1、贵州省专升本考试高等数学模拟 7 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.0，2B.0，1)C.(0,1D.(-1，1)2.设函数 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则复合函数 fg(x)为_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数3.f(x)在(a，b)内连续，且 f(a+0)，f(b-0)都存在，则 f(x)在(a，b)内_（分数：2.00）A.无界B.有界C.有最大值D.有最小值4.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点5.设
2、当 x0 时，f(x)与 g(x)均为 x 的同阶无穷小量，则下列命题正确的是_ Af(x)+g(x)一定是 x 的高阶无穷小 Bf(x)-g(x)一定是 x 的高阶无穷小 Cf(x)g(x)一定是 x 的高阶无穷小 D （分数：2.00）A.B.C.D.6.方程 x 3 +3x+c=0(其中 c 为任意实数)在区间(0，1)内实根最多有_（分数：2.00）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个7.设 f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=1，则 _ A （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 y=ln(1+x)，则 y (n) _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.
3、9.曲线 y=x 4 -24x 2 +6x 的凸区间为_（分数：2.00）A.(-2，2)B.(-，0)C.(0，+)D.(-，+)10.设曲线 (t 为参数)，则 _ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.11.若点(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点，则_（分数：2.00）A.f“(x0)=0B.f“(x0)不存在C.f“(x0)=0 或 f“(x0)不存在D.f“(x0)=012.设函数 f(x)有连续的二阶导数，且 f“(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是函数的极小值B.f(0)是函数的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是
4、 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线的拐点13.若 f(x)在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(a，b)内_（分数：2.00）A.单调增加且是凸的B.单调增加且是凹的C.单调减少且是凸的D.单调减少且是凹的14.设 f(x)在(0，+)内连接，且 ，则 f(100)=_ A15 B1000 C1 D （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 ，则 I 的取值范围为_ A0I1 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.16. _ A B Cxlnx-x+C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.向量 a 与 x 轴，y 轴的夹角分别为 60
5、和 120，则向量 a 与 x 轴的夹角为_（分数：2.00）A.45B.135C.45或 135D.6018.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.点(2，3，-1)到平面 2x-3y+z-6=0 的距离为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.在空间直角坐标系中，方程 x 2 -4(y-1) 2 =1 表示_（分数：2.00）A.圆柱面B.双曲柱面C.椭圆柱面D.两个平面21.下列曲面中，旋转曲面的是_ A Bx 2 -y 2 =2 C D （分数：2.00）A.B.C.D.22.函数 的全微分 dz=_ A B C D （分数
6、：2.00）A.B.C.D.23. _ A0 B C （分数：2.00）A.B.C.D.24.二重积分 (其中 D：x 2 +y 2 1)等于_ A2 B0 C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 D 是由 y=x， 所围成的区域，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.26.若级数 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个27.下列级数中，发散的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.已知函数 f(x)满足 xf“(x)=f(x)，且 f(1)=e 2 ，则 f(-1)=_ A.e-2 B.-e2 C.e2 D.2（分数：
7、2.00）A.B.C.D.29.微分方程 xdy=ylnydx 的一解为_ A.y=lnx B.y=sinx C.y=ex D.ln2y=x（分数：2.00）A.B.C.D.30.微分方程(x-2y)y“=2x-y 的通解是_ A.x2+y2=C B.y+x=C C.y=x+1 D.x2-xy+y2=C（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 （分数：2.00）32.若函数 （分数：2.00）33.函数 （分数：2.00）34.设 f(lnx)=xln(1+x)，则f(x)dx= 1. （分数：2.00）35.若 f“(x)=1，且 f(0)=1，
8、则f(x)dx= 1. （分数：2.00）36.已知 a=-1，1，2，b=3，0，4，则 a 在 b 上的投影为 Prj b a= 1. （分数：2.00）37.设 （分数：2.00）38.设区域 D 为 x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）39.函数 （分数：2.00）40.以 y=e 2x ，y=xe 2x 为特解的二阶常系数线性齐次方程为 1. （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.讨论 （分数：5.00）_43.求 （分数：5.00）_44.求定积分 （分数：5.00）_45.设 z=f(e x-y ，ytanx
9、)，其中 f(u，v)是可微函数，求 dz. （分数：5.00）_46.求 （分数：5.00）_47.计算 L (x 2 -xy 3 )dx+(y 2 -2xy)dy，其中 L 是四个顶点分别为(0，0)，(2，0)，(2，2)和(0，2)的正方形区域的正向边界. （分数：5.00）_48.求过点(3，1，-2)及直线 （分数：5.00）_49.将函数 f(x)=lgx 展开成 x-1 的幂级数. （分数：5.00）_50.求微分方程 y“+ycosx=e -sinx 满足初始条件 y(0)=-1 的特解. （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.某公司有 50 套
10、公寓要出租，当月租金定为 2000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加 100 元时，就会多出一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费 200 元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少? （分数：7.00）_52.求曲抛物线 y=1-x 2 及其在点(1，0)处的切线和 y 轴所围成图形的面积，并计算该图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积. （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明：方程 （分数：6.00）_贵州省专升本考试高等数学模拟 7 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00
11、)1.函数 （分数：2.00）A.0，2B.0，1) C.(0,1D.(-1，1)解析：解析 对于 arcsin(1-x)，|1-x|1，0x2， 对于 2.设函数 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则复合函数 fg(x)为_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析：解析 3.f(x)在(a，b)内连续，且 f(a+0)，f(b-0)都存在，则 f(x)在(a，b)内_（分数：2.00）A.无界B.有界 C.有最大值D.有最小值解析：解析 令 4.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点 解析：解析 因为5.设当 x0
12、时，f(x)与 g(x)均为 x 的同阶无穷小量，则下列命题正确的是_ Af(x)+g(x)一定是 x 的高阶无穷小 Bf(x)-g(x)一定是 x 的高阶无穷小 Cf(x)g(x)一定是 x 的高阶无穷小 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 6.方程 x 3 +3x+c=0(其中 c 为任意实数)在区间(0，1)内实根最多有_（分数：2.00）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个 解析：解析 设 f(x)=x 3 +3x+c 由于 f“(x)=3x 3 +30 故 f(x)在(0，1)内单调递增，在区间(0，1)内f(x)与 x 轴最多有一个交点，即方程 x 3 +3x+
13、c=0 在(0，1)内最多有一个实根.7.设 f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=1，则 _ A （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 8.设 y=ln(1+x)，则 y (n) _ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 故应选 A.9.曲线 y=x 4 -24x 2 +6x 的凸区间为_（分数：2.00）A.(-2，2) B.(-，0)C.(0，+)D.(-，+)解析：解析 y“=4x 3 -48x+6，y“=12x 2 -48. 令 f“=12x 2 -480，得-2x2，故应选 A.10.设曲线 (t 为参数)，则 _ A B C （分数：2.
14、00）A. B.C.D.解析：解析 11.若点(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点，则_（分数：2.00）A.f“(x0)=0B.f“(x0)不存在C.f“(x0)=0 或 f“(x0)不存在 D.f“(x0)=0解析：解析 因为拐点存在于二阶导数为零或二阶导数不存在的点处.故应选 C.12.设函数 f(x)有连续的二阶导数，且 f“(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是函数的极小值 B.f(0)是函数的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线的拐点解析：解析 因为 f(x)具有连续的二阶导数，13.若
15、 f(x)在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(a，b)内_（分数：2.00）A.单调增加且是凸的 B.单调增加且是凹的C.单调减少且是凸的D.单调减少且是凹的解析：解析 根据函数的单调性与曲线的凹凸性判定可知，当 f(x)0 时，f(x)在(a，b)内单调增加，当 f“(x)0 时，曲线 f(x)在(a，b)内是凸的，故应选 A.14.设 f(x)在(0，+)内连接，且 ，则 f(100)=_ A15 B1000 C1 D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 所以 两边求导得 2xf(x 2 )=3x 2 ，即 15.设 ，则 I 的取值范围为_
16、 A0I1 B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 所以16. _ A B Cxlnx-x+C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 而 故原式 17.向量 a 与 x 轴，y 轴的夹角分别为 60和 120，则向量 a 与 x 轴的夹角为_（分数：2.00）A.45B.135C.45或 135 D.60解析：解析 因为 cos 2 +cos 2 +cos 2 =1，即 cos 2 60+cos 2 120+cos 2 )=1， 18.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据广义积分收敛的定义进行计算验
17、证， 只有 19.点(2，3，-1)到平面 2x-3y+z-6=0 的距离为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由点到平面的距离公式知20.在空间直角坐标系中，方程 x 2 -4(y-1) 2 =1 表示_（分数：2.00）A.圆柱面B.双曲柱面 C.椭圆柱面D.两个平面解析：解析 x 2 -4(y-1) 2 =1 表示母线平行于 z 轴的双曲柱面.应选 B.21.下列曲面中，旋转曲面的是_ A Bx 2 -y 2 =2 C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为只有选项 C 中有两个平方项的系数相等，根据旋转曲面方程的特点知22.函数 的全微
18、分 dz=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 ，所以 23. _ A0 B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 24.二重积分 (其中 D：x 2 +y 2 1)等于_ A2 B0 C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 根据二重积分的对称性及几何意义可知，25.设 D 是由 y=x， 所围成的区域，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 区域 D 为： ，0rR. 于是 26.若级数 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解析 由27.下列级数中，发散的是_ A
19、B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 选项 B 条件收敛，选项 C 和 D 均绝对收敛，只有选项 A 是发散.故应选 A.28.已知函数 f(x)满足 xf“(x)=f(x)，且 f(1)=e 2 ，则 f(-1)=_ A.e-2 B.-e2 C.e2 D.2（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由题设知 29.微分方程 xdy=ylnydx 的一解为_ A.y=lnx B.y=sinx C.y=ex D.ln2y=x（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 xdy=ylnydx 得 30.微分方程(x-2y)y“=2x-y 的通解是_ A.x2+y2
20、=C B.y+x=C C.y=x+1 D.x2-xy+y2=C（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 可以通过排除验证法确定 A、B、C 均为错误，而将选项 D 的两边对 x 求导后符合方程.故应选 D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 （分数：2.00）解析： 解析 因 所以 32.若函数 （分数：2.00）解析：6 解析 因为 由题设知 33.函数 （分数：2.00）解析：5 解析 f“(x)=4x 3 -4x，令 f“(x)=0 得 x=0，-1，1， 计算 f(0)=5，f(1)=4， 从而在 34.设 f(lnx)=xln(1+x)，则f(x)dx= 1.
21、 （分数：2.00）解析：(1+e x )ln(1+e x )-e x +C 解析 设 lnx=t，则 x=e t ，f(t)=e t ln(1+e t )， f(x)dx=e x ln(1+e x )dx=ln(1+e x )d(1+e x ) =(1+e x )ln(1+e x )-e x dx =(1+e x )ln(1+e x )-e x +C.35.若 f“(x)=1，且 f(0)=1，则f(x)dx= 1. （分数：2.00）解析：36.已知 a=-1，1，2，b=3，0，4，则 a 在 b 上的投影为 Prj b a= 1. （分数：2.00）解析：1 解析 a 在 b 上投影为
22、 而 37.设 （分数：2.00）解析：解析 38.设区域 D 为 x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）解析：0 解析 因为区域 D 是关于 y 轴对称的，而被积函数满足 f(-x，y)=-f(x，y). 根据二重积分的对称性可知 39.函数 （分数：2.00）解析：(-1) n (x-1) n ，x(0，2) 解析 40.以 y=e 2x ，y=xe 2x 为特解的二阶常系数线性齐次方程为 1. （分数：2.00）解析：y“-4y“+4y=0 解析 以 y=e 2x 与 y=xe 2x 为特解， 说明二阶常系数线性齐次方程有两个相等特征根 x 1 =r 2 =2， 由此可知特征方程为
23、 r 2 -4r+4=0，所以微分方程为 y“-4y“+4y=0.三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.讨论 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 则 所以 f(x)在 x=0 处是连续的. 又 43.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.求定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.设 z=f(e x-y ，ytanx)，其中 f(u，v)是可微函数，求 dz. （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 u=e x-y ，v=ytanx，则 z=f(u，v)， 故 dz=f u (u，v)du+
24、f v (u，v)dv =f u d(e x-y )+f v d(ytanx) =f u e x-y (dx-dy)+f v (ysec 2 xdx+tanxdy) =(e x-y f u +ysec 2 xf v )dx+(tanxf v -e x-y f u )dy.46.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：在极坐标系下47.计算 L (x 2 -xy 3 )dx+(y 2 -2xy)dy，其中 L 是四个顶点分别为(0，0)，(2，0)，(2，2)和(0，2)的正方形区域的正向边界. （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 P=x 2 -xy 3 ，Q=y 2 -2xy，
25、所以 48.求过点(3，1，-2)及直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由已知直线上的点(4，-3，0)在平面上， 故向量4-3，-3-1，0-(-2)=1，-4，2与平面平行， 平面的一个法向量为 49.将函数 f(x)=lgx 展开成 x-1 的幂级数. （分数：5.00）_正确答案：()解析： 因为 将上式中 x 换成 x-1，得 50.求微分方程 y“+ycosx=e -sinx 满足初始条件 y(0)=-1 的特解. （分数：5.00）_正确答案：()解析：微分方程的通解为 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.某公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 2000
26、 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加 100 元时，就会多出一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费 200 元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少? （分数：7.00）_正确答案：()解析：设每套公寓租金为 x，所得收入为 y， 则 ，令 y“=0 得 x=3600， 又因为 52.求曲抛物线 y=1-x 2 及其在点(1，0)处的切线和 y 轴所围成图形的面积，并计算该图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积. （分数：7.00）_正确答案：()解析：平面图形如图所示：因 y“=-2x，所以 k=-2， 从而经过点(1，0)的切线方程为 y=-2x+2. (1)所求平面图形的面积为 (2)该图形绕 y 转旋转一周所成旋转体的体积为 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明：方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：【证明】 令 则 在0，1上有意义. 即有 f(x)在0，1上连续，而 f(0)=-l0， 所以至少存在一个 (01)使 f()=0， 即方程 f(x)=0 在(0，1)内至少有一个实数根， 又 即 f(x)在(0，1)内单调增加. 故方程
