1、高等数学(工本)-5 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.更换积分次序后=( )（分数：3.00）A.B.C.D.2.函数 f(x，y)=x 3-3x-y 在点(1，0)处( )（分数：3.00）A.有极大值B.有极小值C.无极值D.无法判断3.方程代表的图形是( )（分数：3.00）A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.直线4.记，则( )（分数：3.00）A.对任意光滑闭曲线 C 都有 I=0B.对任意不包含原点于其内的光滑闭曲线 C 都有 I=0C.对任意包含原点于其内的光滑闭曲线 C 都有 I=0D.对任意包含原点于其
2、内的光滑闭曲线 C 都有 I05.若级数收敛，则级数( )（分数：3.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.可能收敛，也可能发散二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设且 f 为可微函数，则全微分 dz= 1（分数：2.00）7.设，则= 1（分数：2.00）8.设 为：0x1，0y1，0z1，则= 1（分数：2.00）9.极限= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设一阶线性微分方程，已知 P(x)，Q(x)是连续函数，则它的通解为 1（分数：2.00）三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求过点 A0，1，1)，B1，2，0)与 x 轴平行的平面方程
3、（分数：5.00）_12.求抛物面 z=3x2+4y2在点(0，1，4)处的切平面方程（分数：5.00）_13.设三元函数，求在点 A(1，0，1)处沿 A 指向点 B(3，-2，2)方向的方向导数（分数：5.00）_14.求由方程 2xz-2xyz+ln(xyz)=0 确定的隐函数 z=z(x，y)在(1，1)处的微分（分数：5.00）_15.求二元函数 z=x2-xy+y2-2x+y 的极值（分数：5.00）_16.计算，其中 D 是以(0，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的三角形区域（分数：5.00）_17.计算，其中 L 是 x2+y2=4x 的上半圆周由 A(4，0)至 B(0，0
4、)（分数：5.00）_18.计算L：星形线的周长为 L（分数：5.00）_19.计算（分数：5.00）_20.求幂级数的和函数（分数：5.00）_21.判定级数的敛散性若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛（分数：5.00）_22.求微分方程 y“-4y=2e2x的通解（分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.设 f(x)是以 2 为周期的周期函数，它在一个周期-，上的表达式；记 f(x)的傅里叶级数的和函数为 S(x)，求 S(1)，S()（分数：5.00）_24.某厂生产两种产品，产量分别为 x，y，生产总成本 C=800+34x+70y销售总收入为 R=134
5、x+150y-2x2-2xy-y2现以两种产品总数为 30 件计算，两种产品的产量各为多少时，才能取得最大利润?（分数：5.00）_25.设有一质量为 m 的质点，以初速度 v0竖直上抛，假定空气阻力与速度成正比，求速度 v 与时间 t 的函数关系（分数：5.00）_高等数学(工本)-5 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.更换积分次序后=( )（分数：3.00）A. B.C.D.解析：由题意知积分区域如图所示 则先对 x 积分后对 y 积分的积分区域为 0x1，x 2yx)2.函数 f(x，y)=x 3-3x-y 在点(
6、1，0)处( )（分数：3.00）A.有极大值B.有极小值C.无极值 D.无法判断解析：，故函数不存在驻点，因而(1，0)不是极值点3.方程代表的图形是( )（分数：3.00）A.抛物线B.椭圆 C.双曲线D.直线解析：由于 x2+y2-2x=0 即(x-1) 2+y2=1，其母线是平行于 z 轴的圆柱面，而 x+z=1 表示平行于 y 轴的平面，显然它们的交线是一个椭圆4.记，则( )（分数：3.00）A.对任意光滑闭曲线 C 都有 I=0B.对任意不包含原点于其内的光滑闭曲线 C 都有 I=0 C.对任意包含原点于其内的光滑闭曲线 C 都有 I=0D.对任意包含原点于其内的光滑闭曲线 C
7、都有 I0解析：设 C 是不包含原点于其内的任一光滑闭曲线由于在不包含原点的任一连通区域内都有连续偏导数，且5.若级数收敛，则级数( )（分数：3.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.可能收敛，也可能发散 解析：例：又若可能收敛，也可能发散二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设且 f 为可微函数，则全微分 dz= 1（分数：2.00）解析：7.设，则= 1（分数：2.00）解析：8.设 为：0x1，0y1，0z1，则= 1（分数：2.00）解析：9.极限= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：由于，从而收敛10.设一阶线性微分方程，已知 P(x)，Q
8、(x)是连续函数，则它的通解为 1（分数：2.00）解析：因为所给的一阶线性微分方程为它的通解为三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求过点 A0，1，1)，B1，2，0)与 x 轴平行的平面方程（分数：5.00）_正确答案：()解析：设所求平面的法向量为 n，则 又，在 x 轴上取单位向量 i=1，0，0，则 ni，取-k，故所求平面方程为(-1)(y-1)+(-1)(z-1)=0，即 y+z-2=012.求抛物面 z=3x2+4y2在点(0，1，4)处的切平面方程（分数：5.00）_正确答案：()解析：z x=6x，z y=8y，z x(0，1)=0，z y(0，1)=8
9、 故取法向量 n=0，8，-1切平面方程为 0(x-0)+8(y-1)-(z-4)=0 即 8y-z=413.设三元函数，求在点 A(1，0，1)处沿 A 指向点 B(3，-2，2)方向的方向导数（分数：5.00）_正确答案：()解析：14.求由方程 2xz-2xyz+ln(xyz)=0 确定的隐函数 z=z(x，y)在(1，1)处的微分（分数：5.00）_正确答案：()解析：令 F(x，y，z)=2xz-2xyz+ln(xyz)，则 反 x=1，y=1 代入原方程求得 z=115.求二元函数 z=x2-xy+y2-2x+y 的极值（分数：5.00）_正确答案：()解析：令得驻点(1，0) 此
10、时16.计算，其中 D 是以(0，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的三角形区域（分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示17.计算，其中 L 是 x2+y2=4x 的上半圆周由 A(4，0)至 B(0，0)（分数：5.00）_正确答案：()解析：积分路线如图所示 P=y+2xy Q=x 2+x+y2 ，故积分与路径无关 18.计算L：星形线的周长为 L（分数：5.00）_正确答案：()解析：由于被积函数定义在积分曲线上，因此变量 x，y 满足积分路线 L 的方程19.计算（分数：5.00）_正确答案：()解析：为右半球面20.求幂级数的和函数（分数：5.00）_正确答案：()解
11、析：由于 收敛半径 R=1，设在(-1，1)内21.判定级数的敛散性若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛（分数：5.00）_正确答案：()解析：这是一个交错级数，其一般表达式为，其中 由莱布尼茨判别法知原级数收敛 ，而发散，由比较判别法知级数发散故原级数为条件收敛22.求微分方程 y“-4y=2e2x的通解（分数：5.00）_正确答案：()解析：特征方程为 r2-4=0 r 1=2，r 2=-2 故齐次方程的通解为 又 =2 是特征方程的单根，故设原方程的一个特解为 四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.设 f(x)是以 2 为周期的周期函数，它在一个周期-，上的表达式；记 f(
12、x)的傅里叶级数的和函数为 S(x)，求 S(1)，S()（分数：5.00）_正确答案：()解析：由收敛定理得 (x= 是区间-,的端点)24.某厂生产两种产品，产量分别为 x，y，生产总成本 C=800+34x+70y销售总收入为 R=134x+150y-2x2-2xy-y2现以两种产品总数为 30 件计算，两种产品的产量各为多少时，才能取得最大利润?（分数：5.00）_正确答案：()解析：总利润为 f(x，y)=R-C=100x+80y-2x 2-2xy-y2-800 本题所求的是 f(x，y)在条件 x+y=30 下的最大值 建立拉格朗日函数 L(x，y，)=100x+80y-2x 2-2xy-y2-800+(z+y-30) 当 x=10，y=20 时总利润最大25.设有一质量为 m 的质点，以初速度 v0竖直上抛，假定空气阻力与速度成正比，求速度 v 与时间 t 的函数关系（分数：5.00）_正确答案：()解析：设空气阻力与速度的比例系数为 k 由题意得 分离变量 积分得 令
