1、高等数学(工本)-2 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.已知 f(x，y)是连续函数，二重积分的极坐标表示为( )（分数：3.00）A.B.C.D.2.设向量 i+2j+3k 与 2i+mj+6k 垂且，则 m=( )（分数：3.00）A.4B.-4C.10D.-103.常数 n0，则几何级数收敛条件是( )（分数：3.00）A.q1B.-1q1C.q1D.q14.设 L 为圆周 x2+y2=1，=( )（分数：3.00）A.8B.10C.12D.145.二重极限为( )（分数：3.00）A.1B.C.0D.不存在但不
2、为二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设函数，则= 1（分数：2.00）7.设 z=f(x6-y6)可微，则= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.三重积分= 1，其中 是球 x2+y2+z21（分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 y“+4y+3y=0 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.幂级数的和函数是_（分数：2.00）填空项 1:_三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.已知向量 a=1，0，-2，b=1，1，0，试求向量 c，使 ca，cb 且|c|=6（分数：5.00）_12.讨论函数在点(0，0)处的连续性（分数：5.0
3、0）_13.求函数 u=f(x，y，z)=x 2+xy+yz 在点(1，0，3)处沿方向角为 =60，=45，r=60的方向导数（分数：5.00）_14.令 z=xy，而 x=sint，y=cost，求（分数：5.00）_15.求出 z=x3+y3-3xy 的极值（分数：5.00）_16.计算二重积分，其中 D：x 2+y2x+y+1（分数：5.00）_17.求心形线 r=a(1+cos)的长度（分数：5.00）_18.计算，L 是圆周 x2+y2=a2沿逆时针方向（分数：5.00）_19.计算，为柱面 x2+y2=1 及平面 z=0，z=3 所围成立体的全表面外侧（分数：5.00）_20.判
4、断正项级数的敛散性.（分数：5.00）_21.求幂级数的收敛半径和收敛区间（分数：5.00）_22.求微分方程 y“+3y+2y=e-x（分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.将函数展开成关于 x-5 的幂级数（分数：5.00）_24.计算曲线积分为，其中 a，b 均为正常数L 是从点 A(2a，0)沿曲线到原点的弧度(如图)（分数：5.00）_25.设 是球体 x2+y2+z22z，求三重积分（分数：5.00）_高等数学(工本)-2 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.已知 f(x，y)
5、是连续函数，二重积分的极坐标表示为( )（分数：3.00）A.B. C.D.解析：，其中积分区域 D 如图所示2.设向量 i+2j+3k 与 2i+mj+6k 垂且，则 m=( )（分数：3.00）A.4B.-4C.10D.-10 解析：两向量 a 与 b 垂直的充要条件是 ab=0 由题意知(i+2j+3k)(2i+mj+6k)=2+2m+18=0 m=-103.常数 n0，则几何级数收敛条件是( )（分数：3.00）A.q1B.-1q1 C.q1D.q1解析：4.设 L 为圆周 x2+y2=1，=( )（分数：3.00）A.8B.10C.12 D.14解析：由于被积幽数定义在积分曲线上，因
6、此积分变量 x，y 满足枳分路线 L 的方程，利用这一性质化简积分5.二重极限为( )（分数：3.00）A.1B.C.0D.不存在但不为 解析：对不同实数 k(k1)，上述极限不同，于是不存在但不为)二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.设函数，则= 1（分数：2.00）解析：7.设 z=f(x6-y6)可微，则= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：6x 5f(x6-y6)）解析：8.三重积分= 1，其中 是球 x2+y2+z21（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：因为 关于平面 z 对称，为 z 的奇函数9.微分方程 y“+4y+3y=0 的通
7、解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：c 1e-x+c2e-3x）解析：特征方程为 r2+4r+3=0r 1=-3，r 2=-1，从而通解为 y=c1e-x+c2e-3x10.幂级数的和函数是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：ln(1+x)）解析：令 即 s(x)-s(0)= ln(1+x)显然 s(0)=0s(x)=ln(1+x)三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.已知向量 a=1，0，-2，b=1，1，0，试求向量 c，使 ca，cb 且|c|=6（分数：5.00）_正确答案：()解析：设 c=x，y，z12.讨论函数在点(0，0)处
8、的连续性（分数：5.00）_正确答案：()解析：令 y=kx2，则 上述极限随 k 的不同而不同 不存在 f(x，y)在(0，0)点不连续13.求函数 u=f(x，y，z)=x 2+xy+yz 在点(1，0，3)处沿方向角为 =60，=45，r=60的方向导数（分数：5.00）_正确答案：()解析：14.令 z=xy，而 x=sint，y=cost，求（分数：5.00）_正确答案：()解析：15.求出 z=x3+y3-3xy 的极值（分数：5.00）_正确答案：()解析：f(x，y)=x 3+y3-3xy f x(x，y)=3x 2-3y，f y(x，y)=3y 2-3x A=fxx=6x，B
9、=f xy=-3，c=f yy=6y 令得驻点(1，1)(0，0) 关于第一个驻点(1，1)有 B2-AC=9-66=-270 且 A0 因此(x，y)在点(1，1)取得极小值 f(1，1)=1+1-3=-1 关于第二个驻点(0，0)有 B2-AC=90，因此 f(x，y)在(0，0)点取不到极值16.计算二重积分，其中 D：x 2+y2x+y+1（分数：5.00）_正确答案：()解析：积分域 D 如图所示 令17.求心形线 r=a(1+cos)的长度（分数：5.00）_正确答案：()解析：由于18.计算，L 是圆周 x2+y2=a2沿逆时针方向（分数：5.00）_正确答案：()解析：据格林公
10、式有19.计算，为柱面 x2+y2=1 及平面 z=0，z=3 所围成立体的全表面外侧（分数：5.00）_正确答案：()解析：P=(y-z)x，Q=0，R=x-y 设封闭曲面所围的空间区域为 ，利用高斯公式和柱面坐标有20.判断正项级数的敛散性.（分数：5.00）_正确答案：()解析：21.求幂级数的收敛半径和收敛区间（分数：5.00）_正确答案：()解析：级数的收敛半径为 对 x=2，原级数成为 对 x=-2，原级数成为是交错级数，由莱布尼茨判别法知该级数收敛 级数的收敛半径为 2，收敛区间是-22)22.求微分方程 y“+3y+2y=e-x（分数：5.00）_正确答案：()解析：对应齐次方
11、程的特征方程为 r2+3r+2=0r 1=-2，r 2=-1齐次方程的通解为 y=C1e-2x+C2e-xr 2=-1 是特征方程的单根应设特解为 y*=Axe-x则 y *=Ae-x-Axe-x，y *“=-Ae-x-Ae-x+Axe-x=-2Ae-x+Axe-x，将它们代入原方程得(-2Ae-x+Axe-x)+3(Ae-x-Axe-x)+2Axe-x=e-xAe -x=e-x A=1所以原方程的一个特解 y*=xe-x于是原方程的通解为 y=c1e-2x+c2e-x+xe-x四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.将函数展开成关于 x-5 的幂级数（分数：5.00）_正确答案：()解析：令 t=x-5，则24.计算曲线积分为，其中 a，b 均为正常数L 是从点 A(2a，0)沿曲线到原点的弧度(如图)（分数：5.00）_正确答案：()解析：L 不是闭曲线，但是正向闭曲线，记它围成的闭区域为 D，又的参数方程为25.设 是球体 x2+y2+z22z，求三重积分（分数：5.00）_正确答案：()解析：令
