1、高等数学(工本)-6 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.函数图形是下半球面的是( )（分数：3.00）A.-2(x2+y2)B.-(x+C.D.-y22.设收敛，则下列级数中收敛的为( )（分数：3.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x，y)的二重极限，则( )（分数：3.00）A.B.C.D.4.设 L 为取逆时针方向的圆周 x2+y2=54，则( )（分数：3.00）A.54B.-54C.108D.-1085.设 f(u)是连续函数，D 是由曲线 y=x3，直线 x=-1，x=1 及 x 轴围成的闭区域，D 1
2、是 D 的第一象限部分，则二重积分为( )（分数：3.00）A.0B.C.D.二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.二重极限= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.二重积分= 1，其中 D=(x，y)|x 2+y21，常数 a，b0（分数：2.00）8.设二元函数则 fxy(0，0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.极限= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设函数 y=e2x+(x+1)ex是二阶常系数线性微分方程 y“+ay+by=cex的一个特解，则常数 a，b，c 及该微分方程的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、B计算题/B(总题数：12，分数：
3、60.00)11.从点 A3，-2，4)沿 a=2，-10，11的方向取长度为 45 的线段 AB，求点 B 的坐标（分数：5.00）_12.求曲面 S：(x-y) 2-z2=1 在点 M(1，0，0)的切平面 的方程（分数：5.00）_13.求函数 u=xyz 在点(5，1，2)处，沿 A(5，1，2)到 B(9，4，14)的方向 l 的方向导数（分数：5.00）_14.设二元函数 z=z(x，y)由方程 z=x+yez确定，求（分数：5.00）_15.求函数 z=x2+y2在条件下的极值（分数：5.00）_16.设 B 是由，y=x 和 x=2 所围成的平面区域，求二重积分（分数：5.00
4、）_17.设 L 为椭圆争，其周长为 l，计算曲线积分（分数：5.00）_18.计算，其中 L 是从点(0，1)沿曲线(x0)到点(1，0)（分数：5.00）_19.计算，其中是立体(ab0)的表面的外侧（分数：5.00）_20.判别级数的敛散性（分数：5.00）_21.把 f(x)=ln(1+x+x3)展开为 x 的幂级数（分数：5.00）_22.求微分方程 y“=y+x 的解（分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.指出幂级数的收敛半径和收敛区间（分数：5.00）_24.求方程 eydx+(xey+2y)dy=0 的通解（分数：5.00）_25.在一长宽高之
5、为和某一常数 c 的长方体中，求出一个具有最大体积者（分数：5.00）_高等数学(工本)-6 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.函数图形是下半球面的是( )（分数：3.00）A.-2(x2+y2)B.-(x+C. D.-y2解析：球面方程为 x2+y2+z2=R2下半球面方程为2.设收敛，则下列级数中收敛的为( )（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：3.设函数 f(x，y)的二重极限，则( )（分数：3.00）A. B.C.D.解析：累次极限存在表明其对应的 P(x，y)P 0(x0，y 0)的路径为二重极限的 P
6、P 0各种路径中的一条，所以，4.设 L 为取逆时针方向的圆周 x2+y2=54，则( )（分数：3.00）A.54B.-54C.108 D.-108解析：因为 P=xcosx-y，Q=x+ysiny 且 做由格林公式得：5.设 f(u)是连续函数，D 是由曲线 y=x3，直线 x=-1，x=1 及 x 轴围成的闭区域，D 1是 D 的第一象限部分，则二重积分为( )（分数：3.00）A.0 B.C.D.解析：由于 D 关于原点对称，x+yf(x 2+y2)在对称点的值互为相反数，所以二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.二重极限= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
7、：0）解析：7.二重积分= 1，其中 D=(x，y)|x 2+y21，常数 a，b0（分数：2.00）解析：8.设二元函数则 fxy(0，0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：当，并且9.极限= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考虑级数 所以，这一正项级数收敛，因此10.设函数 y=e2x+(x+1)ex是二阶常系数线性微分方程 y“+ay+by=cex的一个特解，则常数 a，b，c 及该微分方程的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：a=-3，b=2，c=-1，y=C 1ex+C2e2x+xex）解析：将 y=e2x+
8、x+1)ex代入 y“+ay+by=cex得： (4+2a+v)e2x+a2e2x+(x+2)ex+be2x+(x+1)ex=xex 该方程为 y“-3y+2y=-ex 对应的齐次特征方程 r2-3r+2=0 的根为 r=1，2，所以通解 y=c1ex+c2e2x y“-3y+2y=-e x的通解为 y=c1ex+c2e2x+e2x+(x+1)ex=C1ex+C2e2x+xex)三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.从点 A3，-2，4)沿 a=2，-10，11的方向取长度为 45 的线段 AB，求点 B 的坐标（分数：5.00）_正确答案：()解析：设点 B x，y，z)，
9、则 因为 因为 解之得 =3，所以 由 x-3=6，y+2=-30，z-4=33 得，所求点 B 的坐标是(9，-32，37)12.求曲面 S：(x-y) 2-z2=1 在点 M(1，0，0)的切平面 的方程（分数：5.00）_正确答案：()解析：设 F(x，y，z)=(z-y) 2-z2-1，则 所以 s 在点 M 处的切平面百的方程为 2(x-1)-2y=0，即 x-y-1=013.求函数 u=xyz 在点(5，1，2)处，沿 A(5，1，2)到 B(9，4，14)的方向 l 的方向导数（分数：5.00）_正确答案：()解析：14.设二元函数 z=z(x，y)由方程 z=x+yez确定，求
10、（分数：5.00）_正确答案：()解析：所给方程两边分别关于 x，y 求偏导数，得15.求函数 z=x2+y2在条件下的极值（分数：5.00）_正确答案：()解析：构造拉格朗日函数 令 从而16.设 B 是由，y=x 和 x=2 所围成的平面区域，求二重积分（分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示17.设 L 为椭圆争，其周长为 l，计算曲线积分（分数：5.00）_正确答案：()解析：由于积分路线 L 关于 x=0 对称，函数 xy2关于 x 为奇函数，故 又沿曲线 于是所求曲线积分18.计算，其中 L 是从点(0，1)沿曲线(x0)到点(1，0)（分数：5.00）_正确答案：
11、()解析：L 的参数方程为 故19.计算，其中是立体(ab0)的表面的外侧（分数：5.00）_正确答案：()解析：由高斯公式得： 由对称性知 于是20.判别级数的敛散性（分数：5.00）_正确答案：()解析：因为21.把 f(x)=ln(1+x+x3)展开为 x 的幂级数（分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 由公式 可知22.求微分方程 y“=y+x 的解（分数：5.00）_正确答案：()解析：令 y=p，则，代入方程得为一阶线性微分方程，解得 p=c1ex-x-1，即：y=c 1ex-x-1，积分得四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.指出幂级数的收敛半径和收敛区间（分数：5.00）_正确答案：()解析：(1) 此时，24.求方程 eydx+(xey+2y)dy=0 的通解（分数：5.00）_正确答案：()解析：P=e y，Q=xe y+2y ，故存在一个二元函数 F(x，y)使 25.在一长宽高之为和某一常数 c 的长方体中，求出一个具有最大体积者（分数：5.00）_正确答案：()解析：设长方体的长、宽、高分别为 x，y，z，体积 V=xyz，x+y+z=c 构造拉格朗日函数 F(x，y，z，)=xyz-(x+y+z-c) 令 根据实际意义知时，体积最大
