1、高等数学(工本)真题 2007 年下半年及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系中，点 P(-1，2，-3)关于 oyz 坐标面的对称点是( ) A(1，-2，3) B(1，2，-3) C(-1，2，3) D(-1，-2，-3)（分数：3.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x，y)满足 fx(x0，y 0)=(x0，y 0)=0，则函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处( ) A一定连续 B一定有极值 C一定可微 D偏导数一定存在（分数：3.00）A.B.C.D.3.设区域 D 是由直线 y=2x，y=3x
2、 及 x=1 所围成，则二重积*=( ) *（分数：3.00）A.B.C.D.4.已知二阶常系数线性齐次微分方程 y“+y+qy=0 的通解为 y=ex(C1sin2x+C2cos2x)，则常数 p 和 q 分别为( ) A-2 和 5 B2 和-5 C2 和 3 D-2 和-3（分数：3.00）A.B.C.D.5.若无穷级数*收敛于 S，则无穷级数*收敛于( ) AS B2S C2S-u 1 D2S+u 1（分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设函数 z=arctan(x+y)，则*= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设区域 D：0x1，|y|
3、2，则二重积*的值等于 1（分数：2.00）填空项 1:_8.已知 sinxdx+cosydy 是某个函数 u(x，y)的全微分，则 u(x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程*的阶数是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在-，上表达式为*，s(x)是 f(x)的傅里叶级数的和函数，则 s()= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求过点 P1(1，2，-4)和 P2(3，1，1)的直线方程（分数：5.00）_12.设函数*（分数：5.00）_13.已知方程 x2+y2+z2-8z
4、=0 确定函数 z=z(x，y)，求*（分数：5.00）_14.求函数 f(x，y)=2xy-x 2-y2在点(1，2)处，沿与 x 轴正向成 60角的方向 z 的方向导数（分数：5.00）_15.求曲面 z=2x2+3y2在点(1，1，5)处的切平面方程（分数：5.00）_16.计算二次积分*（分数：5.00）_17.计算三重积分*，其中 是由平面 x=1，y=1，z=1 及坐标面所围成的区域（分数：5.00）_18.计算对弧长的曲线积分*，其中 L 是抛物线*上由点(1，*)到点(2，2)的一段弧（分数：5.00）_19.计算对坐标的曲线积分*，其中 L 为图中的有向折线 ABO *（分数
5、：5.00）_20.已知可导函数 f(x)满足*，求函数 f(x)（分数：5.00）_21.求幂级数*的收敛半径和收敛域（分数：5.00）_22.判断无穷级数*的敛散性（分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=x 3-4x2+2xy-y2+1 的极值（分数：5.00）_24.求由平面 x=0，y=0，z=0，x+y=1 及抛物面 z=x2+y2所围成的曲顶柱体的体积（分数：5.00）_25.将函数*展开成 x 的幂级数（分数：5.00）_高等数学(工本)真题 2007 年下半年答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总
6、题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系中，点 P(-1，2，-3)关于 oyz 坐标面的对称点是( ) A(1，-2，3) B(1，2，-3) C(-1，2，3) D(-1，-2，-3)（分数：3.00）A.B. C.D.解析：2.设函数 f(x，y)满足 fx(x0，y 0)=(x0，y 0)=0，则函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处( ) A一定连续 B一定有极值 C一定可微 D偏导数一定存在（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：3.设区域 D 是由直线 y=2x，y=3x 及 x=1 所围成，则二重积*=( ) *（分数：3.00）A.B. C.D.解析：4.已知二
7、阶常系数线性齐次微分方程 y“+y+qy=0 的通解为 y=ex(C1sin2x+C2cos2x)，则常数 p 和 q 分别为( ) A-2 和 5 B2 和-5 C2 和 3 D-2 和-3（分数：3.00）A. B.C.D.解析：5.若无穷级数*收敛于 S，则无穷级数*收敛于( ) AS B2S C2S-u 1 D2S+u 1（分数：3.00）A.B.C. D.解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设函数 z=arctan(x+y)，则*= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：7.设区域 D：0x1，|y|2，则二重积*的值等于 1（分数：2.00）填空
8、项 1:_ （正确答案：2）解析：8.已知 sinxdx+cosydy 是某个函数 u(x，y)的全微分，则 u(x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：siny-cosx+C）解析：9.微分方程*的阶数是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：二）解析：10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在-，上表达式为*，s(x)是 f(x)的傅里叶级数的和函数，则 s()= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求过点 P1(1，2，-4)和 P2(3，1，1)的直线方程（分数：5.00）_正确
9、答案：(直线的方向向量为* 所以所求直线方程为*)解析：12.设函数*（分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：13.已知方程 x2+y2+z2-8z=0 确定函数 z=z(x，y)，求*（分数：5.00）_正确答案：(设 F(x，y，z)=x 2+y2+z2-8z 则 Fx=2x，F y=2y，F z=2z-8 *)解析：14.求函数 f(x，y)=2xy-x 2-y2在点(1，2)处，沿与 x 轴正向成 60角的方向 z 的方向导数（分数：5.00）_正确答案：(* * * *)解析：15.求曲面 z=2x2+3y2在点(1，1，5)处的切平面方程（分数：5.00）_正确答案：(设 F
10、(x，y，z)=2x 2+3y2-z，则 Fx=4x Fy=6y Fz=-1 从而 Fx(1，1，5)=4 F y(1，1，5)=6 F z(1，1，5)=-1 于是，所求切平面方程为 4(x-1)+6(y-1)-(z-5)=0 即 4x+6y-z-5=0)解析：16.计算二次积分*（分数：5.00）_正确答案：(交换积分次序得 * *)解析：17.计算三重积分*，其中 是由平面 x=1，y=1，z=1 及坐标面所围成的区域（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：18.计算对弧长的曲线积分*，其中 L 是抛物线*上由点(1，*)到点(2，2)的一段弧（分数：5.00）_正确答案：(* *)解
11、析：19.计算对坐标的曲线积分*，其中 L 为图中的有向折线 ABO *（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：20.已知可导函数 f(x)满足*，求函数 f(x)（分数：5.00）_正确答案：(两边对 x 求导得 f(x)=xf(x) 即* 积分得* *)解析：21.求幂级数*的收敛半径和收敛域（分数：5.00）_正确答案：(* 收敛半径 R=2 * 收敛域为(-2，2)解析：22.判断无穷级数*的敛散性（分数：5.00）_正确答案：(* * *)解析：四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=x 3-4x2+2xy-y2+1 的极值（分数：5.00）_正确答案
12、：(f x(x，y)=3x 2-8x+2y=0 fy(x，y)=2x-2y=0 得驻点为(0，0)，(2，2) 而 fxx(x，y)=6x-8 f xy(x，y)=2 f yz(x，y)=-2 对于(0，0)，有 B2-AC=-120，A=-80 所以(0，0)是 f(x，y)的极大值点，极大值为 f(0，0)=1 对于(2，2)，有 B2-AC=120，所以(2，2)不是 f(x，y)的极值点 综上所述，f(x，y)在(0，0)处取得极大值为 1)解析：24.求由平面 x=0，y=0，z=0，x+y=1 及抛物面 z=x2+y2所围成的曲顶柱体的体积（分数：5.00）_正确答案：(设 D：x0，y0，x+y1 *)解析：25.将函数*展开成 x 的幂级数（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：
