1、高等数学(工本)自考题-10 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.已知向量 、 的模分别为|=3， ，=3，且 与 的夹角为 ，则 =( )（分数：3.00）A.B.C.D.2.点 P(2，-3，1)关于 Oxz 坐标面的对称点是( )A(-2，3，-1) B(-2，-3，-1)C(2，-3，-1) D(2，3，1)（分数：3.00）A.B.C.D.3.若直线 与平而 4x-y+3z=4 垂直，则 m=( )A-6 B6（分数：3.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x，y)=2x 2-y2+1，则点(0，0)( )A是 f
2、(x，y)的驻点但不是极值点 B是 f(x，y)的极小值点C是 f(x，y)的极大值点 D不是 f(x，y)的驻点（分数：3.00）A.B.C.D.5.已知函数 f(x，y)在(0，1)处的偏导数存在，则 ( )Af x(0，1) Bf x(0，2)C （分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 =11，-2，7，=3，2，0，则 -3= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.Oxy 平面上的抛物线 y2=4x 绕其对称轴旋转所得的旋转曲面的方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_8.过点 P(-1，3，4)并且平行于 Oyz 平面的平面方程为 1（分
3、数：2.00）填空项 1:_9.若 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设函数 u=x2+y2-exy，则全微分 du= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.设平面 经过点 P(5，3，-2)，且平行于平面 1：x+4y-3z-11=0，求平面 的方程（分数：5.00）_12.求过点 P(1，0，7)且与平面 x-z=10 和 y+2z=3 都平行的直线方程（分数：5.00）_13.已知直线 L1： 和直线 L2： （分数：5.00）_14.已知平行四边形的 3 个顶点 A(3，-4，7)、C(1，2，-3)和 D(9，-5，6)，求与顶
4、点 D 相对的第 4 个顶点 B（分数：5.00）_15.设 、 都是非零向量，且满足关系式|-|=|+|，证明 =0（分数：5.00）_16.设曲线方程为 （分数：5.00）_17.设 z=f(x+yexy)，f 是可微函数，求 （分数：5.00）_18.求下列函数的定义域：(1) ；(2) （分数：5.00）_19.在所有周长等于 6 的直角三角形中，求出斜边最小的三角形（分数：5.00）_20.求函数 u=ex+2y+z2在点(1，2，1)处的梯度（分数：5.00）_21.求函数 u(x，y，z)=x 2+2xy+z2在点 P(1，2，0)处沿方向 l=2，-1，2 的方向导数（分数：5
5、.00）_22.求空间曲线 L：x=3ln，y=2sin，z=，(-+)在点 P(3ln，0，)处的法平面方程及切线（分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求点 M(2，1，4)到直线 L： （分数：5.00）_24.(1)已知函数 x+y+z=sin(x+y+z)，求 z 对 x，y 的一阶与二阶偏导数；(2)已知函数 （分数：5.00）_25.求曲面 z=x2+2xy+4y2在点(1，-2，13)处的切平面及法线方程（分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-10 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)
6、1.已知向量 、 的模分别为|=3， ，=3，且 与 的夹角为 ，则 =( )（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查向量的数量积要点透析 由 =|cos=3 于是 ，从而2.点 P(2，-3，1)关于 Oxz 坐标面的对称点是( )A(-2，3，-1) B(-2，-3，-1)C(2，-3，-1) D(2，3，1)（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查空间直角坐标系中点的对称坐标要点透析 设点 P(2，-3，1)关于 Oxz 坐标面的对称点为 P0(x0，y 0，z 0)，则 x0=x，y 0=-y，z 0=z，故P0(2，3，1)3.若直线 与平而 4x-y
7、+3z=4 垂直，则 m=( )A-6 B6（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查直线与平而的夹角(垂直)要点透析 直线的方向向量和平面的法向量分别为 v=-8，2，m和 n=4，-1，3若直线与平面垂直，则 vn，即4.设函数 f(x，y)=2x 2-y2+1，则点(0，0)( )A是 f(x，y)的驻点但不是极值点 B是 f(x，y)的极小值点C是 f(x，y)的极大值点 D不是 f(x，y)的驻点（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查二元函数的极值点及驻点要点透析 f x=4x，f y=-2y，令 fx=fy=0 得 x=y=0因此(0，0)是驻点由于
8、 A=fxx(0，0)=40，B=f xy(0，0)=0，C=f yy(0，0)=-2，=B 2-AC=80，故(0，0)不是极值点5.已知函数 f(x，y)在(0，1)处的偏导数存在，则 ( )Af x(0，1) Bf x(0，2)C （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查偏导数要点透析 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 =11，-2，7，=3，2，0，则 -3= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2，-8，7）解析：解析 本题考查向量的加法和向量与数的乘法要点透析 -3=11，-2，7-33，2，0=2，-8，77.Oxy 平面上的抛物线 y
9、2=4x 绕其对称轴旋转所得的旋转曲面的方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y 2+z2=4x）解析：解析 本题考查旋转曲面要点透析 Oxy 平面上的抛物线 y2=4x 的对称轴为 x 轴，因此所求旋转曲面方程为8.过点 P(-1，3，4)并且平行于 Oyz 平面的平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x+1=0）解析：解析 本题考查空间中的平面方程要点透析 因为所求平面平行于 Oyz 平面，故可设其方程为 Ax+D=0，又因平面过点 P(-1，3，4)，将点P 代入平面方程得 D=A，即所求平面方程为 x+1=09.若 ，则 （分数：2.00）填空项
10、 1:_ （正确答案：*）解析：解析 水题考查二元函数的偏导数要点透析 因为 ，则 10.设函数 u=x2+y2-exy，则全微分 du= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(2x-ye xy)dx+(2y-xexy)dy）解析：解析 本题考查全微分要点透析 三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.设平面 经过点 P(5，3，-2)，且平行于平面 1：x+4y-3z-11=0，求平面 的方程（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查平面方程的点法式方程及两平面方程间的关系要点透析 平面 1的法向量为1，4，-3，所求平面 平行于平面 1，于是其点法式方程为(x-
11、5)+4(y-3)-3(z+2)=0，即 x+4y-3z-23=0)解析：12.求过点 P(1，0，7)且与平面 x-z=10 和 y+2z=3 都平行的直线方程（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查直线与平面间的关系要点透析 两平面的法向量分别为 n1=1，0，-1，n 2=0，1，2设所求直线的方向向量为 v，由于直线与两平面都平行，所以 vn 1且 vn 2v=n1n2= =1，-2，1，又直线过点 P(1，0，7)，则其对称式方程为)解析：13.已知直线 L1： 和直线 L2： （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查直线方程的形式和两直线的夹角要点透析 (1)直
12、线 L1的方向向量为v1= =-28，14，-7=-74，-2，1令 z=1，则方程组变为解之得 x=2，y=-3所以点(2，-3，1)在直线上故直线 L1的对称式方程为)解析：14.已知平行四边形的 3 个顶点 A(3，-4，7)、C(1，2，-3)和 D(9，-5，6)，求与顶点 D 相对的第 4 个顶点 B（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查空间直角坐标系点的坐标要点透析 取 O 点为 AC 的中点则 O 点的坐标为 ，即 O(2，-1，2)则 O 点也是 BD 的中点，设 B(x，y，z)，有)解析：15.设 、 都是非零向量，且满足关系式|-|=|+|，证明 =0（分数
13、：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查向量的数量积要点透析 由于|-|=|+|，故|-| 2=|+| 2即(-)(-)=(+)(+)-+=+即 +-2()=+2()又因 ， 均为非零向量，要使上式成立，必有 =0)解析：16.设曲线方程为 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查空间曲线在坐标面上的投影要点透析 将原方程化为消去 z，联立 z=0，得曲线在 Oxy 平面上的投影曲线消去 y，联立 y=0，得曲线在 Oxz 平面上的投影曲线消去 x，联立 x=0，得曲线在 Oyz 平面上的投影曲线 )解析：17.设 z=f(x+yexy)，f 是可微函数，求 （分数：5.00）_
14、正确答案：(考点点击 本题考查复合函数的偏导数要点透析 设 z=f(u，v)，u=x+y，v=e xy)解析：18.求下列函数的定义域：(1) ；(2) （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查函数的定义域要点透析 (1)令 2x-x2-y20 得(x-1) 2+y21故定义域 D=(x，y)|(x-1) 2+y21，为一圆内部的区域(不包括边界)(2)D=(x，y)|x0 且 x+y0(3)D=(x，y)|-1x-2y1)解析：19.在所有周长等于 6 的直角三角形中，求出斜边最小的三角形（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查最值的应用要点透析 设直角三角形的两直角边为
15、 x，y，斜边为 z，则有构造拉格朗日函数 L(x，y)= +(x+y+z-6)=(1+) +(x+y-6)，解方程组当 =-1 时，方程组的前两个式子都不成立，故 -1解得由于实际情况必存在斜边最小值，故当直角三角形的两直角边长均为 )解析：20.求函数 u=ex+2y+z2在点(1，2，1)处的梯度（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查梯度要点透析 ，)解析：21.求函数 u(x，y，z)=x 2+2xy+z2在点 P(1，2，0)处沿方向 l=2，-1，2 的方向导数（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查方向导数要点透析 因为 ，所以)解析：22.求空间曲线 L：
16、x=3ln，y=2sin，z=，(-+)在点 P(3ln，0，)处的法平面方程及切线（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查空间曲线的切线与法平面方程要点透析 ，y()=2cos，z()=1，于是点 P(3ln，0，)处的法平面方程为x()(x-3ln)+y()y+z()(z-)=0，即点 P(3ln，0，)处的切线方程为即 )解析：四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求点 M(2，1，4)到直线 L： （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查空间一点到直线的距离要点透析 设点 M 到直线 L 的垂足为 N，则 就是点 M 到直线 L 的距离，因点 N 在直线
17、L 上，故设 N对应的参变量为 t，则 N(3t+1，-2t-1，t+3)，又因直线 L 的方向向量为 v=3，-2，1.由题意可知 v ， =3t-1，-2t-2，t-1，则 v =0，即 3(3t-1)+(-2)(-2t-2)+(t-1)=0，解得 t=0，从而 =-1，-2，-1，则有 ，于是点 M 到直线 L 的距离为 )解析：24.(1)已知函数 x+y+z=sin(x+y+z)，求 z 对 x，y 的一阶与二阶偏导数；(2)已知函数 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查隐函数求导和全微分要点透析 (1)令 F(x，y，z)=x+y+z-sin(x+y+z)，则Fx=Fy=Fz=1-cos(x+y+z)故 ，(2)所以 )解析：25.求曲面 z=x2+2xy+4y2在点(1，-2，13)处的切平面及法线方程（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查空间曲面的切平面和法线要点透析 设 F(x，y，z)=x 2+2xy+4y2-z则有Fx=2x+2y，F y=2x+8y，F z=-1故 Fx(1，-2，13)=-2，Fy(1，-2，13)=-14，Fz(1，-2，13)=-1因此切平面方程为-2(x-1)-14(y+2)-(z-13)=0即 2x+14y+z+13=0法线方程为 )解析：
