：5.00）_1
4、8.把对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_19.计算对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_20.求微分方程 y= （分数：5.00）_21.判断无穷级数 （分数：5.00）_22.求幂级数 （分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.设函数 ，其中 (u)为可微函数 证明： （分数：5.00）_24.利用三重积分计算由 z= （分数：5.00）_25.证明：无穷级数 （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-20 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系下，方程 2x2+3y2
5、=6 表示的图形为_ A.椭圆 B.柱面 C.旋转抛物面 D.球面（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 由题知 2x2+3y2=6 可化为了*，因为柱面公式*故方程表示图形为柱面答案为 B2.设 fx(x0，y 0)=0，f y(x0，y 0)=0，则在点(x 0，y 0)处函数 f(x，y)_ A.连续 B.一定取得极值 C.可能取得极值 D.的全微分为零（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 A 是错误的因多元函数在某一点可导，不能保证函数在该点连续B 也是错误的由题目的条件只能断定点(x 0，y 0)是驻点，而驻点是可疑的极值点，它不一定是极值点C 是正确的因为驻点是可
6、疑的极值点D 是错误的一般会认为 df=fx(x0，y 0)dx+fy(x0，y 0)dy=0 是正确的，却忘记了这个等式成立的前提是 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微而在多元函数中可导不一定可微答案为 C3.设积分区域 ：x 2+y2R 2，0z1，则三重积分 f(x2+y2)dxdydz=_ABCD （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 用圆柱面坐标 02 0rR 0z1 * *答案为 B4.下列方程中为一阶线性非齐次方程的是_Ay=2y B(y) 2+2xy=exC2xy+x 2y=-1 Dy= （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查一阶线性非齐次方程
7、的定义由一阶线性微分方程的定义知 y=*，(y)2+2xy=ex不是一阶线性微分方程；由一阶线性(非)齐次微分方程的定义知 y=2y 是齐次微分方程；只有选项 C，2xy+x 2y=-1 是一阶线性非齐次方程答案为 C5.设正项级数 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是_A +100 B (un+1-un)C (3un)D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由无穷级数*的一般项 un不是 n时的无穷小量，则级数*发散来判断，选项 D 一定发散答案为 D二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.若向量 ， ， 两两的夹角都为 ，且 =2， =1，| |=3，则（分数：2.0
8、0）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析 只需求出*设向量*与*的夹角为 ab，则*由已知条件*=2，*=1，则*同理*=3，*，于是*，即*=57.设函数 f(x，y)= ，则 f( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *8.二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：f(a)-f(0)）解析：解析 本题考查二重积分的计算 由题意知，积分区域如下图所示 * 所以*9.微分方程 y“-3y=sinx 的阶数是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 由题意知：特征方程：r 3-3r=0 r(r2-3)=0 r=0 或 r=*故此
9、微分方程的阶数是 3 阶10.将函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*(x-2) n，1x3）解析：解析 先将函数改写成变量为(x-2)的表达形式，则*=*在-1x1 内，将展开式*，中的 x 代换为(x-2)，可得 *，-1x-21 解其中的不等式可得收敛域为 1x3三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.设平面 过点 P1(1，2，-1)和点 P2(-5，2，7)，且平行于 y 轴，求平面 的方程（分数：5.00）_正确答案：(设平面 为 Ax+By+Cz+D=0 平行于 y 轴A，B，C0，1，0=0 得 B=0点 P1(1，2，-1)和 P2(-5，2，
10、7)在平面 上*得*所以所求平面 ：4x+3z-1=0)解析：12.设 z= ，求 （分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：13.设函数 z= （分数：5.00）_正确答案：(* * =*(2dx-6ydy)解析：14.求抛物面 z=3x2+4y2在点(0，1，4)处的切平面方程（分数：5.00）_正确答案：(z x=6x，z y=8y，z x(0，1)=0，z y(0，1)=8故取法向量 n=0，8，-1切平面方程为 0(x-0)+8(y-1)-(z-4)=0即 8y-z=4)解析：15.求曲面 x2+y2+2z2=23 在点(1，2，3)处的切平面方程（分数：5.00）_正确答案：(
11、设 F(x，y，z)=x 2+y2+2z2-23 P0(1，2，3)F(1，2，3)=2x| p0=2 Fy(1，2，3)=2y| p0=4Fz(1，2，3)=4z|p 0=12所求平面方程为 2(x-1)+4(y-2)+12(z-3)=0即 x+2y+6z=23)解析：16.I= （分数：5.00）_正确答案：(*，积分区域如下图 *)解析：17.计算三重分 （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：18.把对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(本题考查曲线积分的应用 *， 则* *， 因此，* =*)解析：19.计算对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(由格林公式
12、*(1-3y)dx+(1-2x+y)dy *)解析：20.求微分方程 y= （分数：5.00）_正确答案：(线性微分方程的特点是其中的未知函数及其导数都是一次方，本题中的 y 及其导数 y都是一次方，故为一阶线性微分方程，原方程变形为*，其中*，Q(x)=-x按一阶线性微分方程的通解公式得*，其中用到e2lnx=*=x2，*(x0)，所以原方程的通解为y=x2(-ln|x|+C)注：这类方程的解法有两种，一种是将其化为标准形式：*+P(x)y=Q(x)，找出方程中的 P(x)、Q(x)，按一阶线性微分方程的通解公式：y=e -P(x)dx Q(x)e P(x)dx dx+C求解；另一种方法是利
13、用常数变易法求解，此题也可用常数变易法求解)解析：21.判断无穷级数 （分数：5.00）_正确答案：(* 而且*收敛 由正项级数比较差别法得*收敛 从而*收敛)解析：22.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：(* 级数的收敛半径为 R=*=2 对 x=2，原级数成为*易知级数*发散 对 x=-2，原级数成为*是交错级数，由莱布尼茨判别法知该级数收敛级数*的收敛半径为 2，收敛域是-2，2)解析：四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.设函数 ，其中 (u)为可微函数 证明： （分数：5.00）_正确答案：(* 左边=*=右边)解析：24.利用三重积分计算由 z= （分数：5.00）_正确答案：(本题考查三重积分的计算用柱面坐标计算，显然两曲面的交线为：x2+y2=1(z=1)它在 xOy 平面上的投影为：x 2+y2=1(z=0)所以 Dxy：02，0r1又 r2zr故*)解析：25.证明：无穷级数 （分数：5.00）_正确答案：(S n=*=*而且*)解析：
