1、高等数学(工本)自考题-17 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.函数 f(x，y)= （分数：3.00）A.B.C.D.2.已知 f(1，2)=7-10ln2 为函数 f(x，y)=ax 2+bxy+ay2+clnx+dlny 的极小值，则 a、b、c、d 分别为_ A.1，1，4，10 B.-1，-1，-4，-10 C.1，1，-4，-10 D.-1，-1，4，10（分数：3.00）A.B.C.D.3.设积分区域 D：x 2+y23，则二重积分 （分数：3.00）A.B.C.D.4.方程 ysinx=ylny 满足初
2、始条件 =e 的特解是_A Be sinxC D （分数：3.00）A.B.C.D.5.设无穷级数 （分数：3.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.Oxz 平面上的抛物线 z2=5x 绕其对称轴旋转所得的旋转曲面的方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 z= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.计算 I= （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_10.设函数 f(x)=x+x 2(-x)的傅里叶级数展开式为 （分数：2.00）填空项 1:_三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.设平
3、面 经过点 P1(4，2，1)和 P2(-2，-3，4)，且平行于 y 轴，求平面 的方程（分数：5.00）_12.求直线 （分数：5.00）_13.求椭球面 x2+2y2+z2=4 在点(1，-1，1)处的切平面方程和法线方程（分数：5.00）_14.设二元函数 z=z(x，y)由方程 z=x+yez确定，求 （分数：5.00）_15.设积分区域 D 是由坐标轴及直线 x+y=1 所围成，求二重积分 （分数：5.00）_16.计算 I= （分数：5.00）_17.设 L 为折线 OAB，其中 O(0，0)，A(1，1)，B(1，0)，求曲线积分 （分数：5.00）_18.计算 （分数：5.0
4、0）_19.求微分方程 （分数：5.00）_20.求解方程 （分数：5.00）_21.判断无穷级数 （分数：5.00）_22.将函数 f(x)=|sinx| -x 展开为傅里叶级数（分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=4(x-y)-x 2-2y2的极值（分数：5.00）_24.设平面薄板所占 Oxy 平面上区域 D，其中 D 是由曲线 y= （分数：5.00）_25.将函数 f(x)=xarctanx 展开为 x 的幂级数（分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-17 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择
5、题/B(总题数：5，分数：15.00)1.函数 f(x，y)= （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析函数 f(x，y)=*的定义域应满足下列不等式*综上所述函数 f(x，y)的定义域为(x，y)|4x 2+y29答案为 B2.已知 f(1，2)=7-10ln2 为函数 f(x，y)=ax 2+bxy+ay2+clnx+dlny 的极小值，则 a、b、c、d 分别为_ A.1，1，4，10 B.-1，-1，-4，-10 C.1，1，-4，-10 D.-1，-1，4，10（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查函数取极值的必要条件f(x，y)=ax 2+bxy+ay2+c
6、lnx+dlny，则*=2ax+by+*，*=bx+2ay+*，由函数取极值的条件知*，*f(1，2)取极小值，故 a+2b+4a+dln2=7-10ln2，即5a+2b+dln2=7-10ln2所以 d=-10，5a+2b=7联立 b+4a+*=0 及 2a+2b+c=0 得 a=1，b=1，c=-4答案为 C3.设积分区域 D：x 2+y23，则二重积分 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 利用极坐标法计算 *答案为 A4.方程 ysinx=ylny 满足初始条件 =e 的特解是_A Be sinxC D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查微分方程的特解将
7、选项 A、B、C、D 中的函数，代入初始条件*=e，可知只有选项 B、D 满足令 f(x)=esinx，g(x)=*，则有f(x)=esinxcosx，g(x)=*，故 f(x)sinx=esinxcosxsinxe sinxsinx=f(x)lnf(x)*=g(x)lng(x)答案为 D5.设无穷级数 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 此级数为 P 级数，根据其特点知，当 3-P1 时，即 P2 时该级数收敛答案为 D二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.Oxz 平面上的抛物线 z2=5x 绕其对称轴旋转所得的旋转曲面的方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_
8、（正确答案：y 2+z2=5x）解析：解析 本题考查曲线的旋转曲面的方程，因为抛物线 z2=5x 绕其对称轴旋转，故有 y2+z2=5x7.设函数 z= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查多元函数的偏导数 z=*， 故*8.计算 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 曲面的方程为 z=x2+y2(0z1)下图所示，在 xOy 平面上的投影区域为Dxy：x 2+y21此时注意到*，*所以*9.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=*）解析：解析 本题考查一阶线性非齐次微分方程本题属于可分离变量的微分方程
9、原方程可化为dy=(3x+1)dx 两边积分得：y=*10.设函数 f(x)=x+x 2(-x)的傅里叶级数展开式为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查函数的傅里叶系数 * * =*三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.设平面 经过点 P1(4，2，1)和 P2(-2，-3，4)，且平行于 y 轴，求平面 的方程（分数：5.00）_正确答案：(设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0点 P1和 P2在平面上*平面平行于 y 轴A，B，C0，1，0即：B=0 联立得：A=-*D B=0 C=-*D所以所求平面方程为x+2z-6=0)解析：12.
10、求直线 （分数：5.00）_正确答案：(由直线方程，直线的方向向量为 -5，-3，33，-2，1 =* =3，4，-1 令 z=1，可得 x=12，y=18，即直线过点(12，18，1) 则直线的对称方程为*)解析：13.求椭球面 x2+2y2+z2=4 在点(1，-1，1)处的切平面方程和法线方程（分数：5.00）_正确答案：(设 F(x，y，z)=x 2+2y2+z2-4*在点(1，-1，1)处切平面的法向量为 n=2，-4，2所以所求切平面方程为2(x-1)-4(y+1)+2(z-1)=0即：x-2y+z-4=0所求法线方程为*)解析：14.设二元函数 z=z(x，y)由方程 z=x+y
11、ez确定，求 （分数：5.00）_正确答案：(所给方程两边分别关于 x，y 求偏导数，得*，*=e z+*)解析：15.设积分区域 D 是由坐标轴及直线 x+y=1 所围成，求二重积分 （分数：5.00）_正确答案：(D：* *)解析：16.计算 I= （分数：5.00）_正确答案：(本题考查二重积分的计算先对 x 后对 y 积分时，区域 D(如下图)可表示为0y1，y 2xy*于是有*但此题如果化为先对 y 后对 x 积分，则有*，由于*的原函数不能用初等函数来表示，所以它的积分难以进一步求出这表明这个例子不能采用先对y 后对 x 的积分公式来计算)解析：17.设 L 为折线 OAB，其中
12、O(0，0)，A(1，1)，B(1，0)，求曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：18.计算 （分数：5.00）_正确答案：(本题考查曲线积分的计算，用直角坐标系由于 x2+y2=4x，用隐函数求导得 y=*，则：*)解析：19.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：(*即*两边积分有*ln(lny)=lnx+lnC所以通解为 y=eCx)解析：20.求解方程 （分数：5.00）_正确答案：(本题考查微分方程的求解此方程对未知函数 y=y(x)来讲不是线性方程，如将其改写为：*上述方程是以 x=x(y)为未知函数的一阶线性微分方程，P(y)=-*，Q(y)=-y故*=e2
13、lny(-y)e -2lnydy+C=y2(-y)y -2dy+C=y2(C-lny)即为原方程的通解)解析：21.判断无穷级数 （分数：5.00）_正确答案：(由正项级数比值审敛法 * 原级数收敛)解析：22.将函数 f(x)=|sinx| -x 展开为傅里叶级数（分数：5.00）_正确答案：(本题考查函数的傅里叶展开f(x)在-，上处处连续，且只有 3 个极值点，故满足收敛条件又因为 f(x)为偶函数，所以 bn=0(n=1，2，)*因为在推导过程中当 n=1 时，a n没有意义，所以，a 0、a 1要重新求*故*(-x)解析：四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=4(x-y)-x 2-2y2的极值（分数：5.00）_正确答案：(*，*得驻点坐标为(2，-1)*=-2，*=0，*=-4而 =B 2-AC=-80 且 A=-20f(x，y)在点(2，-1)处取得极大值为 f(2，-1)=6)解析：24.设平面薄板所占 Oxy 平面上区域 D，其中 D 是由曲线 y= （分数：5.00）_正确答案：(由于 D=(x，y)|1x2，*yx)，所以 *)解析：25.将函数 f(x)=xarctanx 展开为 x 的幂级数（分数：5.00）_正确答案：(*|x|1 * *|x|1)解析：
