1、高等数学(工本)自考题-12 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.过点(0，2，4)且与平面 x+2z=1 及 y-2z=2 都平行的直线是_ A B C （分数：3.00）A.B.C.D.2.若 fx(x0，y 0)=fy(x0，y 0)=0，则点(x 0，y 0)一定是函数 f(x，y)的_ A.驻点 B.极大值点 C.极小值点 D.极值点（分数：3.00）A.B.C.D.3.设区域 D 由圆 x2+y2=2ax(a0)围成，则二重积分 =_A BC D （分数：3.00）A.B.C.D.4.下列微分方程中为线性微分
2、方程的是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.5.下述各项正确的是_A若 和 都收敛，则 收敛B若 收敛，则 与 都收敛C若正项级数 发散， 收敛，则 unv nD若级数 收敛，且 unv n，则级数 （分数：3.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量 a=-1，3，-4和 b=2，0，1)，则 3a+b=_（分数：2.00）填空项 1:_7.若 z= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设积分区域 D：x 2+y24，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_9.的通解为_ （分数：2.00）填空项 1:_10.无穷级数 （
3、分数：2.00）填空项 1:_三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求通过点 P(2，1，1)，且与直线 L： （分数：5.00）_12.求空间曲线 L：x=2t，y=t 2，z=t 3在点(2，1，1)处的法平面方程（分数：5.00）_13.求曲面 x2+y2+z2=25 上点(2，3， （分数：5.00）_14.已知函数 z=f(2x+y，x-3y)，其中 f 具有连续的一阶偏导数，求 （分数：5.00）_15.将积分区域 D 对应的二重积分 I= （分数：5.00）_16.计算三重积分 （分数：5.00）_17.计算空间曲线积分 （分数：5.00）_18.计算对坐标的曲
4、线积分 （分数：5.00）_19.求微分方程(y 2-6x)y+2y=0 的通解（分数：5.00）_20.已知曲线 y=f(x)上任意点(x，y)处的切线斜率为 y-x，且曲线过原点，求此曲线方程（分数：5.00）_21.判别级数 （分数：5.00）_22.求幂级数 （分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.在约束条件 x+y=1 下，求函数 z=xy 的极值（分数：5.00）_24.求锥面 z= （分数：5.00）_25.将函数 f(x)= （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-12 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/
5、B(总题数：5，分数：15.00)1.过点(0，2，4)且与平面 x+2z=1 及 y-2z=2 都平行的直线是_ A B C （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 设直线的方向向量 v=x，y，z则： * 又该直线过(0，2，4)点 直线方程为：*答案为 C2.若 fx(x0，y 0)=fy(x0，y 0)=0，则点(x 0，y 0)一定是函数 f(x，y)的_ A.驻点 B.极大值点 C.极小值点 D.极值点（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 由复合函数驻点定义，若 fx(x0，y 0)=fy(x0，y 0)则(x 0，y 0)为 f(x，y)驻点答案为 A3.设区域
6、 D 由圆 x2+y2=2ax(a0)围成，则二重积分 =_A BC D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 积分区域如下图所示： * 在坐标下令 x=rcos，y=rsin 则*，0r2acos *答案为 D4.下列微分方程中为线性微分方程的是_ A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 根据线性微分方程定义：线性是指方程关于未知函数 y 及其导数 dy/dx 都是一次的，故只有 B 项满足条件答案为 B5.下述各项正确的是_A若 和 都收敛，则 收敛B若 收敛，则 与 都收敛C若正项级数 发散， 收敛，则 unv nD若级数 收敛，且 unv n，则级数
7、（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查级数敛散性的应用由级数敛散性的性质知，若*和*都收敛，则*收敛令*，*，则*收敛，但*发散*收敛，但*，若 unv n，*收敛，则*也收敛答案为 A二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量 a=-1，3，-4和 b=2，0，1)，则 3a+b=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-1，9，-11）解析：解析 *=-1，3，-4，*=2，0，1 *=-3，9，-12+2，0，1=-1，9，-117.若 z= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查函数的偏导数 *8.设积分
8、区域 D：x 2+y24，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由积分区域，x 2+y24 即 x2cos2+r 2sin24 r 24 r*9.的通解为_ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=lnxy+C）解析：解析 本题考查微分方程的通解 对方程*两边同乘以*得 *，则有* 所以* 两边积分得 lnx=y-lny-C，即 y=lnxy+C10.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：解析 易知： * 令 x=1 可得 *三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求通过点 P(2，1，1)，且与直线 L
9、： （分数：5.00）_正确答案：(本题考查平面方程的求解因所求平面垂直于直线 L，故其法向量 n 可取为直线 L 的方向向量 v，即 * 又平面过点 P(2，1，1)，故所求平面方程为 (-1)(x-2)+(-1)(y-1)+(-3)(z-1)=0， 化简得： x+y+3z-6=0)解析：12.求空间曲线 L：x=2t，y=t 2，z=t 3在点(2，1，1)处的法平面方程（分数：5.00）_正确答案：(所求法平面的法向量为* 所以所求法平面为 2(x-2)+2(y-1)+3(z-1)=0 即 2x+2y+3z-9=0)解析：13.求曲面 x2+y2+z2=25 上点(2，3， （分数：5.
10、00）_正确答案：(令 F(x，y，z)=x 2+y2+z2=25，则 Fy=2x，F y=2y，F z=2z，从而 Fx(2，3，*)=4，F y(2，3，*)=6，F z(2，3，2 y)=4*故取法向量 n=4，6，4*，于是切平面方程为 4(x-2)+6(y-3)+4*(z-2*)=0，即 2x+3y+2*z=25，法线方程为*)解析：14.已知函数 z=f(2x+y，x-3y)，其中 f 具有连续的一阶偏导数，求 （分数：5.00）_正确答案：(设 u=2x+y v=x-3y则*=fu-3fv)解析：15.将积分区域 D 对应的二重积分 I= （分数：5.00）_正确答案：(本题考查
11、二次积分的运算画出积分区域 D，如下图所示 * *)解析：16.计算三重积分 （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：17.计算空间曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(本题考查曲线积分的计算由于以 x 换 y，y 换 z，z 换 x，曲线 L 的方程不变，即 L 具有轮换对称性，因此 * * 而 L 是经过球心的圆，其周长为 2a，故*)解析：18.计算对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(原式=*)解析：19.求微分方程(y 2-6x)y+2y=0 的通解（分数：5.00）_正确答案：(将原方程化为 y=-*，此方程不是所熟悉的类型，不便求解但是如果把 y 当作自变量，把
12、 x 看作是 y 的函数，则方程可化为*此为一阶线性微分方程，通解公式求解原方程写成*，此时 P(y)=-*，Q(y)=-*按一阶线性微分方程的通解公式得*所以原方程的通解为x=Cy3+*y2)解析：20.已知曲线 y=f(x)上任意点(x，y)处的切线斜率为 y-x，且曲线过原点，求此曲线方程（分数：5.00）_正确答案：(由题意 y=y-x所以 y=e-(-1)dx (-x)e (-1)dx dx+C=ex(-x)e -xdx+C)=ex(x+1)e-x+C)=x+1+Cexy(0)=0 C=-1所以所求曲线方程为 y=x+1-ex)解析：21.判别级数 （分数：5.00）_正确答案：(因
13、为 un=*由于*级数*发散)解析：22.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：(* 收敛半径 R=*，收敛区间(-*，*)解析：四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.在约束条件 x+y=1 下，求函数 z=xy 的极值（分数：5.00）_正确答案：(方法一：由题可知： 由拉格朗日乘数法知； * 故 x=y=*时，z=xy 取极值 极大值为 z=* 方法二：由题可知： z=xy=x(1-x)，其中 0x1 由不等式知识知： *，当 x=1-x 时，即x=*时取极大值 故极大值为*)解析：24.求锥面 z= （分数：5.00）_正确答案：(设所求曲面的面积为 s，在 Oxy 面上的投影为 D：x 2+y22x*)解析：25.将函数 f(x)= （分数：5.00）_正确答案：(本题考查函数幂级数展开成立的区间 * * 由于已知*(-1x1) 故* 求其收敛域：* 即在(-6，-2)上 *)解析：
