1、贵州省专升本考试高等数学模拟 9 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设 f(x)的定义域为-2，2)，则 f(3x+1)的定义域为_ A-5，7) B C （分数：2.00）A.B.C.D.2.函数 （分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数3.当 x0 时，x 2 是 e tanx -e x 的_（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶无穷小，但非等价无穷小4.下列极限存在的为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.5.对于函数 （分数：2.00）A.
2、x=-1 是第一类间断点，x=1 是第二类间断点B.x=-1 是第二类间断点，x=1 是第一类间断点C.x=-1 与 x=1 均是第一类间断点D.x=-1 与 x=1 均是第二类间断点6._ （分数：2.00）A.0B.1C.D.不存在7.由方程 xy+lny=1 确定的隐函数 x=x(y)的微分 dx_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 f(x)=x 2 +lnx，则 f (n) (x)(n2)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 f(x)在(0，+)上连续，且 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.无法求出10.设函数 y=y(x)由参数
3、方程 确定，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 （分数：2.00）A.-sinxB.sinxC.-1+cosxD.012.曲线 （分数：2.00）A.x=0B.x=1C.x=2，x=0D.x=213.由方程 xy=lnxy 确定的隐函数 x(y)的导数 为_ A B Cxy D （分数：2.00）A.B.C.D.14. _ Ae 2x +e x +x+C B C D （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 F(x)与 G(x)都是区间 I 上函数 f(x)的原函数，则_（分数：2.00）A.F(x)G(x)xIB.dF(x)=dG(x)+C，xIC.f(x)
4、dx=F(x)D.F(b)-F(a)=G(b)-G(a)，a，bI16.若积分 （分数：2.00）A.k1B.k1C.k=0D.k=e17.设 f(x)为连续函数，则 _ A0 B1 Cn D （分数：2.00）A.B.C.D.18.已知|a|=1，|b|=5，且 ab=3，则|ab|=_ A4 B （分数：2.00）A.B.C.D.19.向量 a=x，y，z与 x 轴垂直，则_（分数：2.00）A.x=0B.y=0C.z=0D.z=y=020.二元函数 z=x 2 -(y-1) 2 _（分数：2.00）A.有极小值B.有极大值C.无极值D.可能有极值21.设 _ A B C D （分数：2.
5、00）A.B.C.D.22._ （分数：2.00）A.2B.3C.1D.不存在23.设函数 z=x 3 y+xy 3 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D.24.设 _ Adx+dy B2xdx+2ydy C2dx+2dy D （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 f(x，y)为连续函数，二次积分 交换积分次序后为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.26.如果区域 D 被分成两个子区域 D 1 和 D 2 ，且 ，则 （分数：2.00）A.6B.5C.4D.127.若 都是发散，则下列表述正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.设级数 都收
6、敛，则级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不确定29.微分方程 y“=e 2x-y 的通解为_ A.yex=C B.ey=e2x+C C.2ey=e2x+C D.y=Cxe-x（分数：2.00）A.B.C.D.30.设函数 y=f(x)是微分方程 y“-2y“+4y=0 的解，且 f(x 0 )0，f“(x 0 )=0，则 f(x)在点 x 0 处_（分数：2.00）A.有极大值B.有极小值C.在某邻域内单调增加D.在某邻域内单调减少二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设函数 f(x)=4x+1，则 ff(x)-1= 1. （分数：2.00）32.已
7、知 （分数：2.00）33.函数 f(x)=(x-1)(x+1) 3 的单调减少区间为 1. （分数：2.00）34.xf(x 2 )f“(x 2 )dx= 1 （分数：2.00）35. （分数：2.00）36.方程 （分数：2.00）37.若函数 z=z(x，y)由方程 e z -xyz=0 确定，则 （分数：2.00）38.设积分区域 D 为 x 2 +y 2 4x，则 （分数：2.00）39.幂级数 （分数：2.00）40.微分方程 y“-2y“+y=0 的通解为 1. （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.设 y=f(ln
8、x)e f(x) 其中，f 可微，求 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.求 （分数：5.00）_45.设 z=f(e x siny，ln(x+y)，其中，f(u，v)为可微函数，求 （分数：5.00）_46.计算 （分数：5.00）_47.设 L 为三个顶点分别为(0，0)、(1，0)和(0，1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，求(xy 2 -y 3 )dx+(x 2 y-3xy 2 )dy. （分数：5.00）_48.求过点(1，2，-5)且与直线 （分数：5.00）_49.将函数 （分数：5.00）_50.求微分方程(x 2 +1)y“+2xy-cosx
9、=0 的通解. （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.向宽为 a 米的河修建一宽为 b 米的运河，二者直角相交，问能驶进运河的船，其最大长度为多少? （分数：7.00）_一曲线通过点(e 2 ，3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求：（分数：7.00）(1).该曲线的方程；（分数：3.50）_(2).该曲线与 x 轴及直线 x=e 2 所围成的图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积.（分数：3.50）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)52.证明： ，并计算 （分数：6.00）_贵州省专升本考试高等数学模拟 9 答案解析(总分：150.00，做
10、题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设 f(x)的定义域为-2，2)，则 f(3x+1)的定义域为_ A-5，7) B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 f(x)的定义域为-2，2)得-23x+12，从而 ，所以 f(3x+1)的定义域为2.函数 （分数：2.00）A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析：解析 因为 3.当 x0 时，x 2 是 e tanx -e x 的_（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小 C.等价无穷小D.同阶无穷小，但非等价无穷小解析：解析 因为 4.下列极限存在的为_ A B C
11、D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为5.对于函数 （分数：2.00）A.x=-1 是第一类间断点，x=1 是第二类间断点 B.x=-1 是第二类间断点，x=1 是第一类间断点C.x=-1 与 x=1 均是第一类间断点D.x=-1 与 x=1 均是第二类间断点解析：解析 因为 6._ （分数：2.00）A.0 B.1C.D.不存在解析：解析 因为7.由方程 xy+lny=1 确定的隐函数 x=x(y)的微分 dx_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 两边微分，得 即(xy+1)dy+y 2 dx=0， 所以 8.设 f(x)=x 2 +lnx，则
12、 f (n) (x)(n2)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 所以 9.设 f(x)在(0，+)上连续，且 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.无法求出解析：解析 两边对 x 求导得 f(x 2 )2x=2x，所以 f(x 2 )=1，从而 f(2015)=1，故选 B.10.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 11.设 （分数：2.00）A.-sinx B.sinxC.-1+cosxD.0解析：解析 12.曲线 （分数：2.00）A.x=0B.x=1C.x=2，x=0 D.x=
13、2解析：解析 因为 13.由方程 xy=lnxy 确定的隐函数 x(y)的导数 为_ A B Cxy D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 两边微分，得 即 ，所以 14. _ Ae 2x +e x +x+C B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 15.设 F(x)与 G(x)都是区间 I 上函数 f(x)的原函数，则_（分数：2.00）A.F(x)G(x)xIB.dF(x)=dG(x)+C，xIC.f(x)dx=F(x)D.F(b)-F(a)=G(b)-G(a)，a，bI 解析：解析 根据原函数的性质知，一个函数的两个原函数相差一个常数 C，即有 F(x)
14、=G(x)+C，xI，从而有 F(b)-F(a)=G(b)-G(a)，a，bI，故应选 D.16.若积分 （分数：2.00）A.k1 B.k1C.k=0D.k=e解析：解析 17.设 f(x)为连续函数，则 _ A0 B1 Cn D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 18.已知|a|=1，|b|=5，且 ab=3，则|ab|=_ A4 B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 所以 从而 19.向量 a=x，y，z与 x 轴垂直，则_（分数：2.00）A.x=0 B.y=0C.z=0D.z=y=0解析：解析 x 轴的方向量是 i=1，0，0，有 1x+0y+0z=
15、0，从而 x=0.故应选 A20.二元函数 z=x 2 -(y-1) 2 _（分数：2.00）A.有极小值B.有极大值C.无极值 D.可能有极值解析：解析 得驻点为(0，1)， 21.设 _ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 22._ （分数：2.00）A.2 B.3C.1D.不存在解析：解析 23.设函数 z=x 3 y+xy 3 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 24.设 _ Adx+dy B2xdx+2ydy C2dx+2dy D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 ，所以25.设 f(x，y)为连续函数，二次积分 交换
16、积分次序后为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 积分区域 又可表示为 所以交换次序后为 26.如果区域 D 被分成两个子区域 D 1 和 D 2 ，且 ，则 （分数：2.00）A.6 B.5C.4D.1解析：解析 27.若 都是发散，则下列表述正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题可通过举反例排除的方法说明. 例如 28.设级数 都收敛，则级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不确定解析：解析 因为29.微分方程 y“=e 2x-y 的通解为_ A.yex=C B.ey=e2x+C C.2e
17、y=e2x+C D.y=Cxe-x（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 y“=e 2x-y 得 e y dy=e 2x dx， 从而 30.设函数 y=f(x)是微分方程 y“-2y“+4y=0 的解，且 f(x 0 )0，f“(x 0 )=0，则 f(x)在点 x 0 处_（分数：2.00）A.有极大值 B.有极小值C.在某邻域内单调增加D.在某邻域内单调减少解析：解析 把函数代入方程有 f“(x)-2f“(x)+4f(x)=0， 取 x=x 0 得 f“(x 0 )-2f“(x 0 )+4f(x 0 )=0. 所以 f“(x 0 )=-4f(x 0 )0，从而 f(x)在 x
18、 0 处取极大值.故应选 A.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设函数 f(x)=4x+1，则 ff(x)-1= 1. （分数：2.00）解析：16x+1解析 f(f(x)-1)=f(4x+1-1)=f(4x)=44x+1=16x+1.32.已知 （分数：2.00）解析：解析 33.函数 f(x)=(x-1)(x+1) 3 的单调减少区间为 1. （分数：2.00）解析： 解析 f“(x)=(x+1) 3 +3(x+1) 2 (x-1)=(x+1) 2 (4x-2)， 令 f“(x)0 得 ，所以 f(x)的单调减少区间为 34.xf(x 2 )f“(x 2 )dx= 1 （分
19、数：2.00）解析：解析 35. （分数：2.00）解析： 解析 设 x=asint，则 dx=acostdt， 或根据定积分析几何意义可知 36.方程 （分数：2.00）解析：两条平行直线解析 37.若函数 z=z(x，y)由方程 e z -xyz=0 确定，则 （分数：2.00）解析： 解析 令 F(x，y，z)=e z -xyz， 则 F x =-yz，F z =e z -xy， 所以 38.设积分区域 D 为 x 2 +y 2 4x，则 （分数：2.00）解析：4 解析 由 x 2 +y 2 4x 得(x-2) 2 +y 2 4， 可知积分区域是以 2 为半径的圆域，由二重积分的性质及
20、几何意义可知其值为 4.39.幂级数 （分数：2.00）解析：-1，1 解析 因为收敛半径 当 x=1 时级数为 40.微分方程 y“-2y“+y=0 的通解为 1. （分数：2.00）解析：y=(C 1 +C 2 x)e x 解析 特征方程为 r 2 -2r+1=0， 解得特征根为 r 1 =r 2 -1，所以所求通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x .三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.设 y=f(lnx)e f(x) 其中，f 可微，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：43.求不定积分 （分数：5.00）_
21、正确答案：()解析：44.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.设 z=f(e x siny，ln(x+y)，其中，f(u，v)为可微函数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 u=e x siny，v=ln(x+y)，则 z=f(u，v)， 46.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：画出积分区域如图，选定先对 x 积分后对 y 积分的次序. D：y 2 xy+2，-1y2. 47.设 L 为三个顶点分别为(0，0)、(1，0)和(0，1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，求(xy 2 -y 3 )dx+(x 2 y-3xy 2 )dy. （分数：5.00）
22、_正确答案：()解析：设 P(x，y)=xy 2 -y 3 ，Q(x，y)=x 2 y-3xy 2 . ，由格林公式得 48.求过点(1，2，-5)且与直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：直线 的方向向量 由题设所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量 s 2 =s 1 =3，1，-5， 那么所求直线方程为 49.将函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：50.求微分方程(x 2 +1)y“+2xy-cosx=0 的通解. （分数：5.00）_正确答案：()解析：方程可化为 通解为 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.向宽为 a 米的河修建一宽为 b 米的运河，
23、二者直角相交，问能驶进运河的船，其最大长度为多少? （分数：7.00）_正确答案：()解析：如图可知船的长度不能超过 BC 的长度，设 BC 的长度为 l， 则 令 l“=0 得 所求船长为 l=acsc+bsec，其中 一曲线通过点(e 2 ，3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求：（分数：7.00）(1).该曲线的方程；（分数：3.50）_正确答案：()解析：设曲线方程为 y=f(x)，则有 (2).该曲线与 x 轴及直线 x=e 2 所围成的图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积.（分数：3.50）_正确答案：()解析：曲线与 x 轴交点为 ，即 y 为积分变量，则 y0，3， 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)52.证明： ，并计算 （分数：6.00）_正确答案：()解析：【证明】 令 x=-t，dx=-dt，当 x=0 时 t=， 当 x= 时 t=0， 又定积分与积分变量无关，即 整理得
