1、高等数学(工本)真题 2011年 04月及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.已知 a=-1，1，-2，b=1，2，3，则 ab=( )A-7，-1，3 B7，-1，-3C-7，1，3 D7，1，-3（分数：3.00）A.B.C.D.2.极限 ( )A等于 0 B等于 （分数：3.00）A.B.C.D.3.设是球面 x2+y2+z2=4的外侧，则对坐标的曲面积分 （分数：3.00）A.B.C.D.4.微分方程 （分数：3.00）A.B.C.D.5.无穷级数 的前三项和 S3=( )（分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总
2、题数：5，分数：10.00)6.已知向量 a=2，2，-1，则与 a反方向的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_8.设积分区域 D：x 2+y22，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 y+y=2e x的一个特解是 y*= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)是周期为 2 的函数，f(x)在-，)上的表达式为 （分数：2.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求过点 P(-1，2，-3)，并且与直线 x=3+t，y=t，z=1-t 垂直的平面方程（分数：5.00）_12.设
3、函数 ，求全微分 （分数：5.00）_13.设函数 z=f(cos(xy)，2x-y)，其中 f(u，v)具有连续偏导数，求 和 （分数：5.00）_14.已知方程 exy-2z+x2-y2+ez=1确定函数 z=z(x，y)，求 和 （分数：5.00）_15.设函数 z=ex(x2+2xy)，求梯度 gradf(x，y)（分数：5.00）_16.计算二重积分 （分数：5.00）_17.计算三重积分 （分数：5.00）_18.计算对弧长的曲线积分 （分数：5.00）_19.验证对坐标的曲线积分 与路径无关，并计算 （分数：5.00）_20.求微分方程 x2y=2lnx 的通解（分数：5.00）
4、_21.判断无穷级数 （分数：5.00）_22.将函数 f(x)=xarctanx展开为 x的幂级数（分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.设函数 ，证明 （分数：5.00）_24.求由曲面 z=xy，x 2+y2=1及 z=0所围在第一卦限的立体的体积（分数：5.00）_25.证明无穷级数 （分数：5.00）_高等数学(工本)真题 2011年 04月答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.已知 a=-1，1，-2，b=1，2，3，则 ab=( )A-7，-1，3 B7，-1，-3C-7，1，3 D7，1
5、，-3（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：2.极限 ( )A等于 0 B等于 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 ，令 3(x2+y2)=u，则当 x0，y0 时，u0，故3.设是球面 x2+y2+z2=4的外侧，则对坐标的曲面积分 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：4.微分方程 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 5.无穷级数 的前三项和 S3=( )（分数：3.00）A.B. C.D.解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量 a=2，2，-1，则与 a反方向的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：7.
6、设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-x）解析：解析 8.设积分区域 D：x 2+y22，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：9.微分方程 y+y=2e x的一个特解是 y*= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：e x）解析：解析 与原微分方程对应的齐次方程为 y+y=0，该齐次方程的特征方程为 r2+1=0，解得 r=i，所以 =1 不是对应的齐次方程的特征根，故设特解为 y*=Aex，则 y* =Aex，y * =Aex，将其代入原方程得Aex+Aex=2ex，解得 A=1，所以原方程的一个特解为 y*=ex10.设 f(x)
7、是周期为 2 的函数，f(x)在-，)上的表达式为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由狄里克雷收敛准则可知三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求过点 P(-1，2，-3)，并且与直线 x=3+t，y=t，z=1-t 垂直的平面方程（分数：5.00）_正确答案：(解：平面的法向量为1，1，-1所求平面方程为 1(x+1)+1(y-2)+(-1)(z+3)=0即 x+y-z-4=0)解析：12.设函数 ，求全微分 （分数：5.00）_正确答案：(解：)解析：13.设函数 z=f(cos(xy)，2x-y)，其中 f(u，v)具有连续偏导数，求 和 （分数
8、：5.00）_正确答案：(解：设 u=cos(xy)，v=2x-y)解析：14.已知方程 exy-2z+x2-y2+ez=1确定函数 z=z(x，y)，求 和 （分数：5.00）_正确答案：(解：设 F(x，y，z)=e xy-2z+x2-y2+ez-1F x=yexy+2x，F y=xexy-2y，F z=-2+ez )解析：15.设函数 z=ex(x2+2xy)，求梯度 gradf(x，y)（分数：5.00）_正确答案：(解： )解析：16.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：(解：)解析：17.计算三重积分 （分数：5.00）_正确答案：(解：)解析：18.计算对弧长的曲线积分
9、（分数：5.00）_正确答案：(解：)解析：19.验证对坐标的曲线积分 与路径无关，并计算 （分数：5.00）_正确答案：(解：令 P(x，y)=x+y，Q(x，y)=x-y积分与路径无关并且 )解析：20.求微分方程 x2y=2lnx 的通解（分数：5.00）_正确答案：(解：通解 )解析：21.判断无穷级数 （分数：5.00）_正确答案：(解：u n=ln(n+1)-lnnSn=u1+u2+un=ln(n+1)-ln1而 )解析：22.将函数 f(x)=xarctanx展开为 x的幂级数（分数：5.00）_正确答案：(解：从而 )解析：四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.设函数 ，证明 （分数：5.00）_正确答案：(解： )解析：24.求由曲面 z=xy，x 2+y2=1及 z=0所围在第一卦限的立体的体积（分数：5.00）_正确答案：(解： )解析：25.证明无穷级数 （分数：5.00）_正确答案：(解： ，|x|+求导从而)解析：
