1、高等数学(工本)-1 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.级数( )（分数：3.00）A.发散B.收敛于C.收敛于 0D.收敛于2.f(x，y)在平面闭区域 D上有界是二重积分存在的( )（分数：3.00）A.必要非充分的条件B.充分非必要的条件C.必要充分的条件D.既非必要也非充分的条件3.在 Oxy坐标面上，设 e为单位向量，o 为零向量，则( )（分数：3.00）A.eo=0B.ee=eC.eo=0D.ee=e4.设 AB为从点 A(1，0)沿曲线到点 B(0，1)的弧段，则下列等式正确的是( ) D ，其中的 f
2、(x，Y)是连续函数，f 1(x，y)、f 2(x，y)是有连续的偏导数的函数（分数：3.00）A.B.C.D.5.设 f(x+y，xy)=x 2+Y2，则 f(x，y)=( )（分数：3.00）A.x2-2xyB.y2-2xC.y2-2xyD.x2-2y二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.二重极限= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 z=(1+xy)x，则= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.二次积分= 1（分数：2.00）9.级数的和为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 e-xdy+e-ydx=0的通解为_（分数：2.00）填空项 1:_三、B计
3、算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.已知 a=1，1，-4，b=1，-2，2，求(1)ab；(2)a 与 b的夹角；(3)a 在 b上的投影 ab（分数：5.00）_12.求曲面 x2+y2+z2=25上点(2，3，)处的切平面和法线方程（分数：5.00）_13.求函数 u=x3+2y2+3z2+xy-xz在点(1，1，1)处的梯度（分数：5.00）_14.函数 z=z(x，y)由方程 x+2y+z-=0所确定，求（分数：5.00）_15.求 f(x，y)=(4x-x 2)(2y-y2)的极值（分数：5.00）_16.计算二重积分，D：axx 2+y2a 2，x0，y0(a0)（分
4、数：5.00）_17.计算，其中 L为依逆时针方向绕圆周 x2+y2=R2一周的路径（分数：5.00）_18.设 L是圆周 x2+y2+2y=0，求关于弧长的曲线积分（分数：5.00）_19.计算关于坐标的曲面积分，其中是由平面 2y+2z-3=0，z=0 及圆柱面 x2+y2=1围成的立体的边界曲面(外侧)（分数：5.00）_20.求幂级数的收敛区间（分数：5.00）_21.函数的傅立叶级数展开式，求系 a0（分数：5.00）_22.设有微分方程 y“-4y+4y=f(x)，试根据 f(x)=xe2x，写出其相应特解的形式（分数：5.00）_四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)2
5、3.将函数 f(x)=xe-2x展开成 x的幂级数（分数：5.00）_24.验证(3x 2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某个函数 u(x，y)的全微分，并求出函数 u(x，y)（分数：5.00）_25.设函数 f(x)在0，1上连续，证明（分数：5.00）_高等数学(工本)-1 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：5，分数：15.00)1.级数( )（分数：3.00）A.发散B.收敛于 C.收敛于 0D.收敛于解析：该级数是公比的等比级数，且故该级数收敛，且和为2.f(x，y)在平面闭区域 D上有界是二重积分存在的( )（
6、分数：3.00）A.必要非充分的条件 B.充分非必要的条件C.必要充分的条件D.既非必要也非充分的条件解析：由二重积分的定义即可得此结论3.在 Oxy坐标面上，设 e为单位向量，o 为零向量，则( )（分数：3.00）A.eo=0B.ee=eC.eo=0 D.ee=e解析：，由定义(模为零的向量为零向量)故 eo=0，故选 C又|ee|=|e|e|sin(e，e)=0，ee=e是错误的另外两个向量的数最积是一个数量，从而 eo=0和 e-e=e都是错误的4.设 AB为从点 A(1，0)沿曲线到点 B(0，1)的弧段，则下列等式正确的是( ) D ，其中的 f(x，Y)是连续函数，f 1(x，y
7、)、f 2(x，y)是有连续的偏导数的函数（分数：3.00）A. B.C.D.解析：如果将 L的参数方程表示为 于是 B 应为 C 应为 D 不正确，因为未必与积分路径无关5.设 f(x+y，xy)=x 2+Y2，则 f(x，y)=( )（分数：3.00）A.x2-2xyB.y2-2xC.y2-2xyD.x2-2y 解析：f(x+y，xy)=x 2+y2=(x+y)2-2xy f(x，y)=x 2-2y二、B填空题/B(总题数：5，分数：10.00)6.二重极限= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：当 x0，y0 时，从而，由于=0 7.设 z=(1+xy)x，则= 1
8、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1+2ln2）解析：令 1+xy=u，x=v，则 y+u vlnu1=x(1+xy)x-1+(1+xy)xln(1+xy) 8.二次积分= 1（分数：2.00）解析：9.级数的和为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：记，所以10.微分方程 e-xdy+e-ydx=0的通解为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：e x+ey=C）解析：由 e-xdy+e-ydx=0分离变量得 eydy=-exdx两端积分得 ey=-ex+C 即 ex+ey=C三、B计算题/B(总题数：12，分数：60.00)11.已知 a=1，1，
9、-4，b=1，-2，2，求(1)ab；(2)a 与 b的夹角；(3)a 在 b上的投影 ab（分数：5.00）_正确答案：()解析：(1)ab=11+1(-2)+(-4)2=-9 (2)设夹角为 ，那么 (3)ab=|a|b|cos=|b|a b a 在 b上的投影为12.求曲面 x2+y2+z2=25上点(2，3，)处的切平面和法线方程（分数：5.00）_正确答案：()解析：令 F(x，y，z)=x 2+y2+z2-25，则 Fx=2x，F y=2y，F z=2z 从而 故取法向量，于是切平面方程为 即 法线方程为13.求函数 u=x3+2y2+3z2+xy-xz在点(1，1，1)处的梯度（
10、分数：5.00）_正确答案：()解析：故 gradu(1，1，1)=3，5，514.函数 z=z(x，y)由方程 x+2y+z-=0所确定，求（分数：5.00）_正确答案：()解析：令，则 故15.求 f(x，y)=(4x-x 2)(2y-y2)的极值（分数：5.00）_正确答案：()解析：令 fx(x，y)=(4-2x)(2y-y 2)=0 fy(x，y)=(2-2y)(4x-x 2)=0 得驻点(2，1)(0，0)(0，2)(4，0)(4，2) A=fxx(x，y)=-2y(2-y)，B=f xy=4(2-x)(1-y)，C=f yy(z，y)=-2x(4-x) 列表进行判断 (x，y)
11、A B C B2-AC 取极大值情 况(2，1) -2 0 -8 -16 取极大值 4(0，0) 0 8 0 64 非极值(0，2) 0 -8 0 64 非极值(4，0) 0 -8 0 64 非极值(4，2) 0 8 0 64 非极值即 f(x，y)只有一个极大值 f(2，1)=416.计算二重积分，D：axx 2+y2a 2，x0，y0(a0)（分数：5.00）_正确答案：()解析：积分域 D的图形如下图所示，D 可用不等式表示为17.计算，其中 L为依逆时针方向绕圆周 x2+y2=R2一周的路径（分数：5.00）_正确答案：()解析：L 的参数议程：18.设 L是圆周 x2+y2+2y=0
12、，求关于弧长的曲线积分（分数：5.00）_正确答案：()解析：L 的参数方程：19.计算关于坐标的曲面积分，其中是由平面 2y+2z-3=0，z=0 及圆柱面 x2+y2=1围成的立体的边界曲面(外侧)（分数：5.00）_正确答案：()解析：20.求幂级数的收敛区间（分数：5.00）_正确答案：()解析：令 x-3=t，原级数转化为 故级数(1)的收敛半径 R=1当 t=1时级数(1)成为 收敛，故级数收敛当 t=-1时，级数(1)成为是交域为-2，421.函数的傅立叶级数展开式，求系 a0（分数：5.00）_正确答案：()解析：22.设有微分方程 y“-4y+4y=f(x)，试根据 f(x)
13、=xe2x，写出其相应特解的形式（分数：5.00）_正确答案：()解析：方程对应的齐次方程的特征方程为 r2-4r+4=0 有两个相同的实根 r1=r2=2 由于 r=2是特征方程的重根，n=2故应设 y*=x2(b0x+b1)e2x四、B综合题/B(总题数：3，分数：15.00)23.将函数 f(x)=xe-2x展开成 x的幂级数（分数：5.00）_正确答案：()解析：24.验证(3x 2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某个函数 u(x，y)的全微分，并求出函数 u(x，y)（分数：5.00）_正确答案：()解析：P(x，y)=3x 2y+8xy2，Q(x，y)=x 3y+8x2y+12yey 所以，所给的微分表达式是某个函数 u(x，y)的全微分 25.设函数 f(x)在0，1上连续，证明（分数：5.00）_正确答案：()解析：设 则积分区域 D=(x，y)|0x1，x 2y1交换二次积分的积分顺序有 等式成立
