1、高等数学(工本)-4 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)均存在是函数 f(x，y)存点(x 0，y 0)处连续的_条件( )（分数：3.00）A.充分非必要B.必要非充分C.充分且必要D.非充分且非必要2.设 D 是平面上以 A 1，1)，B -1，1)和 C -1，-1)为顶点的三角形，D 1是它的第一象限部分，则( ) （分数：3.00）A.B.C.D.3.两直线 L：的夹角为( )（分数：3.00）A.B.C.D.4.设向量场 u(x，y，z)=xy 2i+yezj+x
2、ln(1+z2)k，则 u 在 P(1，1，0)处的散度 divu=（分数：3.00）A.1B.2C.-2D.05.下列微分方程中为一阶齐次方程的是( )（分数：3.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设 f(x，y)在点(x，y)处偏导数存在，则= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设，则 dz= 1（分数：2.00）8.积分= 1（分数：2.00）9.级数的收敛区间为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程满足初始条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求过原
3、点且与直线 L1：都平行的平面方程（分数：5.00）_12.设 z=f(x，y)是由方程 z-y-x+xez-y-x=0 确定的隐函数，求（分数：5.00）_13.求函数，当 x=2，y=1，x=0.1，y=-0.2 时的全微分（分数：5.00）_14.设 f(x，y，z)=x 2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求 gradf(0，0，0)（分数：5.00）_15.在曲面 z=xy 上求一点，使这点处的法线垂直于平面 x+3y+z+9=0（分数：5.00）_16.求，其中 D 是直线 y=2，y=x 和双曲线 xy=1 所围成的平面区域（分数：5.00）_17.求其中 是由球面 x2
4、+y2+z2=z 所限定的球域（分数：5.00）_18.求其中 L 为圆周，经是 x2+y2+z2=1 与 x+y+z=0 的交线（分数：5.00）_19.计算，其中 是从点(1，1，1)到点(4，4，4)的一段直线（分数：5.00）_20.计算，其中是由旋转抛物面 z=x2+y2圆柱面 x2+y2=1 和坐标平面在第一卦限中所围曲面的外侧，如图所示（分数：5.00）_21.将 f(x)=xarctanx 展开为 x 的幂级数（分数：5.00）_22.求微分方程 y“-3y+2y=xex的通解（分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求斜边长为 1 周长最大的直
5、角三角形（分数：5.00）_24.设 f(x)在a，b上连续且恒大于零试利用二重积分证明（分数：5.00）_25.设幂级数为，求其和函数和收敛区间（分数：5.00）_高等数学(工本)-4 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)均存在是函数 f(x，y)存点(x 0，y 0)处连续的_条件( )（分数：3.00）A.充分非必要B.必要非充分C.充分且必要D.非充分且非必要 解析：例在(0，0)连续，但两个偏导数都不存在在(0，0)不连续，但偏导数均存在2.设 D 是平面上以 A 1，
6、1)，B -1，1)和 C -1，-1)为顶点的三角形，D 1是它的第一象限部分，则( ) （分数：3.00）A. B.C.D.解析：积分区域如图 连结 BO，把 D 分成 D2D 3，因 D2关于 y 轴对称，被积函数 xy 对 x 为奇函数，又 D3关于 x 轴对称，被积函数 xy+cosxsiny 为 y 的奇函数，3.两直线 L：的夹角为( )（分数：3.00）A.B.C. D.解析：L1的方向向量 v1=|1，-2，1|，L 2的方向向量量 v2=n1-n2= 4.设向量场 u(x，y，z)=xy 2i+yezj+xln(1+z2)k，则 u 在 P(1，1，0)处的散度 divu=
7、（分数：3.00）A.1B.2 C.-2D.0解析：5.下列微分方程中为一阶齐次方程的是( )（分数：3.00）A.B. C.D.解析：形如的方程称为一阶齐次方程故该方程为一阶齐次方程二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设 f(x，y)在点(x，y)处偏导数存在，则= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2f x(a，b)）解析：7.设，则 dz= 1（分数：2.00）解析：8.积分= 1（分数：2.00）解析：交换积分顺序后9.级数的收敛区间为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-2,4)）解析：令 x-1=t，则， 当 x=3 时，级数发散，当 x
8、=-3 时，级数条件收敛，故的收敛区间为-3，3)，又x-1=tx-2，4)10.微分方程满足初始条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=x）解析：两端积分得 lny=lnx+lnC通解为 y=cx，把 x=1，y=1 代入得 c=1，故特解为 y=x三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求过原点且与直线 L1：都平行的平面方程（分数：5.00）_正确答案：()解析：L 1的方向向量 v1=0，1，1，L 2的方向向量 v2=1，2，1 故取平面 的法向量 又平面过原点，故平面 的方程为 x-y+z=012.设 z=f(x，y)是由方
9、程 z-y-x+xez-y-x=0 确定的隐函数，求（分数：5.00）_正确答案：()解析：令 F(x，y，z)=z-y-x+xe z-y-x 则 13.求函数，当 x=2，y=1，x=0.1，y=-0.2 时的全微分（分数：5.00）_正确答案：()解析：14.设 f(x，y，z)=x 2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求 gradf(0，0，0)（分数：5.00）_正确答案：()解析：gradf(0，0，0)=3，-2，-615.在曲面 z=xy 上求一点，使这点处的法线垂直于平面 x+3y+z+9=0（分数：5.00）_正确答案：()解析：设所求的点为(x 0，y 0，z 0)
10、，则法向量 n=y0，x0，-1 由题意得 y 0=-1，x 0=-3，z 0=x0y0=3 故所求的点为(-3，-1，3)16.求，其中 D 是直线 y=2，y=x 和双曲线 xy=1 所围成的平面区域（分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示17.求其中 是由球面 x2+y2+z2=z 所限定的球域（分数：5.00）_正确答案：()解析：用球坐标形式，设 x=rcossin，y=rsinsin，z=rcos18.求其中 L 为圆周，经是 x2+y2+z2=1 与 x+y+z=0 的交线（分数：5.00）_正确答案：()解析：利用对称性：19.计算，其中 是从点(1，1，1)到
11、点(4，4，4)的一段直线（分数：5.00）_正确答案：()解析： 的方程为20.计算，其中是由旋转抛物面 z=x2+y2圆柱面 x2+y2=1 和坐标平面在第一卦限中所围曲面的外侧，如图所示（分数：5.00）_正确答案：()解析：P=xz，Q=x 2y，R=y 2z 21.将 f(x)=xarctanx 展开为 x 的幂级数（分数：5.00）_正确答案：()解析：又 arctan0=022.求微分方程 y“-3y+2y=xex的通解（分数：5.00）_正确答案：()解析：对应齐次方程的特征方程为 r2-3r+2=0 代入原方程比较系数得 从而原方程的通解为四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.求斜边长为 1 周长最大的直角三角形（分数：5.00）_正确答案：()解析：设两直角边分别为 x 和 y，则 x2+y2=l2，直角三角形的周长 s=x+y+l 构造拉格朗日函数 F(x，y，)=x+y+l+(x 2+y2-l2) 24.设 f(x)在a，b上连续且恒大于零试利用二重积分证明（分数：5.00）_正确答案：()解析：其中 D=(x，y)|axb，ayb于是25.设幂级数为，求其和函数和收敛区间（分数：5.00）_正确答案：()解析：R=+，收敛区间为(-，+) 设
