1、高等数学(工本)自考题-15 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系中，点 P(-1，2，-3)关于 Oyz 坐标面的对称点是_ A.(1，-2，3) B.(1，2，-3) C.(-1，2，3) D.(-1，-2，-3)（分数：3.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x，y)=y 2-x2+5，则点(0，0)_ A.是 f(x，y)的极小值点 B.是 f(x，y)的极大值点 C.不是 f(x，y)的驻点 D.是 f(x，y)的驻点但不是极值点（分数：3.00）A.B.C.D.3.设区域 D 是由直线 y=
2、2x，y=3x 及 x=1 所围成，则二重积分 =_ A B C1 D （分数：3.00）A.B.C.D.4.方程 2y“+y-y=2ex的特解具有形式_ A.aex+b B.aex C.ax2ex D.axex+bx（分数：3.00）A.B.C.D.5.若无穷级数 un收敛于 S，则无穷级数 （分数：3.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设 z=(1+xy)x，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设区域 D：0x1，|y|2，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 （分数：2.00）填空
3、项 1:_10.将函数 f(x)=|x|在-，上展开成傅里叶级数，则傅里叶系数 bn= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求过点 P1(1，2，-4)和 P2(3，-1，1)的直线方程（分数：5.00）_12.求经过点 P(3，0，-1)，平行于平面 ：3x-7y+5z-12=0 的平面方程（分数：5.00）_13.已知方程 x2+y2+z2-8z=0 确定函数 z=z(x，y)，求 （分数：5.00）_14.求 z=sinxcosy 在点( （分数：5.00）_15.求曲线 z=2x2+3y2在点(1，1，5)处的切平面方程（分数：5.
4、00）_16.D 是由直线 y=x，y=3x，x=1 和 x=3 所围的区域用两种不同的方法来表达 I= （分数：5.00）_17.计算三重积分 I= （分数：5.00）_18.设 L 是圆周 x2+y2+2y=0，求关于弧长的曲线积分 （分数：5.00）_19.计算对坐标的曲线积分 (x2-2xy)dx+(y2-2xy)dy，其中 L 为图中的有向折线 ABO（分数：5.00）_20.求微方程 （分数：5.00）_21.求幂级数 （分数：5.00）_22.求幂级数 （分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=x 3-4x2+2xy-y2+1
5、 的极值（分数：5.00）_24.证明y+ln(x+1)dx+(x+1)-e y)dy 是某一函数 u(x，y)的全微分，并求出 u(x，y)（分数：5.00）_25.将函数 f(x)= （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-15 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系中，点 P(-1，2，-3)关于 Oyz 坐标面的对称点是_ A.(1，-2，3) B.(1，2，-3) C.(-1，2，3) D.(-1，-2，-3)（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 关于 Oyz 坐标面对称即沿 x 轴移
6、动，因此只有 x 坐标改变符号，其余不变，答案为 B2.设函数 f(x，y)=y 2-x2+5，则点(0，0)_ A.是 f(x，y)的极小值点 B.是 f(x，y)的极大值点 C.不是 f(x，y)的驻点 D.是 f(x，y)的驻点但不是极值点（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查函数在某点是否取极值f(x，y)=y 2-x2+5，*=-2x，*=2y，*=0，则 x=y=0*=-2，*=0，*=2，所以=0-(-22)=40，所以(0，0)点不是 f(x，y)的极值点，是 f(x，y)的驻点，答案为 D3.设区域 D 是由直线 y=2x，y=3x 及 x=1 所围成，则二
7、重积分 =_ A B C1 D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 先画出区域 D，如下图阴影部分，则 * * 答案为 B4.方程 2y“+y-y=2ex的特解具有形式_ A.aex+b B.aex C.ax2ex D.axex+bx（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查微分方程的特解形式，由方程 2y“+y-y=2ex知，其特征方程为 2 2+-1=0，所以 =*或-1，所以 =1 不是特征方程的根，所以特解形式应为 aex，答案为 B5.若无穷级数 un收敛于 S，则无穷级数 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 * 答案为 C二、B填空题/B(总题
8、数：5，分数：10.00)6.设 z=(1+xy)x，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1+2ln2）解析：解析 令 1+xy=u，x=v，则*，*，*=y，*=1 * *7.设区域 D：0x1，|y|2，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 *8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *9.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：二阶）解析：解析 微分方程的阶是指微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，故该题的阶数为二阶10.将函数 f(x)=|x|在-，上展开成傅里叶级数，则傅里叶系数
9、bn= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 f(x)为偶函数，故傅里叶级数为余弦级数，所以 bn=0三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求过点 P1(1，2，-4)和 P2(3，-1，1)的直线方程（分数：5.00）_正确答案：(直线的方向向量为*=(3-1，-1-2，1-(-4)=(2，-3，5) *即为所求直线方程，也可用直线参数方程表示： *)解析：12.求经过点 P(3，0，-1)，平行于平面 ：3x-7y+5z-12=0 的平面方程（分数：5.00）_正确答案：(本题考查平面方程的求解平面 的法向量为3，-7，5，所求平画平行于平面 ，
10、于是其点法式方程为 3(x-3)-7y+5(x+1)=0， 即：3x-7y+5z-4=0)解析：13.已知方程 x2+y2+z2-8z=0 确定函数 z=z(x，y)，求 （分数：5.00）_正确答案：(x 2+y2+z2-8z=0(1)*，*(2)*)解析：14.求 z=sinxcosy 在点( （分数：5.00）_正确答案：(令 F(x，y，z)=sinxcosy-z * 由题可知： * * * 切平面为： * 即：* 法线方程为：*)解析：15.求曲线 z=2x2+3y2在点(1，1，5)处的切平面方程（分数：5.00）_正确答案：(对方程 z=2x2+3y2求偏导有*=1，*=4x，*
11、=6y则在点(1，1，5)处曲面切平面法向量为 grad(1，1，5)=(4，6，1)根据点法式方程有：4(x-1)+6(y-1)+(z-5)=0，整理得 4x+6y+z=15)解析：16.D 是由直线 y=x，y=3x，x=1 和 x=3 所围的区域用两种不同的方法来表达 I= （分数：5.00）_正确答案：(*，I=*f(x，y)dx，积分区域如下图 * *)解析：17.计算三重积分 I= （分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：18.设 L 是圆周 x2+y2+2y=0，求关于弧长的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(L 的参数方程： * *)解析：19.计算对坐标的曲线积分
12、 (x2-2xy)dx+(y2-2xy)dy，其中 L 为图中的有向折线 ABO（分数：5.00）_正确答案：(*dy+*(x2-2xy)+dx+(y2-2xy)dy在 AB 段 dy=0，y=1，在 BO 段 dx=0，x=0原式*)解析：20.求微方程 （分数：5.00）_正确答案：(*令*=p，则*，代入上式得dp2=dx-2*将初始条件代入上式得 C1=-1，所以*解之得 x2=1-(t+C2)2再将 x(1)=1 代入上式得 C2=-1，所以方程的特解为 x2=1-(t-1)2)解析：21.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：(*= *， R=*=2 当 x=2 时，级数为*，为
13、交错级数，收敛 当 x=-2 时，级数为*发散 收敛域为(-2，2)解析：22.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：(* * 在 x=*处，* 又因为*而级数*收敛 由比较法知在 x=*处级数收敛 在 x=-*处，原级数为*由上讨论知，级数绝对收敛)解析：四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=x 3-4x2+2xy-y2+1 的极值（分数：5.00）_正确答案：(*在 f(x，y)取极值时：* 即：* 函数有两个极值 f(0，0)=1，f(2，2)=-3 分别为极大值与极小值)解析：24.证明y+ln(x+1)dx+(x+1)-e y)dy 是某一函数
14、 u(x，y)的全微分，并求出 u(x，y)（分数：5.00）_正确答案：(本题考查全微分的求解原式在半平面 x-1 上是某函数的全微分取(x 0，y 0)为(0，0)，积分路径取为如下图所示折线 ONM*现令 P(x，y)=y+ln(x+1)Q(x，y)=x+1-e y，则有u(x，y)*=(x+1)ln(x+1)-x+xy+y-ey+1+C)解析：25.将函数 f(x)= （分数：5.00）_正确答案：(*，f(0)=0,f(x)=*，f(0)=33 -2f“(x)=32(3-x)-3，f“(0)=323 -3，f“(x)=332(3-x)-4，f“(0)=3323 -4，f(4)(x)=3432(3-x)-6，f (4)(0)=34323-5，* f(n)(x)=3n!(3-x)-n-1，f(n)(0)=3n!3-n-1=n!3-n*收敛半径 R=*=*f(0)=f(0)x+*=3-1x+3-2x2+3-3x3+3-nxn+(收敛半径 R=0)解析：
