1、高等数学(工本)自考题-16 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.平面 1：x-4y+z+5=0 与 2：2x-2y-z+3=0 的夹角 =_A BC D （分数：3.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x，y)满足 fx(x0，f 0)=f(x0，y 0)=0，则函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处_ A.一定连续 B.一定有极值 C.一定可微 D.偏导数一定存在（分数：3.00）A.B.C.D.3.设 B 是圆形区域 x2+y24，则二重积分 dxdy=_A B （分数：3.00）A.B.C.D.4.已知二阶
2、常系数线性齐次微分方程 y“+py+qy=0 的通解为 y=ex(C1sin2x+C2cos2x)，则常数 p 和 q 分别为_ A.-2 和 5 B.2 和-5 C.2 和 3 D.-2 和-3（分数：3.00）A.B.C.D.5.级数 _ A发散 B收敛于- C收敛于 0 D收敛于- （分数：3.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设函数 z=arctan(x+y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 u=f(x)可导，则复合函数 u=f(xyz)的全微分 du= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.已知 sinxdx+cosydy 是某个函
3、数 u(x，y)的全微分，则 u(x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在-，)上表达式为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求与三个点 A(3，7，-4)，B(-5，7，-4)，C(-5，1，-4)的距离都相等的点的轨迹（分数：5.00）_12.设函数 z= ，求 （分数：5.00）_13.设 z= ，求 （分数：5.00）_14.求函数 f(x，y)=2xy-x 2-y2在点(1，2)处，沿与 x 轴正向成 60角的方向 l
4、的方向导数（分数：5.00）_15.求函数 u=xyz 沿从点(1，0，1)指向点(3，-1，3)的方向 l 的方向导数（分数：5.00）_16.计算二次积分 I= （分数：5.00）_17.计算 I= （分数：5.00）_18.计算对弧长的曲线积分 2xds，其中 L 是抛物线 y= x2上由点(1， （分数：5.00）_19.计算 （分数：5.00）_20.已知可导函数 f(x)满足 f(x)=1+ （分数：5.00）_21.判断级数 （分数：5.00）_22.判断无穷级数 （分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 z=e2x(x+y2+2y)的极值
5、（分数：5.00）_24.求由平面 x=0，y=0，z=0，x+y=1 及抛物面 z=x2+y2所围成的曲顶柱体的体积（分数：5.00）_25.将函数 （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-16 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.平面 1：x-4y+z+5=0 与 2：2x-2y-z+3=0 的夹角 =_A BC D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查空间两平面的夹角由题意知平面 1、 2的法线向量分别为 n1=1，-4，1，n 2=2，-2，-1知|n 1|=*，|n2|=3，n 1n2=2
6、+8-1=9，所以 cos=*，所以*答案为 C2.设函数 f(x，y)满足 fx(x0，f 0)=f(x0，y 0)=0，则函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处_ A.一定连续 B.一定有极值 C.一定可微 D.偏导数一定存在（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查函数在某点处的性态由二元函数连续可微的定义可知，f x(x0，y 0)=fy(x0，y 0)=0不能推出 f(x，y)在点(x 0，y 0)处一定连续，可微而 fx(x0，y 0)=fy(x0，y 0)=0 只是极值存在的必要条件，不能推出 f(x，y)在点(x 0，y 0)处一定有极值由偏导数的定义可知，D
7、 选项正确答案为 D3.设 B 是圆形区域 x2+y24，则二重积分 dxdy=_A B （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 令 x=rcos，y=rsin，则 02，0r2*=*答案为 B4.已知二阶常系数线性齐次微分方程 y“+py+qy=0 的通解为 y=ex(C1sin2x+C2cos2x)，则常数 p 和 q 分别为_ A.-2 和 5 B.2 和-5 C.2 和 3 D.-2 和-3（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 依题知特征方程 r2+pr+q=0 有一对共轭复根 r=12i，代入特征方程得：p=-2，q=5答案为 A5.级数 _ A发散 B收敛于- C
8、收敛于 0 D收敛于- （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 该级数是公比 q=-*的等比级数，且|q|=*1故该级数收敛，且和为 S=*答案为B二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设函数 z=arctan(x+y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *7.设 u=f(x)可导，则复合函数 u=f(xyz)的全微分 du= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：yzf(xyz)dx+xzf(xyz)dy+xyf(xyz)dz）解析：解析 由题得*=f(xyz)yz，*=f(xyz)xz，*=f(xyz)xy8.已知 sinxd
9、x+cosydy 是某个函数 u(x，y)的全微分，则 u(x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-cosx+siny+C）解析：解析 根据全微分的定义，dz=*，则 u(x，y)=sinxdx+cosydy=-cosx+siny+C9.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：一阶可分离变量）解析：解析 本题考查微分方程的定义 由可分离变量微分方程的定义可知， *可化为* 所以该方程为一阶可分离变量方程10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在-，)上表达式为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 因为 f(x)是
10、周期为 2 的周期函数，可得 x= 为 f(x)的间断点，根据狄里克雷收敛准则，可得 f(x)的傅里叶级数在 x= 处收敛于*，即*三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求与三个点 A(3，7，-4)，B(-5，7，-4)，C(-5，1，-4)的距离都相等的点的轨迹（分数：5.00）_正确答案：(本题考查空间中两点之间的距离轨迹设满足题意的点为 P(x，y，z)，则应有|AP|=|BP|=|CP|，即|AP| 2=|BP|2=|CP|2又|AP| 2=(x-3)2+(y-7)2+(z+4)2，|BP|2=(x+5)2+(y-7)2+(z+4)2，|CP|2=(x+5)2+(y
11、-1)2+(z+4)2，由|AP| 2=|BP|2=|CP|2化简得-3x-7y+4z+37=5x-7y+4z+45=5x-y+4z+21，从而所求点的轨迹为*即*)解析：12.设函数 z= ，求 （分数：5.00）_正确答案：(* * 又*)解析：13.设 z= ，求 （分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：14.求函数 f(x，y)=2xy-x 2-y2在点(1，2)处，沿与 x 轴正向成 60角的方向 l 的方向导数（分数：5.00）_正确答案：(l 的方向单位向量*=(cos，cos)=(cos60，cos30)=*=f x(x0，y 0)cos+f y(x0，y 0)cos在点
12、(1，2)处：f x=*=2y-2x=2，f y=*=2x-2y=-2所求方向导数*)解析：15.求函数 u=xyz 沿从点(1，0，1)指向点(3，-1，3)的方向 l 的方向导数（分数：5.00）_正确答案：(本题是有关方向导数的问题ux=yz，u y=xz，u z=xy，u x(1，0，1)=0，u y(1，0，1)=1，u z(1，0，1)=0由空间解析几何知识知，由点(1，0，1)到点(3，-1，3)的直线 l 的方向余弦为：*，*，*，因此，*=u x(1，0，1)cos+u y(1，0，1)cos+u x(1，0，1)cos=-*)解析：16.计算二次积分 I= （分数：5.00
13、）_正确答案：(I=*中，面积分区域如图示阴影： * *)解析：17.计算 I= （分数：5.00）_正确答案：(积分域关于三个坐标面都对称，且被积函数是 x、y、z 的偶函数记 1为 位于第一卦限的部分，则*)解析：18.计算对弧长的曲线积分 2xds，其中 L 是抛物线 y= x2上由点(1， （分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：19.计算 （分数：5.00）_正确答案：(原积分=*由于曲面(如下图所示)与 xOy 面垂直，所以在 xOy 面上投影的面积为零，故*zdxdy=0*下面计算曲面积分*xdydz将分成前后两片：= 1+ 2，由的方程 x2+y2=1(0z3)得， 1的
14、方程为 x=*(-1y1)； 2的方程为 x=-*(-1y1) 1和 2在 yOz 面上的投影均为矩形区域Dyz：-1y1，0z3由于 1和 2的法向量分别指向其投影坐标面 yOz 面的上、下方，故化为二重积分时分别取正号和负号于是*(其中由定积分的几何意义得*)(注：此题也可用高斯公式求解)解析：20.已知可导函数 f(x)满足 f(x)=1+ （分数：5.00）_正确答案：(由 f(x)=1+*tf(t)dt，两边同时求导得： f(x)=xf(x)，即*=xf(x) *=xdx * lnf(x)=* * f(x)=*)解析：21.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：(令*(x1)，则*
15、0，所以 f(x)是1，+上的单调减函数，且*=0，故由莱布尼兹定理，知原级数收敛 另一方面，因为 * 且*发散，故原级数非绝对收敛， 所以，原级数条件收敛)解析：22.判断无穷级数 （分数：5.00）_正确答案：(*= *， *，发散)解析：四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 z=e2x(x+y2+2y)的极值（分数：5.00）_正确答案：(本题考查多元函数极值的求解现令 z=f(x，y)=e 2x(x+y2+2y)fx(x，y)=2e 2x(x+y2+2y)+e2xfy(x，y)=e 2x(2y+2)令 fx(x，y)=0，f y(x，y)=0得：*fxx(x，y
16、)=22e 2x(x+y2+2y)+e2x+e2x=4e2x(x+y2+2y)+3e2xf“xy(x，y)=2e 2x(2y+2)=4e2x(y+1)fyy(x，y)=2e 2xA=fxx=(*，-1)=eB=fxy(*，-1)=0C=2e=B 2-AC=0-e2e=-2e20故(*，-1)点为其极小值，z(*，-1)=-*e)解析：24.求由平面 x=0，y=0，z=0，x+y=1 及抛物面 z=x2+y2所围成的曲顶柱体的体积（分数：5.00）_正确答案：(柱体如下图所示： * * *)解析：25.将函数 （分数：5.00）_正确答案：(本题考查函数的幂级数展开 已知*(1x1)将原函数化为* 则*)解析：
