1、高等数学(工本)-3 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.若函数 f(x，y)在区域 D 内具有二阶偏导数，则下列结论正确的是( )（分数：3.00）A.必有B.f(x,在 D 内必可微C.f(x，在 D 内必连续D.以上结论都不成立2.若某二阶常系数微分方程的通解为 y=c1e-2x+c2ex，则该微分方程为( )（分数：3.00）A.y“+y=0B.y“+2y=0C.y“+y-2y=0D.y“-y-2y=03.设积分区域 D 为 0x1，0y1，则二重积分=( )（分数：3.00）A.B.C.D.4.幂级数的收敛半径
2、 R 为( )（分数：3.00）A.1B.C.3D.不能确定5.已知点 A 3，-2)，B 1，5，)，若，则 A 为( )（分数：3.00）A.1B.-1C.0D.-6二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设 z=(1+xy)y，则= 1（分数：2.00）7.若函数 f(x，y)=2x 2+ax+xy2+2y 在点(1，-1)处取得极值，则常数 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 D 是平面区域 x2+y2R 2，且 y0，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分为 1（分数：2.00）9.级数的和是 1（分数：2.00）10.微分方程 y“+6y+9y=0 的通解是
3、1（分数：2.00）填空项 1:_三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求点 M(-1，2，5)到平面 x+2y+2z=10 的距离（分数：5.00）_12.求曲面 z=x2+3y2在点(1，1，4)处的切平面方程与法线方程（分数：5.00）_13.求函数在点 A(1，0，1)处沿 A 到点 B(3，-2，2)的方向导数（分数：5.00）_14.设由方程确立的隐函数 z=f(x，y)，其中 F 具有连续的一阶偏导数，求，（分数：5.00）_15.求函数 z=3xy-x3-y3的极值点（分数：5.00）_16.计算二重积分，其中 D 为 y=x2，y=4x 2及 y=1 所围成
4、的闭区域（分数：5.00）_17.设 L 为椭圆，其周长为 a，求曲线积分（分数：5.00）_18.L 是圆域 D：x 2+y2-2x 的正向边界，求积分（分数：5.00）_19.在球面坐标系下，计算三重积分其中积分区域 为 2x 2+y2+z24 2（分数：5.00）_20.判断级数的敛散性（分数：5.00）_21.求微分方程 xdy-ydx=y2eydy 的通解（分数：5.00）_22.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，在一个周期-，上的表达式为，试写出 f(x)的傅里叶级数的和函数在 x=- 处的值（分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.某企业用铜板
5、做一个容积为 8m3的长方体箱子，试问其长、宽、高的尺寸各为多少时，可使所用钢板最少（分数：5.00）_24.求幂级数的收敛半径和收敛区间（分数：5.00）_25.将定义在区间0，上的函数 f(x)=x2展开成余弦级数（分数：5.00）_高等数学(工本)-3 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.若函数 f(x，y)在区域 D 内具有二阶偏导数，则下列结论正确的是( )（分数：3.00）A.必有B.f(x,在 D 内必可微C.f(x，在 D 内必连续D.以上结论都不成立 解析：因为二阶混合偏导数在区域 D 内虽然存在，但不一
6、定处处连续，所以 A 不成立由条件知一阶偏导数在区域 D 内处处存在，但不一定处处连续，即 B 不成立一阶偏导数在区域 D 内存在，而函数 f(x，y)住区域 D 内不一定处处连续，那么 C 也不成立2.若某二阶常系数微分方程的通解为 y=c1e-2x+c2ex，则该微分方程为( )（分数：3.00）A.y“+y=0B.y“+2y=0C.y“+y-2y=0 D.y“-y-2y=0解析：所求微分方程有实根 r1=-2，r 2=1，故特征方程为 r2+r-2=0，故所求微分方程为 y“+y-2y=03.设积分区域 D 为 0x1，0y1，则二重积分=( )（分数：3.00）A.B. C.D.解析：
7、4.幂级数的收敛半径 R 为( )（分数：3.00）A.1 B.C.3D.不能确定解析：，即该级数的收敛半径 R=15.已知点 A 3，-2)，B 1，5，)，若，则 A 为( )（分数：3.00）A.1B.-1 C.0D.-6解析：二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设 z=(1+xy)y，则= 1（分数：2.00）解析：将 z=(1+xy)y两边取对数得 lnz=yln(1+xy)，两边同时埘 y 求偏导数得7.若函数 f(x，y)=2x 2+ax+xy2+2y 在点(1，-1)处取得极值，则常数 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-5(f(x，y)取得
8、极值的必要条件是 fx=0,fy=0，而fx=4x+a+y2f x(1，-1)=4+a+1=0，从而 a=-5）解析：8.设 D 是平面区域 x2+y2R 2，且 y0，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分为 1（分数：2.00）解析：先将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，再化为先 r 后 的二次积分这里9.级数的和是 1（分数：2.00）解析：10.微分方程 y“+6y+9y=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=(c 1+c2x)e-3x）解析：齐次方程的特征方程为 r2+6r+9=0，r 1=r2=-3，它只有一个实的二重根 r=-3因此所求通
9、解为 y=(c1+c2x)e-3x三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.求点 M(-1，2，5)到平面 x+2y+2z=10 的距离（分数：5.00）_正确答案：()解析：由点到平面的距离公式可得12.求曲面 z=x2+3y2在点(1，1，4)处的切平面方程与法线方程（分数：5.00）_正确答案：()解析： 故取法向量 n=2，6，-1切平面方程为 2(x-1)+6(y-1)-(z-4)=0 即 2x+6y-z-4=0 法线方程为13.求函数在点 A(1，0，1)处沿 A 到点 B(3，-2，2)的方向导数（分数：5.00）_正确答案：()解析：这里 l 的方向为向量的方向1
10、4.设由方程确立的隐函数 z=f(x，y)，其中 F 具有连续的一阶偏导数，求，（分数：5.00）_正确答案：()解析：用隐函数求偏导公式15.求函数 z=3xy-x3-y3的极值点（分数：5.00）_正确答案：()解析：16.计算二重积分，其中 D 为 y=x2，y=4x 2及 y=1 所围成的闭区域（分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示 由于区域 D 关于 y 轴对称 x 是关于 x 的奇函数，y 是关于 x 的偶函数17.设 L 为椭圆，其周长为 a，求曲线积分（分数：5.00）_正确答案：()解析：利用积分曲线的方程对被积函数进行简化，由于在曲线 L 上 4x2+5y
11、2=20，于是18.L 是圆域 D：x 2+y2-2x 的正向边界，求积分（分数：5.00）_正确答案：()解析：利用格林公式有19.在球面坐标系下，计算三重积分其中积分区域 为 2x 2+y2+z24 2（分数：5.00）_正确答案：()解析：利用球面坐标系有 ：02，0，r220.判断级数的敛散性（分数：5.00）_正确答案：()解析：故由比值审敛法知该级数发散21.求微分方程 xdy-ydx=y2eydy 的通解（分数：5.00）_正确答案：()解析：将 x 看作因变量，y 看作自变量，方程可变形为一阶线性非齐次微分方程 其中 由通解公式有22.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，在一
12、个周期-，上的表达式为，试写出 f(x)的傅里叶级数的和函数在 x=- 处的值（分数：5.00）_正确答案：()解析：x=- 是 f(x)的间断点 故由收敛定理知四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.某企业用铜板做一个容积为 8m3的长方体箱子，试问其长、宽、高的尺寸各为多少时，可使所用钢板最少（分数：5.00）_正确答案：()解析：设长、宽分别为 x(m)，y(m)，那么高为，设箱子的表面积为 S 那么 由于实际问题存在最小值，又只有唯一的驻点，即该点就是最小值，所以当长、宽、高均为 2m 时，所用钢板最少24.求幂级数的收敛半径和收敛区间（分数：5.00）_正确答案：()解析：当 x=5 时级数成为收敛，当 x=-5 时，级数成为收敛，所以幂级数的收敛区间为-5，525.将定义在区间0，上的函数 f(x)=x2展开成余弦级数（分数：5.00）_正确答案：()解析：将 f(x)进行偶延拓和周期延拓，则延拓后的函数在(-，+)上处处连续，所以其余弦级数在0，上处处收敛于 x2
