1、高等数学(工专)自考题-1 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.下列函数中是奇函数的为_ Ay=ln(x 2 +1)-secx By=|x 3 |+1 Cy= Dy= （分数：2.00）A.B.C.D.2.若级数 ， 均发散，则_ A 发散 B 发散 C 发散 D （分数：2.00）A.B.C.D.3.无穷大量减去无穷大量_（分数：2.00）A.仍为无穷大量B.是零C.是常量D.是未定式4.设广义积分 （分数：2.00）A.a=1B.a1C.a1D.a15.在下列矩阵中，可逆的
2、矩阵式_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6.设 （分数：3.00）7.设 f(x+1)=x 2 ，则 df(x)= 1 （分数：3.00）8.设 （分数：3.00）9.设由参数方程 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(其中 a0 为常数)确定的函数为 y=y(x)，则 （分数：3.00）10.设函数 f(x)=(x+1) 3 +e 5x ，n5 则 f (n) (-x)= 1. （分数：3.00）11.曲线 y=x 3 的拐点为 1 （分数：3.00）12.已知 （分
3、数：3.00）13.函数 （分数：3.00）14.设 A= （分数：3.00）15.设 A 为 3 阶方阵，且 A 的行列式|A|=a0，则 A 的伴随矩阵 A * 的行列式|A * |= 1. （分数：3.00）五、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.利用函数的单调性证明：当 x0 时，ln(1+x) （分数：6.00）_17.设 （分数：6.00）_18.设方程 x 2 +y 3 =e xy ，确定隐函数 y=y(x)求 y“(0) （分数：6.00）_19.求函数 y=x-ln(1+x)的单调区间和极值 （分数：6.00）_20.计算积分 （分数：6.00）_21.求微分方程 x
4、y“+2y=3x 的通解 （分数：6.00）_22.设 求 （分数：6.00）_23.问 取何值时，齐次方程组 （分数：6.00）_六、综合题(总题数：2，分数：12.00)24.设窗子形状为：上半部为半圆形，下半部为矩形，设窗子周长 L 一定的情况下，底边长为多少时面积最大 （分数：6.00）_25.求抛物线 y=x(2-x)与 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 （分数：6.00）_高等数学(工专)自考题-1 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.下列函数中是奇
5、函数的为_ Ay=ln(x 2 +1)-secx By=|x 3 |+1 Cy= Dy= （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 Ay=ln(x 2 +1)-secx 由于 sec(x)sec(-x) y 既不是奇函数也不是偶函数. By=|x 3 |+1 y(x)=y(-x)为偶函数. Cy= y(-x)= 为奇函数 D 2.若级数 ， 均发散，则_ A 发散 B 发散 C 发散 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查数项级数的敛散性 由级数 ， 发散，可知 ， 也发散，由正项级数的定义可知 ， 为正项级数 3.无穷大量减去无穷大量_（分数：2.00）A.仍为无
6、穷大量B.是零C.是常量D.是未定式 解析：解析 无穷大量减去无穷大量，由无穷大量的定义，其结果为未定式4.设广义积分 （分数：2.00）A.a=1B.a1 C.a1D.a1解析：解析 a1 时， = = = = ,收敛.5.在下列矩阵中，可逆的矩阵式_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 |A|= =0，不可逆 |B|= 可逆.|C|= ，不可逆|D|= 三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6.设 （分数：3.00）解析： 解析 由于 = = =e 2k =e,所以 k= 7.设 f(x+1)=x 2 ，
7、则 df(x)= 1 （分数：3.00）解析：df(x)=(2x-2)dx 解析 f(x+1)=x 2 =(x+1) 2 -2x-1=(x+1) 2 -2(x+1)+1 f(x)=t 2 -2t+1,故 df(x)=(2x+1) 2 dx.8.设 （分数：3.00）解析： 解析 本题考查函数求导 y“= 9.设由参数方程 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(其中 a0 为常数)确定的函数为 y=y(x)，则 （分数：3.00）解析：解析 10.设函数 f(x)=(x+1) 3 +e 5x ，n5 则 f (n) (-x)= 1. （分数：3.00）解析：5 n e 5x 解析当 n
8、4 时，(x+1) 3 (n) =0，(e 5x ) (n) =5 n e 5x ，所以 f (n) (x)=5 n e 5x 11.曲线 y=x 3 的拐点为 1 （分数：3.00）解析：(0，0) 解析y=x 3 ，y“=3x 2 ，y“=6x=0，则 x=0，此时 y=0，拐点(0，0)12.已知 （分数：3.00）解析： 解析 因为 是 f(x)的原函数，所以 f(x)= = xf“(x)dx=xd(f(x)=xf(x)-f(x)dx = = 13.函数 （分数：3.00）解析：解析 本题为定积分问题，14.设 A= （分数：3.00）解析： 解析 本题考查矩阵的计算 A-3E= =
9、15.设 A 为 3 阶方阵，且 A 的行列式|A|=a0，则 A 的伴随矩阵 A * 的行列式|A * |= 1. （分数：3.00）解析：a 2 解析 由 A * =|A|A -1 ,|A|=a,故 A * =aA -1 |A * |=|aA -1 | 又A 为三阶方阵|A * |=a 3 |A -1 |=a 3 a -1 =a 2 .五、计算题(总题数：8，分数：48.00)16.利用函数的单调性证明：当 x0 时，ln(1+x) （分数：6.00）_正确答案：()解析：本题即需证 x0 时， (1+x)ln(1+x)arctanx，令 f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx
10、，则 f“(x)=ln(1+x)+1- =ln(1+x)+ 显然 x0 时，有 f“(x)0 又因为 f(x)在0，+)上连续，所以 F(X)在0，+)上单调增加 于是当 x0 时，有 f(x)f(0)=0 即(1+x)ln(1+x)-arctanx0 也即 ln(1+x) 17.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：y“= = = 18.设方程 x 2 +y 3 =e xy ，确定隐函数 y=y(x)求 y“(0) （分数：6.00）_正确答案：()解析：方程两边关于 x 求导，得 (x 2 +y 3 )“=(e xy )“ 2x+3y 2 y“=e xy (y+xy“) 因此(3y
11、2 -xe xy )y“=ye xy -2x y“= 再将 x=0 代入原方程，得 0 2 +y 3 =e 0 =1故 y=1 所以 y“(0)= = 19.求函数 y=x-ln(1+x)的单调区间和极值 （分数：6.00）_正确答案：()解析：y“=1- = 20.计算积分 （分数：6.00）_正确答案：()解析： = = = 21.求微分方程 xy“+2y=3x 的通解 （分数：6.00）_正确答案：()解析：原方程可以写成 y“+ =3，这是一阶线性微分方程 通解为 y= = = = = 22.设 求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：设 x-1=t,则 23.问 取何值时，齐次方
12、程组 （分数：6.00）_正确答案：()解析：齐次方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式 D=0. 而 D= 六、综合题(总题数：2，分数：12.00)24.设窗子形状为：上半部为半圆形，下半部为矩形，设窗子周长 L 一定的情况下，底边长为多少时面积最大 （分数：6.00）_正确答案：()解析：设上半部半圆形的半径为 r.下半部矩形高为 h.则下半部矩形的宽为 2r.由题目知 2h+2r+r=L. 2h=L-2r-r S= = = 令 S“(r)=L-4r-r=0.得 r= 又S“(r)=-4-0. 底边长 2r= 25.求抛物线 y=x(2-x)与 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 （分数：6.00）_正确答案：()解析：V=
