1、高等数学(工本)真题 2007 年上半年及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.函数*的定义域是( ) A(x，y)|2x 2+y23 B(x，y)|4x 2+y29 C(x，y)|4x 2+y29 D(x，y)|2x 2+y23（分数：3.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x，y)=x+y，则 f(x，y)在点(0，0)处( ) A取得极大值为 0 B取得极小值为 0 C连续 D间断（分数：3.00）A.B.C.D.3.设积分区域 D：x 2+y23，则二重积分*=( ) A-9 B-3 C3 D9（分数：3.00）A.B.
2、C.D.4.微分方程 y“-2y+3y=5e2x的一个特解为( ) *（分数：3.00）A.B.C.D.5.设无穷级数*收敛，则( ) AP1 BP3 CP2 DP2（分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量 =k，2，-1 和 =2，-1，-1 垂直，则常数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设函数*= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设二次积分*，则交换积分次序后得 I= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程*的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在-，)上表达式为
3、* 则 f(x)的傅里叶级数的和函数在 x=0 处的值为_（分数：2.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.设平面 经过点 P1(4，2，1)和 P2(-2，-3，4)，且平行于 y 轴，求平面 的方程（分数：5.00）_已知平面 ：2x+y+z=3 和直线 L：*（分数：5.00）(1).写出直线 L 的对称式方程；（分数：2.50）_(2).求平面 与直线 L 的交点（分数：2.50）_12.求椭球面 x2+2y2+z2=4 在点(1，-1，1)处的切平面方程和法线方程（分数：5.00）_13.已知方程 x2+y2-4y+z2=3 确定函数 z=z(x，y)
4、，求*（分数：5.00）_14.设积分区域 D 是由坐标轴及直线 x+y=1 所围成，求二重积分*（分数：5.00）_15.设积分区域 由上半球面*及平面 z=0 所围成，求三重积分*（分数：5.00）_16.设 L 为折线 OAB，其中 O(0，0)，A(1，1)，B(1，0)，求曲线积分*（分数：5.00）_17.设为坐标面及平面 x=1，y=1，z=1 所围成的正方体表面的外侧，计算曲面积分*（分数：5.00）_18.求微分方程*的通解（分数：5.00）_19.求微分方程*的通解（分数：5.00）_20.判断无穷级数*的敛散性（分数：5.00）_21.求幂级数*的收敛半径和收敛域（分数：
5、5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)22.求函数 f(x，y)=4(x-y)-x 2-2y2的极值（分数：5.00）_23.验证在整个 oxy 平面内 (4x3y3-3y2+5)dx+(3x4y2-6xy-)dy 是某个二元函数 u(x，y)的全微分，并求这样的一个 u(x，y)（分数：5.00）_24.将函数 f(x)=xarctanx 展开为 x 的幂级数（分数：5.00）_高等数学(工本)真题 2007 年上半年答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.函数*的定义域是( ) A(x，y)|2x 2+y23 B
6、(x，y)|4x 2+y29 C(x，y)|4x 2+y29 D(x，y)|2x 2+y23（分数：3.00）A.B. C.D.解析：2.设函数 f(x，y)=x+y，则 f(x，y)在点(0，0)处( ) A取得极大值为 0 B取得极小值为 0 C连续 D间断（分数：3.00）A.B.C. D.解析：3.设积分区域 D：x 2+y23，则二重积分*=( ) A-9 B-3 C3 D9（分数：3.00）A. B.C.D.解析：4.微分方程 y“-2y+3y=5e2x的一个特解为( ) *（分数：3.00）A.B. C.D.解析：5.设无穷级数*收敛，则( ) AP1 BP3 CP2 DP2（分
7、数：3.00）A.B.C.D. 解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量 =k，2，-1 和 =2，-1，-1 垂直，则常数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：7.设函数*= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：8.设二次积分*，则交换积分次序后得 I= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：9.微分方程*的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在-，)上表达式为 * 则 f(x)的傅里叶级数的和函数在 x=0 处的值为_（分数：
8、2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.设平面 经过点 P1(4，2，1)和 P2(-2，-3，4)，且平行于 y 轴，求平面 的方程（分数：5.00）_正确答案：(设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0 点 P1和 P2在平面上 * 平面平行于 y 轴 A，B，C0，1，0 即 B=0 联立得 * 所以所求平面方程为 x+2z-6=0)解析：已知平面 ：2x+y+z=3 和直线 L：*（分数：5.00）(1).写出直线 L 的对称式方程；（分数：2.50）_正确答案：(L 的方向向量为* 点(-2，0，3)在直线 L 上 所以直线 L
9、 的对称式方程为 *)解析：(2).求平面 与直线 L 的交点（分数：2.50）_正确答案：(* 解得 L 与 的交点坐标为(1，-1，2)解析：12.求椭球面 x2+2y2+z2=4 在点(1，-1，1)处的切平面方程和法线方程（分数：5.00）_正确答案：(设 F(x，y，z)=x 2+2y2+z2-4 * 所以所求切平面方程为 2(x-1)-4(y+1)+2(z-1)=0 即 x-2y+z-4=0 所求法线方程为*)解析：13.已知方程 x2+y2-4y+z2=3 确定函数 z=z(x，y)，求*（分数：5.00）_正确答案：(* 从而*)解析：14.设积分区域 D 是由坐标轴及直线 x
10、+y=1 所围成，求二重积分*（分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：15.设积分区域 由上半球面*及平面 z=0 所围成，求三重积分*（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：16.设 L 为折线 OAB，其中 O(0，0)，A(1，1)，B(1，0)，求曲线积分*（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：17.设为坐标面及平面 x=1，y=1，z=1 所围成的正方体表面的外侧，计算曲面积分*（分数：5.00）_正确答案：(设 ：0x1，0y1，0z1 由高斯公式得 * *)解析：18.求微分方程*的通解（分数：5.00）_正确答案：(* 两边积分有* lnlny=lnx+lnC 所以
11、通解为 y=e Cx)解析：19.求微分方程*的通解（分数：5.00）_正确答案：(P(x)=2 Q(x)=e x *)解析：20.判断无穷级数*的敛散性（分数：5.00）_正确答案：(由正项级数比值审敛法 * 原级数收敛)解析：21.求幂级数*的收敛半径和收敛域（分数：5.00）_正确答案：(因为*所以收敛半径 R=1 由|x-3|1 得 2x4 所以收敛区间为(2，4) 又因为当 x=2 时，级数*收敛 当 x=4 时，级数*收敛 所以收敛域为2，4)解析：四、综合题(总题数：3，分数：15.00)22.求函数 f(x，y)=4(x-y)-x 2-2y2的极值（分数：5.00）_正确答案：
12、(* 得驻点坐标为(2，-1) * 而=B 2-AC=-80 且 A=-20 f(x，y)在点(2，-1)处取得极大值为 f(2，-1)=6)解析：23.验证在整个 oxy 平面内 (4x3y3-3y2+5)dx+(3x4y2-6xy-)dy 是某个二元函数 u(x，y)的全微分，并求这样的一个 u(x，y)（分数：5.00）_正确答案：(令 P(x，y)=4x 3y3-3y2+5 Q(x，y)=3x 4y2-6xy-4 因为* 在 oxy 平面内处处成立，所以表达式是某个二元函数 u(x，y)的全微分，且可取 *)解析：24.将函数 f(x)=xarctanx 展开为 x 的幂级数（分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：
