1、高等数学(工本)自考题-19 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.已知 f(x，y)在点(x 0，y 0)的偏导数存在，则下列结论正确的是_ A.f(x，y)在(x 0，y 0)点连续 B.f(x，y)在(x 0， 0)点可微 C.函数 f(x，y 0)在 x=x0点连续 D.f(x，y)在(x 0，y 0)点有任意方向的方向导数（分数：3.00）A.B.C.D.2.极限 =_ A B C （分数：3.00）A.B.C.D.3.设 D 由圆 r=2 围成，则 =_ A B4 C （分数：3.00）A.B.C.D.4.以
2、y=sin3x 为特解的微分方程为_ A.y“+y=0 B.y“-y=0 C.y“+9y=0 D.y“-9y=0（分数：3.00）A.B.C.D.5.设 an0，(n=1，2，3，)，若 an收敛，则下列结论正确的是_A a2n-1收敛， a2n发散B a2n收敛， a2n-1发散C 发散D （分数：3.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.向量 a=1，1， （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x，y)=e -xsin(x+2y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设是上半球面 z= 的上侧，则对坐标的曲面积分 （分数：2.00）填空项 1:
3、_9.微分方程 x2dy+(3xy-y)dx=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)是周期为 2 的函数，f(x)在-，上的表达式为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求过点(0，2，4)且与两平面 x+2z=1 和 y-3z=2 平行的直线方程（分数：5.00）_12.设函数 z=ln ，求 （分数：5.00）_13.设 z=f(x，y)是由方程 z-y-x+xex-y-z=0 确定的隐函数，求 （分数：5.00）_14.设函数 z=f(x2-y2，2xy)，其中 f(u，v)具有一阶连续偏导数，求
4、 和 （分数：5.00）_15.计算二重积分 （分数：5.00）_16.计算二重积分 （分数：5.00）_17.计算空间曲线积分 （分数：5.00）_18.计算对弧长的曲线积分 （分数：5.00）_19.求微分方程(e x+y-e-x)dx+(ex+y+ey)dy=0 的通解（分数：5.00）_20.求微分方程 e2x-ydx-ex+ydy=0 的通解（分数：5.00）_21.判断级数 （分数：5.00）_22.将函数 f(x)= （分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 z=x3+8y3-6xy+5 的极值（分数：5.00）_24.设曲线 y=x(x)
5、在其上点(x，y)处的切线斜率为 4x2- （分数：5.00）_25.将函数 ln(3+x)展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间（分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-19 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.已知 f(x，y)在点(x 0，y 0)的偏导数存在，则下列结论正确的是_ A.f(x，y)在(x 0，y 0)点连续 B.f(x，y)在(x 0， 0)点可微 C.函数 f(x，y 0)在 x=x0点连续 D.f(x，y)在(x 0，y 0)点有任意方向的方向导数（分数：3.00）A.B.C. D.解析：
6、解析 根据多元函数的连续、可导、可微之间的关系可知 A、B 是错误的对于 C，因 F(x)=f(x，y 0)是关于 x 的一元函数，从而 F(x0)=fx(x0，y 0)是存在的，因此一元函数 F(x)=f(x，y 0)在 x=x0处是连续的从而 C 是正确的对于 D，我们知道，如果 f(x，y)在点(x 0，y 0)可微，则在点(x 0，y 0)处沿任意方向的方向导数都存在但两个偏导数存在并不意味着可微，所以此结论的正确性是有疑问的事实上，对于函数 f(x，y)=*，可以证明在原点的两个偏导数都为零，但是沿方向(1，1)的方向导数不存在答案为 C2.极限 =_ A B C （分数：3.00）
7、A. B.C.D.解析：解析 *答案为 A3.设 D 由圆 r=2 围成，则 =_ A B4 C （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查二元积分的计算 积分区域 D 由圆 r=2 围成，令 x=rcos，y=rsin 则* =*答案为 C4.以 y=sin3x 为特解的微分方程为_ A.y“+y=0 B.y“-y=0 C.y“+9y=0 D.y“-9y=0（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由题可知：特征根 r=3i 故 r2+q=0故所求微分方程为 y“+qy=0答案为 C5.设 an0，(n=1，2，3，)，若 an收敛，则下列结论正确的是_A a2n-1收敛
8、， a2n发散B a2n收敛， a2n-1发散C 发散D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查级数的敛散性 级数*收敛，则*，*也收敛， 故*也收敛 如级数*收敛，而级数*也收敛答案为 D二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.向量 a=1，1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由题意知，*=*7.设 f(x，y)=e -xsin(x+2y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-2e -xsin(x+y)+cos(x+2y)）解析：解析 *-e -xsin(x+2y)+e-xcos(x+2y)=-e-xcos(x+2
9、y)2-e-xsin(x+2y)2=-2e-xsin(x+2y)+cos(x+2y)8.设是上半球面 z= 的上侧，则对坐标的曲面积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 由高斯公式计算得知：y 3dxdy=09.微分方程 x2dy+(3xy-y)dx=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=*）解析：解析 原方程变形为*，两端积分得*，即 y=*10.设 f(x)是周期为 2 的函数，f(x)在-，上的表达式为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 *(x)sinnxdx(n=1，2，)，代入得：*bn=
10、*(-1)n，n=1，2，3s(x)=*(ancosnx+bnsinnx)代入各式得：*当 x=0 时，s(x)=0三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求过点(0，2，4)且与两平面 x+2z=1 和 y-3z=2 平行的直线方程（分数：5.00）_正确答案：(本题是有关直线方程的求解问题平面 x+2z=1 和 y-3z=2 的法向量分别为n1=1，0，2和 n2=0，1，-3因所求直线与两平面均平行，从而其方向向量可取为 v，且有 vn 1，vn 2*又直线过点(0，2，4)，从而所求直线的对称式方程为*)解析：12.设函数 z=ln ，求 （分数：5.00）_正确答案：
11、(* * *)解析：13.设 z=f(x，y)是由方程 z-y-x+xex-y-z=0 确定的隐函数，求 （分数：5.00）_正确答案：(令 F(x，y，z)=z-y-x+xe z-y-x则 Fx=-1+ez-y-x+xez-y-x(-1)=-1-(x-1)ez-y-xFz=1+xez-y-x*)解析：14.设函数 z=f(x2-y2，2xy)，其中 f(u，v)具有一阶连续偏导数，求 和 （分数：5.00）_正确答案：(设 a=x2-y2 v=2xy*)解析：15.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：(积分域 D 的图形如下图所示，D 可用不等式表示为：0xa， * * *)解析：1
12、6.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：(*=*=(1-cosa 2)解析：17.计算空间曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(本题考查曲线积分的计算由于以 x 换 y，y 换 z，z 换 x，曲线 L 的方程不变，即 L 具有轮换对称性，因此 * 而 L 是经过球心的圆，其周长为 2a，故*)解析：18.计算对弧长的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(C：x=2cost y=2sint(0t)cx 2ds*)解析：19.求微分方程(e x+y-e-x)dx+(ex+y+ey)dy=0 的通解（分数：5.00）_正确答案：(原方程变形为 ey(ex+1)dy=-ex(ey-1
13、)dx，是可分离变量的方程分离变量*，两端积分*，得 ln|ey-1|=-ln(ex+1)+ln|C|，即 ln(ex+1)+ln|ey-1|=ln|C|故原方程的通解为(e x+1)(ey-1)=C注：本题中为使通解的形式简便起见，以 ln|C|表示任意常数在解微分方程的过程中，常常根据积分的结果，以适当的形式表示任意常数)解析：20.求微分方程 e2x-ydx-ex+ydy=0 的通解（分数：5.00）_正确答案：(原方程可化为：e 2ydy=exdx两边积分e 2ydy=e xdx所以通解为*)解析：21.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：(记*，考虑函数 f(x)=ex-1-x(
14、x0)，由于 f(x)在0，+)上连续，(0，+)内可导，且f(x)=ex-10，当 x0 时 f(x)f(0)=0即 f(x)是正值单调增加函数由此可知所给级数为交错级数，u n单调减少，又*=0，由莱布尼茨定理知所给级数收敛)解析：22.将函数 f(x)= （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 z=x3+8y3-6xy+5 的极值（分数：5.00）_正确答案：(1)令*，解这个方程组第一个方程可变为 x2=2y，第二个方程可变为 x=4y2=(2y)2于是得到 x=(x2)2=x4，进而变为 x(x3-1)=0得到 x1=0
15、，x 2=1，从而方程组的解为*及*，得到两个驻点M1(0，0)和 M2(1，*)求函数的二阶偏导数 A=zxx=6x，B=z xy=-6，C=z yy=48y在点 M1(0，0)处，A=0，B=-6，C=0，因此 =B 2-AC=360则在点 M1(0，0)处函数不取得极值在点 M2(1，*)处，A=6，B=-6，C=24，因此 =B 2-AC=-1080则在点 M2(1，*)处，函数取得极值因 A0，则 f(1，*)=4 是极小值注：多元函数求极值一般分为两个步骤，第一步是求出可疑的极值点(驻点、不可导点)，第二步是在可疑点处判断是否取得极值对于第一步，通常是找驻点，其方法是令函数的各个偏导数等于零，然后解这个由偏导数构成的方程组对于第二步，当函数有二阶偏导数时，可用取得极值的充分条件来判断驻点是否为极值点)解析：24.设曲线 y=x(x)在其上点(x，y)处的切线斜率为 4x2- （分数：5.00）_正确答案：(由题意*，y(1)=1 即* 解微分方程得*)解析：25.将函数 ln(3+x)展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间（分数：5.00）_正确答案：(本题考查函数幂级数展开成立的区间 已知 ln(1+x)=*(-1x1) 则* (-3x3)解析：
