1、高等数学(工本)自考题-18 及答案解析(总分：94.96，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x0，y 0)和 fy(x0，y 0)存在，是 f(x，y)在该点连续的_A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件C充分且必要的条件 D既非充分条件又非必要条件（分数：3.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x，y)=x+y，则 f(x，y)在点(0，0)处_ A.取得极大值为 0 B.取得极小值为 0 C.连续 D.间断（分数：3.00）A.B.C.D.3.设 f(u)是连续函数，D 是
2、由曲线 y=x3，直线 x=-1，x=1 及 x 轴围成的闭区域，D 1是 D 的第一象限部分，则二重积分 x+yf(x2+y2)d 为_A0B2 x+yf(x2+y2)dC rcos+sinf(r 2)drdD2 （分数：3.00）A.B.C.D.4.微分方程 y“-2y+3y=5e2x的一个特解为_A BC2e 2x D （分数：3.00）A.B.C.D.5.设 un0(n=1，2，3)，且 =1，则级数 (-1)n+1（分数：3.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量 =k，2，-1)和 =2，-1，-1)垂直，则常数 k=_（分数：2.00）
3、填空项 1:_7.已知 z=f(x+y，xy)，其中 f 为可微函数，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设二次积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 y“+2y+5y=0 的通解为_（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在-，上表达式为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、B计算题/B(总题数：1，分数：55.00)已知平面 ：2x+y+z=3 和直线 L： （分数：54.96）(1).写出直线 L 的对称式方程（分数：4.58）_(2).求平面 与直线 L 的交点（分数：4.58）_(3).设函数 u=f(
4、excosy，lny，3x 2)具有连续的二阶偏导数求 （分数：4.58）_(4).已知方程 x2+y2-4y+z2=3 确定函数 z=z(x，y)，求 和 （分数：4.58）_(5).求函数 u=f(x，y，z)=x 2+xy+yz 在点(1，0，3)处沿方向角为 =60，=45，=60的方向导数（分数：4.58）_(6).设积分区域 由上半球面 z= 及平面 z=0 所围成，求三重积分 （分数：4.58）_(7).计算三重积分 I= （分数：4.58）_(8).设为坐标面及平面 x=1，y=1，z=1 所围成的正方体表面的外侧，计算曲面积分 （分数：4.58）_(9).求 （分数：4.58
5、）_(10).求微分方程 （分数：4.58）_(11).讨论级数 （分数：4.58）_(12).求幂级数 （分数：4.58）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)11.求函数 z= （分数：5.00）_12.验证在整个 Oxy 平面内(4x3y3-3y2+5)dx+(3x4y2-6xy-4)dy是某个二元函数 u(x，y)的全微分，并求这样的一个 u(x，y)（分数：5.00）_13.将函数 f(x)= （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-18 答案解析(总分：94.96，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.二元函数 f(x，y)在
6、点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x0，y 0)和 fy(x0，y 0)存在，是 f(x，y)在该点连续的_A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件C充分且必要的条件 D既非充分条件又非必要条件（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查二元函数偏导数的应用由函数在某点连续的定义知，f x(x0，y 0)和 fy(x0，y 0)存在不能保证*f(x，y)=f(x 0，y 0)，故 fx(x0，y 0)和 fy(x0，y 0)存在不是 f(x，y)在该点连续的充分条件，也不是其必要条件答案为 D2.设函数 f(x，y)=x+y，则 f(x，y)在点(0，0)处_ A.取得极
7、大值为 0 B.取得极小值为 0 C.连续 D.间断（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 根据二元函数的连续性定义，*=0+0=0=f(0，0)，由上式可知 f(x，y)在点(0，0)处连续答案为 C3.设 f(u)是连续函数，D 是由曲线 y=x3，直线 x=-1，x=1 及 x 轴围成的闭区域，D 1是 D 的第一象限部分，则二重积分 x+yf(x2+y2)d 为_A0B2 x+yf(x2+y2)dC rcos+sinf(r 2)drdD2 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查二重积分的计算由于 D 关于原点对称，x+yf(x 2+y2)在对称点的值互为相反数
8、，所以*(x+yf(x 2+y2)d=0答案为 A4.微分方程 y“-2y+3y=5e2x的一个特解为_A BC2e 2x D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 =2 不属于特征方程 r2-2r+3=0 的根设特征值为 y*=Ae2xy*=(Ae2x)=2Ae2xy*“=(Ae2x)“=4Ae2x将它们代入原方程得：4Ae2x-2(2Ae2x)+3Ae2x=5e2x3Ae2x=5e2x即 A=*y *=*e2x答案为 B5.设 un0(n=1，2，3)，且 =1，则级数 (-1)n+1（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查级数敛散性的判定u n0，且*=1
9、，所以*，*在 n时，等同于级数*，故该级数收敛，但*为调和级数，不收敛，故*条件收敛答案为 C二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量 =k，2，-1)和 =2，-1，-1)垂直，则常数 k=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查空间解析几何中向量之间的关系和运算因为向量 ， 互相垂直故必有=0，即k，2，-12，-1，-1=2k-2+1=0， 即 k=*7.已知 z=f(x+y，xy)，其中 f 为可微函数，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(f 1+yf2)dx+(f1+xf2)dy）解析：解析 *=f 1+
10、f2y，*=f 1+xf2dz=*=(f 1+yf2)dx+(f1+xf2)dy8.设二次积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题是有关多元函数二次积分的交换积分次序的问题二次积分的积分区域 D 如下图阴影部分，故 I=* *9.微分方程 y“+2y+5y=0 的通解为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=e -x(C1cos2x+C2sin2x)）解析：解析 本题考查二阶常系数齐次微分方程的通解对应于微分方程 y“+2y+5y=0 的特征方程为 2+2+5=0，所以特征根为 =-12i，所以微分方程的通解为 y=e-x(C1cos2x+C2
11、sin2x)10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在-，上表达式为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查函数傅里叶级数的和函数 因为 f(x)是周期为 2 的周期函数，x=0 是 f(x)的间断点，所以 f(x)收敛于*f(0-0)+f(0+0)，即 f(x)的傅里叶级数的和函数在 x=0 处的值为*f(0-0)+f(0+0)=*三、B计算题/B(总题数：1，分数：55.00)已知平面 ：2x+y+z=3 和直线 L： （分数：54.96）(1).写出直线 L 的对称式方程（分数：4.58）_正确答案：(L 的方向向量为* 点(-2，0，3
12、)在直线 L 上 所以直线 L 的对称式方程为*)解析：(2).求平面 与直线 L 的交点（分数：4.58）_正确答案：(由* 解得 L 与 的交点坐标为(1，-1，2)解析：(3).设函数 u=f(excosy，lny，3x 2)具有连续的二阶偏导数求 （分数：4.58）_正确答案：(根据复合函数求导法*=f1excosy+f36x再对 y 求导得：*)解析：(4).已知方程 x2+y2-4y+z2=3 确定函数 z=z(x，y)，求 和 （分数：4.58）_正确答案：(2x+2z*=0 * 从而*)解析：(5).求函数 u=f(x，y，z)=x 2+xy+yz 在点(1，0，3)处沿方向角
13、为 =60，=45，=60的方向导数（分数：4.58）_正确答案：(*)解析：(6).设积分区域 由上半球面 z= 及平面 z=0 所围成，求三重积分 （分数：4.58）_正确答案：(*)解析：(7).计算三重积分 I= （分数：4.58）_正确答案：(本题考查三重积分的计算如下图所示，Oxy 平面上曲线 y2=2x 绕 x 轴旋转而成的曲面方程为y2+z2=2x，故 是由曲面 y2+z2=2x 及平面 x=5 所围成的闭区域当 Ox5 时，平面 X=x 与 相交的区域为 y2+z22x*于是*)解析：(8).设为坐标面及平面 x=1，y=1，z=1 所围成的正方体表面的外侧，计算曲面积分 （
14、分数：4.58）_正确答案：(设 ：0x1，0y1，0z1 由高斯公式得 *)解析：(9).求 （分数：4.58）_正确答案：(本题考查曲线积分的计算 L：*，0t2 *)解析：(10).求微分方程 （分数：4.58）_正确答案：(P(x)=2 Q(x)=e xy=e -P(x)dx Q(x)e P(x)dx dx+C=e-2dx e xe2dx dx+C=e-2xe 3xdx+C=e-2x*+C故原方程通解为 y=*)解析：(11).讨论级数 （分数：4.58）_正确答案：(本题考查级数的敛散性 *，且*发散 故原级数*发散 或者使用比较判别法的极限形式： * 且*发散 故原级数*发散)解析
15、：(12).求幂级数 （分数：4.58）_正确答案：(* =* =1 收敛半径 R=1 且|x-3|1 得 2x4 所以收敛区间为(2，4) 又当 x=2时，级数*收敛 x=4 时，级数*收敛 收敛域为2，4)解析：四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)11.求函数 z= （分数：5.00）_正确答案：(本题考查多元函数极值的求解令 z=f(x，y)=*f x(x，y)=*fy(x，y)=*令 fx(x，y)=0，f y(x，y)=0得：x=y=0又f“ xx(x，y)=*f“xy(x，y)=0f“yy(x，y)=*令 A=f“xx(0，0)=*，B=f“ xy(0，0)=0C=f“yy(0，0)=*=B 2-AC=*0故此函数无极值)解析：12.验证在整个 Oxy 平面内(4x3y3-3y2+5)dx+(3x4y2-6xy-4)dy是某个二元函数 u(x，y)的全微分，并求这样的一个 u(x，y)（分数：5.00）_正确答案：(令 P(x，y)=4x 3y3-3y2+5Q(x，y)=3x 4y2-6xy-4因为*在 Oxy 平面内处处成立，所以表达式是某个二元函数 u(x，y)的全微分，且可取u(x，y)=*P(x，y)dx+Q(x，y)dy*)解析：13.将函数 f(x)= （分数：5.00）_正确答案：(由*(-1x1)知 * 收敛域为(-6，-2)解析：
