1、高等数学(工本)-7 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.设幂级数的收敛半径为 R(0R+)，则下列正确的是( )（分数：3.00）A.级数收敛B.级数发散C.如果级数收敛，则是条件收敛D.级数可能收敛，也可能发散2.二重极限为( )（分数：3.00）A.1B.0C.D.不存在但不为3.设 为球形域：x 2+y2+z21，则( )（分数：3.00）A.I1I 2B.I1I 2C.I10D.I21004.设为球面 x2+y2+z2=a2，则对面积的曲面积分=( )（分数：3.00）A.a 2B.2a 2C.3a 2D.4a
2、 25.在空间直角坐标系中 x+y=1 表示的图形是( )（分数：3.00）A.直线B.曲线C.平面D.点二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设 u=f(x)可导，则复合函数 u=f(xyz)的全微分 du= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.= 1（分数：2.00）9.设 f(x)是周期为 4 的周期函数，它在-2，2)上的表达式为(常数 k0)，则 f(x)的傅立叶级数的和函数在 x=2 处的值为 1（分数：2.00）10.微分方程(x 2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0 满足初始条件的特解为_（分数：2.00）填空项
3、 1:_三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求直线与平面 2x+y+z-6=0 的交点（分数：5.00）_12.求点 P(1，1，1)到旋转抛物面 S：z=x 2+y2在点(1，1，2)处的切平面的距离（分数：5.00）_13.设二元函数求，其中 l 为点(0，0)到点(1，1)的方向（分数：5.00）_14.设函数 a=f(excosy，lny，3x 2)具有连续的二阶偏导数求（分数：5.00）_15.求平面 3x+4y-z-26=0 上距原点最近的点（分数：5.00）_16.求二重积分其中 B 是矩形域-1，1，-2，2（分数：5.00）_17.计算其中 L 为：x=a
4、(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2_（分数：5.00）_18.求，L 是曲线 y=x2-2x 上以 0(0，0)为起点，A(4，8)为终点的曲线弧（分数：5.00）_19.计算关于坐标的曲面积分，其中为有向曲面 z=x2+y2(0z1)的外侧（分数：5.00）_20.已知级数收敛，求出 a 的取值范围（分数：5.00）_21.求 x+2x2+3x3+nxn+的和函数(-1x1)（分数：5.00）_22.求微分方程满足条件的特解（分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.将函数展开为 x+4 的幂级数，并求此级数的收敛域（分数：5.00）_24.证明由
5、方程 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 确定的隐函数 z=z(x，y)满足（分数：5.00）_25.证明：(0x)（分数：5.00）_高等数学(工本)-7 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.设幂级数的收敛半径为 R(0R+)，则下列正确的是( )（分数：3.00）A.级数收敛B.级数发散C.如果级数收敛，则是条件收敛D.级数可能收敛，也可能发散 解析：例：的收敛半径都为 1，但绝对收敛，条件收敛，发散故在 x=1 处的敛散性不能确定2.二重极限为( )（分数：3.00）A.1B.0 C.D.不存在但不为解析：3
6、.设 为球形域：x 2+y2+z21，则( )（分数：3.00）A.I1I 2B.I1I 2 C.I10D.I2100解析：利用三重积分的性质：若在 上，4.设为球面 x2+y2+z2=a2，则对面积的曲面积分=( )（分数：3.00）A.a 2B.2a 2C.3a 2D.4a 2 解析：由对面积的曲面积分的定义知的值等于的面积又为球面 x2+y2+z2=a2，其表面积 s=4a 2 5.在空间直角坐标系中 x+y=1 表示的图形是( )（分数：3.00）A.直线B.曲线C.平面 D.点解析：在空间直解坐标系中，任何一个三元一次方程都表示一个平面，而方程 x+y=1 是三元一次方程，由于在该方
7、程中缺少未知量 z，故该方程表示平行于 z 轴的平面二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设 u=f(x)可导，则复合函数 u=f(xyz)的全微分 du= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：yzf(xyz)dx+xzf(xyz)dy+xyf(xyz)dz）解析：由题得7.设= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：8.= 1（分数：2.00）解析：积分区域如图所示 令 则9.设 f(x)是周期为 4 的周期函数，它在-2，2)上的表达式为(常数 k0)，则 f(x)的傅立叶级数的和函数在 x=2 处的值为 1（分数：2.00）解析：x=2 为-2
8、，2的端点，10.微分方程(x 2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0 满足初始条件的特解为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x 2y-y-sinx+1=0）解析：将所给微分方程改写成(x 2dy+2xydx)-dy-cosxdx=0 即 d(x2y-y-sinx)=0 所以，所给微分方程通解为 x2y-y-sinx=c 由得 c=-1 满足初始条件的特解为 x2y-y-sinz+1=0三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求直线与平面 2x+y+z-6=0 的交点（分数：5.00）_正确答案：()解析：所给直线的参数方程为 z=2+t，y=3+t，z=4+
9、2t， 代入平面方程中，得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0 解方程，得 t=-1，把求得的 t 值代入直线的参数方程中，得 x=1，y=2，z=2，即得所求交点的坐标为(1，2，2)12.求点 P(1，1，1)到旋转抛物面 S：z=x 2+y2在点(1，1，2)处的切平面的距离（分数：5.00）_正确答案：()解析：记 F(x，y，z)=x 2+y2-z，则 2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0，即 2x+2y-z-2=0 13.设二元函数求，其中 l 为点(0，0)到点(1，1)的方向（分数：5.00）_正确答案：()解析：当(x，y)(0，0)时，14.设函数 a=f
10、(excosy，lny，3x 2)具有连续的二阶偏导数求（分数：5.00）_正确答案：()解析：根据复合函数求导法 再对 y 求导得：15.求平面 3x+4y-z-26=0 上距原点最近的点（分数：5.00）_正确答案：()解析：设 P(x，y，z)为平面上任一点，P 到原点的距离为 d 代入平面方程求得 z=-1，平面上距离原点最近的点是存在的现在驻点只有一个，因此 x=3，y=4，z=1 一定使 d 取得最小值16.求二重积分其中 B 是矩形域-1，1，-2，2（分数：5.00）_正确答案：()解析：17.计算其中 L 为：x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2_（分数：5
11、.00）_正确答案：()解析：18.求，L 是曲线 y=x2-2x 上以 0(0，0)为起点，A(4，8)为终点的曲线弧（分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示19.计算关于坐标的曲面积分，其中为有向曲面 z=x2+y2(0z1)的外侧（分数：5.00）_正确答案：()解析：设 S 是平面 z=1 被截下的有限部分的上侧，则20.已知级数收敛，求出 a 的取值范围（分数：5.00）_正确答案：()解析：故当|a|1 时级数收敛当 a=1 时收敛当 a=-1 时，由莱布尼茨判别法知收敛-1a121.求 x+2x2+3x3+nxn+的和函数(-1x1)（分数：5.00）_正确答案：
12、()解析：令和函数为 s(x)，则22.求微分方程满足条件的特解（分数：5.00）_正确答案：()解析：将方程变形为四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.将函数展开为 x+4 的幂级数，并求此级数的收敛域（分数：5.00）_正确答案：()解析：由知24.证明由方程 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 确定的隐函数 z=z(x，y)满足（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令 F(x，y，z)=2sin(x+2y-3z)-x-2y+3z 则 Fx=2cos(x+2y-3z)-1，F y=4cos(x+2y-3z)-2F z=-6cos(x+2y-3z)+3 25.证明：(0x)（分数：5.00）_正确答案：()解析：先将 F(x)=3x2-6x(0x)展开为余弦级数作偶延拓，于是 bn=0，n=1，2
