1、高等数学(工本)真题 2010 年 10 月及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系下，方程 2x2+3y2=6 表不的图形为( )A椭圆 B柱面C旋转抛物面 D球面（分数：3.00）A.B.C.D.2.极限 ( )（分数：3.00）A.B.C.D.3.设积分区域 ：x 2+y2R 2，0z1，则三重积分 ( )（分数：3.00）A.B.C.D.4.以 y=sin3x 为特解的微分方程为( )Ay+y=0 By-y=0Cy+9y=0 Dy-9y=0（分数：3.00）A.B.C.D.5.设正项级数 收敛，则下列无穷级
2、数中一定发散的是( )（分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.向量 （分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设是上半球面 的上侧，则对坐标的曲面积分 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 y+3y=sinx 的阶数是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)是周期为 2 的函数，f(x)在-，)上的表达式为 （分数：2.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.设平面 过点 P1(1，2，-1)和点 P2(-5，2，7)，且平行于 y 轴，求平面 的方程（分数：
3、5.00）_12.设函数 ，求 （分数：5.00）_13.设函数 z=e2x-3y2，求全微分 dz（分数：5.00）_14.设函数 z=f(x2-y2，2xy)，其中 f(u，v)具有一阶连续偏导数，求 和 （分数：5.00）_15.求曲面 x2+y2+2z2=23 在点(1，2，3)处的切平面方程（分数：5.00）_16.计算二重积分 （分数：5.00）_17.计算三重积分 （分数：5.00）_18.计算对弧长的曲线积分 （分数：5.00）_19.计算对坐标的曲线积分 C(1-3y)dx+(1-2x+y)dy，其中 C 为区域 D：|x|1，|y|1 的正向边界曲线（分数：5.00）_20
4、.求微分方程 e2x-ydx-ex+ydy=0 的通解（分数：5.00）_21.判断无穷级数 （分数：5.00）_22.将函数 （分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.设函数 ，其中 (u)为可微函数.证明： （分数：5.00）_24.设曲线 y=y(x)在点(x，y)处的切线斜率为 （分数：5.00）_25.证明：无穷级数 （分数：5.00）_高等数学(工本)真题 2010 年 10 月答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系下，方程 2x2+3y2=6 表不的图形为( )A椭圆 B柱面
5、C旋转抛物面 D球面（分数：3.00）A.B. C.D.解析：2.极限 ( )（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 3.设积分区域 ：x 2+y2R 2，0z1，则三重积分 ( )（分数：3.00）A.B. C.D.解析：4.以 y=sin3x 为特解的微分方程为( )Ay+y=0 By-y=0Cy+9y=0 Dy-9y=0（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 采用代入法，y=sin3x，y=3cos3x，y=-9sin3x，则 y+9y=0，故 y+9y=0 是以y=sin3x 为特解的5.设正项级数 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是( )（分数：3.00）A.B.C.
6、D. 解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.向量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 取 x 轴上一向量 b=1，0，0，则 ，所以7.设函数 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 因为 ，所以8.设是上半球面 的上侧，则对坐标的曲面积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：9.微分方程 y+3y=sinx 的阶数是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：10.设 f(x)是周期为 2 的函数，f(x)在-，)上的表达式为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析
7、由狄里克雷收敛准则得，三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.设平面 过点 P1(1，2，-1)和点 P2(-5，2，7)，且平行于 y 轴，求平面 的方程（分数：5.00）_正确答案：(解：设平面 为 Ax+By+Cz+D=0平面 平行于 y 轴A，B，C0，1，0=0，得 B=0点 P1(1，2，-1)和 P2(-5，2，7)在平面 上 得 )解析：12.设函数 ，求 （分数：5.00）_正确答案：(解：)解析：13.设函数 z=e2x-3y2，求全微分 dz（分数：5.00）_正确答案：(解： )解析：14.设函数 z=f(x2-y2，2xy)，其中 f(u，v)具有一阶连续偏
8、导数，求 和 （分数：5.00）_正确答案：(解：设 u=x2-y2，v=2xy)解析：15.求曲面 x2+y2+2z2=23 在点(1，2，3)处的切平面方程（分数：5.00）_正确答案：(解：设 F(x，y，z)=x 2+y2+2z2-23，设 P0(1，2，3)F x(1，2，3)=2x| P0=2，F y(1，2，3)=2y| P0=4，F z(1，2，3)=4z| P0=12所求平面方程为 2(x-1)+4(y-2)+12(z-3)=0即 x+2y+6z=23)解析：16.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：(解： )解析：17.计算三重积分 （分数：5.00）_正确答案：(
9、解：)解析：18.计算对弧长的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(解：C：x=2cost，y=2sint(0t)解析：19.计算对坐标的曲线积分 C(1-3y)dx+(1-2x+y)dy，其中 C 为区域 D：|x|1，|y|1 的正向边界曲线（分数：5.00）_正确答案：(解：由格林公式)解析：20.求微分方程 e2x-ydx-ex+ydy=0 的通解（分数：5.00）_正确答案：(解：原方程可化为 e2ydy=exdx两边积分所以通解为 )解析：21.判断无穷级数 （分数：5.00）_正确答案：(解：而且 收敛.由正项级数比较判别法得 收敛从而 )解析：22.将函数 （分数：5.00）_正确答案：(解： )解析：四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.设函数 ，其中 (u)为可微函数.证明： （分数：5.00）_正确答案：(证明：左边 )解析：24.设曲线 y=y(x)在点(x，y)处的切线斜率为 （分数：5.00）_正确答案：(解：由题意 ，y(1)=1即解微分方程得)解析：25.证明：无穷级数 （分数：5.00）_正确答案：(证明：而且 )解析：
