1、高等数学(工本)自考题-13 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.设函数 f(x，y)在(x 0，y 0)处偏导数存在，则 fx(x0，y 0)_ABCD （分数：3.00）A.B.C.D.2.设 f(x，y)在点(x 0，y 0)处偏导数存在，则 =_A2f x(x0，y 0) Bf x(x0，y 0)Cf x(2x0，y 0) D f(x0，y 0) （分数：3.00）A.B.C.D.3.设 f(u)是连续函数，区域 D：x 2+y21，则二重积分 f dxdy=_A BC D （分数：3.00）A.B.C.D.4.
2、微分方程 y+x2y=cosx 是_ A.一阶线性非齐次微分方程 B.一阶线性齐次微分方程 C.二阶微分方程 D.可分离变量方程（分数：3.00）A.B.C.D.5.若 0，k 是常数，则级数 （分数：3.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设向量 i+2j+3k 与 2i+mj+6k 垂直，则 m=_（分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 z=e-xsin2y，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.二重积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 y“+4y=0 的通解 y=_（分数：2.00）填空项 1:_10.幂级数 （分数：2.0
3、0）填空项 1:_三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求与点 P1(3，-1，2)和点 P2(5，0，-1)的距离都相等的动点轨迹方程（分数：5.00）_12.设 z=x3f(xy， )，其中 f 有连续的偏导数，求 （分数：5.00）_13.设函数 z=f(x，xy)，其中 f 是可微函数，求 和 （分数：5.00）_14.设三元函数 w=ln(x+ （分数：5.00）_15.求曲面 x2+2y2-3z=0 在点(2，1，2)处的法线方程（分数：5.00）_16.I= （分数：5.00）_17.计算三重积分 I= （分数：5.00）_18.计算 （分数：5.00）_19.
4、计算对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_20.求方程 xy=y+ （分数：5.00）_21.判断级数 （分数：5.00）_22.设 p 为正常数，就 p 的值讨论幂级数 （分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=x 3+y3-3xy 的极值（分数：5.00）_24.验证：在整个 xOy 面内，xy 2dx+x2ydy 是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数（分数：5.00）_25.将函数 f(x)= （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-13 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分
5、数：15.00)1.设函数 f(x，y)在(x 0，y 0)处偏导数存在，则 fx(x0，y 0)_ABCD （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 根据偏导数的定义可得出答案答案为 A2.设 f(x，y)在点(x 0，y 0)处偏导数存在，则 =_A2f x(x0，y 0) Bf x(x0，y 0)Cf x(2x0，y 0) D f(x0，y 0) （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 * 答案为 A3.设 f(u)是连续函数，区域 D：x 2+y21，则二重积分 f dxdy=_A BC D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 令* 则*= *答案为 B4.微
6、分方程 y+x2y=cosx 是_ A.一阶线性非齐次微分方程 B.一阶线性齐次微分方程 C.二阶微分方程 D.可分离变量方程（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 由一阶线性微分方程的定义即知答案为 A5.若 0，k 是常数，则级数 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 若 k=0，则*收敛，否则发散，故*的收敛性与 k 有关答案为 D二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设向量 i+2j+3k 与 2i+mj+6k 垂直，则 m=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-10）解析：解析 两向量 a 与 b 垂直的充要条件是 ab=0 由题意知(i+
7、2i+3k)(2j+mj+6k)=2+2m+18=0 m=-107.设函数 z=e-xsin2y，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 z=e -xsin2y，*，*8.二重积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：8）解析：解析 *9.微分方程 y“+4y=0 的通解 y=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：C 1sin2x+C2cos2x）解析：解析 y“+4y=0，特征方程为 r2+4=0，r=42i，则通解为 C1sin2x+C2cos2x10.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：ln(1+x)）解析：解析 本
8、题考查幂级数的和函数*(-1x1)令*，则有f(x)=1-x+x2+(-1)nxn+(-1x1)，所以 f(x)=*，两边积分得f(x)=ln(1+x)(-1x1)因为幂级数*在 x=1 处收敛，f(x)在 x=1 处有定义且连续，故 f(x)=ln(1+x)=*在 x=1 处也成立三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求与点 P1(3，-1，2)和点 P2(5，0，-1)的距离都相等的动点轨迹方程（分数：5.00）_正确答案：(设动点为 P(x，y，z)|PP 1|=|PP2|*化简后得，所求轨迹方程为：2x+y-3z-6=0)解析：12.设 z=x3f(xy， )，其中
9、f 有连续的偏导数，求 （分数：5.00）_正确答案：(记 xy=u，* 则 f 与 x，y 的关系图如下图： * *)解析：13.设函数 z=f(x，xy)，其中 f 是可微函数，求 和 （分数：5.00）_正确答案：(设 u=x，v=xy，则* *=xf v)解析：14.设三元函数 w=ln(x+ （分数：5.00）_正确答案：(由*=2，-2，1知其方向余弦为 cos=*，cos=-*，cos=* * * *)解析：15.求曲面 x2+2y2-3z=0 在点(2，1，2)处的法线方程（分数：5.00）_正确答案：(设 F(x，y，z)=x 2+2y2-3zFx=2z，F y=4y，F z
10、=-3*Fx(2，1，2)=4 F y(2，1，2)=4 F z(2，1，2)=-3所求法线方程为*)解析：16.I= （分数：5.00）_正确答案：(用对称奇偶性，球面坐标 I=*，积分区域如下图所示 *)解析：17.计算三重积分 I= （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：18.计算 （分数：5.00）_正确答案：(本题考查曲线积分的计算 L：y=*，如下图所示 * *)解析：19.计算对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(设 D：x 2+y2a 2，由格林公式得*)解析：20.求方程 xy=y+ （分数：5.00）_正确答案：(本题考查微分方程的求解，原方程可化为*令 u
11、=*，则 y=xu+u代入上面方程得 xu+u=u+*分离变量得*两边积分得 ln*u+*把 u=*代入上式得原方程的通解为：y+*=Cx2)解析：21.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：(由于*= *=01 由柯两判别法得，*绝对收敛)解析：22.设 p 为正常数，就 p 的值讨论幂级数 （分数：5.00）_正确答案：(* * 当 p1 时，*发散，*条件收敛 当 p1 时，幂级数的收敛域为-1，1) 当 p1 时，*收敛，*也收敛， 当 p1 时，幂级数的收敛域为-1，1)解析：四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=x 3+y3-3xy 的极值（
12、分数：5.00）_正确答案：(*得驻点为(0，0)，(1，1)而 fxx=6x，f xy=-3，f yy=6y，对于(0，0)点，B 2-AC-90，所以(0，0)不是极值点。对于(1，1)点，B 2-AC=-270，A=60，所以 f(x，y)在(1，1)点处取得极小值为 f(1，1)=-1)解析：24.验证：在整个 xOy 面内，xy 2dx+x2ydy 是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数（分数：5.00）_正确答案：(本题考查全微分的求解现令 P=xy2，Q=x 2y，且*在整个 xOy 面内恒成立，因此在整个 xOy 面内xy2dx+x2ydy 是某个函数的全微分取积分路线如下图所示，所求函数为*)解析：25.将函数 f(x)= （分数：5.00）_正确答案：(* 两边对 x 求导得 *)解析：
