1、高等数学(工专)自考题-3 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.下列函数中在所给的区间上是无界函数的为_ Af(x)=cosx(-，+) Bf(x)= （分数：2.00）A.B.C.D.2.设 与 均为正项级数且 u n v n 则下列命题正确的是_ A若 收敛，则 也收敛 B若 发散，则 也发散 C若 发散，则 也发散 D若 发散，则 （分数：2.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，xln(x+1)是_（分数：2.00）A.与 x sinx 等价的无穷小B.与 x sin
2、x 同阶非等价的无穷小C.比 x sinx 高阶的无穷小D.比 x sinx 低阶的无穷小4.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.5.若线性方程组 （分数：2.00）A.-2B.0C.2D.4三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6.若 y=f(x)在点 x 0 处连续，则 （分数：3.00）7.设 f(x)= （分数：3.00）8.设 则 （分数：3.00）9.曲线 x 3 +y 3 -xy=7 上一点(x，y)处的切线斜率 k= 1. （分数：3.00）10.设 y=f(x)是 x 的三次函数，
3、其图像关于原点对称，且 x= （分数：3.00）11.曲线 y= （分数：3.00）12.x 2 sin2xdx= 1 （分数：3.00）13. （分数：3.00）14.设 D= ，其中 = （分数：3.00）15.设矩阵 A= （分数：3.00）五、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_17.设 y= （分数：6.00）_18.设函数 y=y(x)是由方程 sin(x 2 +y)=xy 确定，试求 （分数：6.00）_19.求曲线 y= （分数：6.00）_20.求 I= （分数：6.00）_21.求微分方程 （分数：6.00）_22.求微积分方程 （分数：
4、6.00）_23.当 取何值时，线性方程组 （分数：6.00）_六、综合题(总题数：2，分数：12.00)24.求曲线 y=1-x 2 上一点，使过该点的切线与这条曲线及两坐标轴在第一象限所围平面图形的面积最小，最小面积是多少? （分数：6.00）_25.证明 （分数：6.00）_高等数学(工专)自考题-3 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.下列函数中在所给的区间上是无界函数的为_ Af(x)=cosx(-，+) Bf(x)= （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 设
5、函数 f(x)在数集 X 内有定义若存在正数 M，使得对任何 xX，都有成立。 则称 f(x)在 X 内有界，称 M 为 f(x)的一个界 若这样的 M 不存在， 则称 f(x)在 X 内无界 当 x(-，+)时，|f(x)=cosx|1， |f(x)=arctanx| ， 故选项 A、C 在所给区间上均是有界函数； 当 x(0， )时， f(x)=tanx 的值域为(-，+)， 故选项 B 为无界函数； 当 x-1，1，|f(x)=arcsinx| 2.设 与 均为正项级数且 u n v n 则下列命题正确的是_ A若 收敛，则 也收敛 B若 发散，则 也发散 C若 发散，则 也发散 D若
6、发散，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 根据正项级数敛散性的比较判别法3.当 x0 时，xln(x+1)是_（分数：2.00）A.与 x sinx 等价的无穷小 B.与 x sinx 同阶非等价的无穷小C.比 x sinx 高阶的无穷小D.比 x sinx 低阶的无穷小解析：解析 当 x0 时， 4.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 = = =arcsinl=5.若线性方程组 （分数：2.00）A.-2B.0C.2 D.4解析：解析 三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：
7、30.00)6.若 y=f(x)在点 x 0 处连续，则 （分数：3.00）解析：f(x 0 ) 解析 由函数极限的定义即知7.设 f(x)= （分数：3.00）解析： 解析 根据函数连续性的定义，函数 f(x)在点 x 0 处连续必须同时满足三个条件： 存在，f(x 0 )有定义，f(x 0 )与 相等 由于 = = ，而 f(0)=a， 所以 =f(0)时，即 a= 8.设 则 （分数：3.00）解析：-e 2t 解析 9.曲线 x 3 +y 3 -xy=7 上一点(x，y)处的切线斜率 k= 1. （分数：3.00）解析： 解析 由导数的几何意义知， 所求的切线斜率为 k=f“(x)=
8、10.设 y=f(x)是 x 的三次函数，其图像关于原点对称，且 x= （分数：3.00）解析：4x 3 -3x 解析 由于函数的图像关于原点对称，所以 f(x)是奇函数，对 x 的三次函数来说，应设 f(x)=ax 3 +bx. 由题设，确定 a，b 的方程为 =0， =-1因 f“(x)=3ax 2 +b， 故有 11.曲线 y= （分数：3.00）解析：x=1 解析 设函数 y=f(x)在 a 的某去心邻域或左邻域(a-，a)，或右邻域(a，a+)内有定义， 如果 =，或 = 或 =， 那么直线 x=a 称为曲线 y=f(x)的一条铅直渐近线. 因为函数 y= 的定义域为(-，1)(1，
9、+)， 12.x 2 sin2xdx= 1 （分数：3.00）解析：解析 13. （分数：3.00）解析：解析 14.设 D= ，其中 = （分数：3.00）解析：0 解析 D=1+ 6 + 3 -3 3 由 6 = 3 =1 得知 D=0. 或利用各行元素之和 1+ 2 =0，有 15.设矩阵 A= （分数：3.00）解析： 解析 = 所以 A -1 = = 五、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析：此处不能直接运用商的极限运算法则，可利用等价无穷小替换： ，便有： 原式= 17.设 y= （分数：6.00）_正确答案：()解析：18.设
10、函数 y=y(x)是由方程 sin(x 2 +y)=xy 确定，试求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：等式两边对 x 求导数，有 cos(x 2 +y)(2x+y“)=y+xy“，得 19.求曲线 y= （分数：6.00）_正确答案：()解析：函数 y= 在其定义域区间(-，+)内连续， 当 x=b 时，y“不存在，即无 y“=0 的点 当 xb 时，y“0，而 xb 时，y“0 又y(b)=a y= 20.求 I= （分数：6.00）_正确答案：()解析：令 则 故， 21.求微分方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：这是一个一阶线性非齐次微分方程，其对应的齐次方程为： +y
11、 cosx=0分离变量后得， =-cosx dx 两端积分 22.求微积分方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：这是一个一阶线性非齐次微分方程，其中 P(x)= ，Q(x)=x 3 由通解公式得 所以，微分方程的通解可表示为 由初始条件 y| x=1 =1 得 C= ， 从而求得特解为 23.当 取何值时，线性方程组 （分数：6.00）_正确答案：()解析：将原方程组变形为： D= = 六、综合题(总题数：2，分数：12.00)24.求曲线 y=1-x 2 上一点，使过该点的切线与这条曲线及两坐标轴在第一象限所围平面图形的面积最小，最小面积是多少? （分数：6.00）_正确答案：()解析：如下图. 设(x，y)为切点坐标，(x0，y0)，y“=-2x.过点(x，y)的切线方程为： Y-y=-2x(X-x) 其中 X，Y 为切线流动坐标. 令 X=0，得切线在 y 轴上截距为 Y=2x 2 +y 令 Y=0，得切线在 x 轴上截距为 X= 按题设条件知所围图形面积为： 所以 令 S“=0 得 3x 4 +2x 2 -1=0 所以得 这时 依题意，必存在极小值，最小面积为： 25.证明 （分数：6.00）_正确答案：()解析：令 x=1-u， 则 dx=d(1-u)=-du 当 x 从 0 到 1 时 u 单调地从 1 到 0，所以 等式左端
