1、高等数学(工本)自考题-14 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.点(-1，2，3)关于 y 轴的对称点的坐标是_ A.(1，-2，-3) B.(-1，-2，-3) C.(1，2，-3) D.(1，-2，3)（分数：3.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x，y)=(4x-x 2)(6y-y2)，则 f(x，y)的一个驻点是_A(2，6) B(4，3)C(0，6)D(0，3)（分数：3.00）A.B.C.D.3.设 D=(x，y)|1x2，1y2，则二重积分 =_ A B C D4（分数：3.00）A.B.C.D.4.
2、微分方程 y“-5y+6y=x2e3x的一个特解 y*可设为_ A.(b0x2+b1x)e3x B.(b0x2+b1x)xe3x C.(b0x2+b1x+b2)e3x D.(b0x2+b1x+b2)xe3x（分数：3.00）A.B.C.D.5.设 为正项级数，下列结论中正确的是_ A若级数 收敛，则有 =0 B若级数发散，则 =+ C若级数 收敛，则 =0 D若级数 发散，则存在非零常数，使得 （分数：3.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.在空间直角坐标系中，Oxz 平面上的曲线 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 z= （分数：2.00）填空项 1
3、:_8.设为上半球面 x2+y2+z2=1(z0)，则对面积的曲面积分 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 e-xdy+e-ydx=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.当|x|1 时，无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求经过点 A(2，-1，2)，且垂直于直线段 AB 的平面方程，点 B 的坐标是 B(8，-7，5)（分数：5.00）_12.设函数 z= ，求 （分数：5.00）_13.求曲线 3x2+y2-z2=27 在点(3，1，1)处的切平面方程和法线方程（分数：5.00）_14.求函数 f(x，
4、y)=xy 在点(2，3)处沿从点(2，3)到点(3，3+ （分数：5.00）_15.求 I= （分数：5.00）_16.计算二重积分 I= （分数：5.00）_17.求 （分数：5.00）_18.计算对弧长的曲线积分 （分数：5.00）_19.求解方程 （分数：5.00）_20.求微分方程 （分数：5.00）_21.判断正项级数 （分数：5.00）_22.设函数 f(x)=x(0x)展开成正弦级数为 （分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 z=4(x-y)-x2-y2的极值（分数：5.00）_24.求曲面 z=x2+2y2及曲面 z=6-2x2-y2
5、所围成的立体体积（分数：5.00）_25.将 f(x)= 展开成 x 的幂级数，并求级数 （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-14 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.点(-1，2，3)关于 y 轴的对称点的坐标是_ A.(1，-2，-3) B.(-1，-2，-3) C.(1，2，-3) D.(1，-2，3)（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 点(x，y，z)关于 y 轴的对称点坐标为(-x，y，-z)答案为 C2.设函数 f(x，y)=(4x-x 2)(6y-y2)，则 f(x，y)的一个驻点是_A(
6、2，6) B(4，3)C(0，6)D(0，3)（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 f(x，y)=(4x-x 2)(6y-y2)，则*，则选项 A、B、C、D 依次代入只有选项 C 使得 fx(0，6)=f y(0，6)=0答案为 C3.设 D=(x，y)|1x2，1y2，则二重积分 =_ A B C D4（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查二重积分的计算 由题意知积分区域如下图所示 * * 答案为 B4.微分方程 y“-5y+6y=x2e3x的一个特解 y*可设为_ A.(b0x2+b1x)e3x B.(b0x2+b1x)xe3x C.(b0x2+b1x+b2)
7、e3x D.(b0x2+b1x+b2)xe3x（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 先求 y“-5y+6y=0 的解，其特征方程为 r2-5r+6=0 r1=2，r 2=3由 e3x知 r2=3 为齐次方程的一个单根，则其特解形式设为 y*=xQm(x)e3x，由 x2可知 m=2，Q m(x)=b0x2+b1x+b2，最终特解形式为y*=(b0x2+b1x+b2)xe3x答案为 D5.设 为正项级数，下列结论中正确的是_ A若级数 收敛，则有 =0 B若级数发散，则 =+ C若级数 收敛，则 =0 D若级数 发散，则存在非零常数，使得 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析
8、 本题考查正项级数敛散性的性质由级数*收敛的充要条件知，其部分和数列S n有上界，也即*收敛，必有S n有上界，若*发散，必有*=+令 an=*，则 n2*=1，故只有 B 选项说法正确答案为 B二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.在空间直角坐标系中，Oxz 平面上的曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：z=2(x 2+y2)）解析：解析 由*其曲线为*故曲面方程为 z=2(x2+y2)7.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 * * dy=*8.设为上半球面 x2+y2+z2=1(z0)，则对面积的曲面积分 （分数：2.00）填
9、空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 *上班球面的方程为z=*则*，*ds=*或者直接由球面积公式 S=4r 2=4(r=1)，则其一半为 29.微分方程 e-xdy+e-ydx=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：e x+ey=C）解析：解析 由 e-xdy+e-ydx=0 分离变量得 eydy=-exdx两端积分得 ey=-ex+C，即 ex+ey=C10.当|x|1 时，无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 |x|1，则级数的首项为-1， 其和函数为*三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求经过点 A(2，
10、-1，2)，且垂直于直线段 AB 的平面方程，点 B 的坐标是 B(8，-7，5)（分数：5.00）_正确答案：(本题考查平面方程的求解由于所求平面垂直于直线段 AB，所以其法向量可取为 n=*=6，-6，3，又平面过点 A(2，-1，2)，因此其点法式方程为 6(x-2)-6(y+1)+3(z-2)=0， 即 2x-2y+z-8=0)解析：12.设函数 z= ，求 （分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：13.求曲线 3x2+y2-z2=27 在点(3，1，1)处的切平面方程和法线方程（分数：5.00）_正确答案：(本题考查曲线在某点的切平面方程和法线方程令 F(x，y，z)=3x 2
11、+y2-z2-27，则有Fx=6x，F y=2y，F z=-2z于是 Fx(3，1，1)=18，F y(3，1，1)=2，F z(3，1，1)=-2切平面方程为：18(x-3)+2(y-1)-2(z-1)=0，即 9x+y-z=27法线方程为：*即*)解析：14.求函数 f(x，y)=xy 在点(2，3)处沿从点(2，3)到点(3，3+ （分数：5.00）_正确答案：(方向* *，* 从而* 这样*)解析：15.求 I= （分数：5.00）_正确答案：(积分区域如下图所示： * *)解析：16.计算二重积分 I= （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：17.求 （分数：5.00）_正确答案
12、：(积分区域如下图所示：*P=2xy+sinx，Q=x 2*，故曲线积分与路径无关*)解析：18.计算对弧长的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(原式*)解析：19.求解方程 （分数：5.00）_正确答案：(本题考查微分方程的求解此方程对未知函数 y=y(x)来讲不是线性方程，如将其改写为：*上述方程是以 x=x(y)为未知函数的一阶线性微分方程，P(y)=-*，Q(y)=-y故*=e2lny(-y)e -2lnydy+C=y2(-y)y -2dy+C=y2(C-lny)即为原方程的通解)解析：20.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：(*所以通解为 y=*(x2+C)解析：21.
13、判断正项级数 （分数：5.00）_正确答案：(若 a1，则* 级数发散若 a=1，则级数为*级数发散 若 0a1，则由比值判别法*=a1 知级数收敛)解析：22.设函数 f(x)=x(0x)展开成正弦级数为 （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 z=4(x-y)-x2-y2的极值（分数：5.00）_正确答案：(本题考查多元函数的极值的求解令 z=f(x，y)=4(x-y)-x 2-y2*令、式等于 0，即*得：*又f xx(x，y)=-2，f xy(x，y)=0，f yy(x，y)=-2故(2，-2)为其极大值点z(2，-2)=8)解析：24.求曲面 z=x2+2y2及曲面 z=6-2x2-y2所围成的立体体积（分数：5.00）_正确答案：(空间体在 Oxy 面上投影域为 D：x 2+y22所求体积 V 为*)解析：25.将 f(x)= 展开成 x 的幂级数，并求级数 （分数：5.00）_正确答案：(本题考查函数的幂级数展开因为 * 又 f(0)=*，所以 f(x)=f(0)+*f(t)dt =* =* 因为级数*收敛，函数 f(x)在 x=*处连续，所以* 再由*=0，得 *)解析：
