1、贵州省专升本考试高等数学模拟 1 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.(0，3)B.0，3)C.(0，3D.0，32.设 f(x)为奇函数，则 F(x)=f(x)(e x -e -x )为_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法确定3.当 x0 时， （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小4.x=0 是函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点5. （分数：2.00）A.B.C.D.6.设函数 f
2、(x)在 x 0 处可导，则 _ A2f“(x 0 ) B-2f“(x 0 ) C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.设函数 f(x)在点 x 0 处可导，且 （分数：2.00）A.-4B.4C.2D.-28.函数 y=f(x)由方程 xy+lnx=1 确定，则该曲线在点(1，1)处的切线方程为_（分数：2.00）A.y+2x-3=0B.y+2x+3=0C.2y+x-3=0D.2y+x+3=09.曲线 y=x 4 +4x 上切线平行于横轴的点是_（分数：2.00）A.(0，0)B.(0，2)C.(-1，-3)D.(1，5)10.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a
3、)=f(b)，则曲线 y=f(x)在(a，b)内平行于 x 轴的切线_（分数：2.00）A.仅有一条B.至少一条C.有两条D.不存在11. (t 为参数)，则 （分数：2.00）A.B.C.D.12.若 f(x)在点 x=a 的邻域内有定义，且 （分数：2.00）A.f(x)在点 a 的领域内单调增加B.f(x)在点 a 的领域内单调减少C.f(a)为函数 f(x)的极大值D.f(a)为函数 f(x)极小值13.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线14.极限 _ A1 B （分数：2.00）A.B.C.D.15.下列广
4、义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.16._ （分数：2.00）A.0B.-CD.217.设 f“(x)在1，2上可积，且 f(1)=1，f(2)=1， （分数：2.00）A.-1B.0C.1D.218.平面 x+ky-2z=9 与平面 2x+4y+3z=3 垂直，则 k=_ A1 B2 C D （分数：2.00）A.B.C.D.19._ （分数：2.00）A.0B.1C.2D.不存在20.旋转曲面 （分数：2.00）A.x 轴B.y 轴C.z 轴D.直线 x=y=z21.设函数 且函数 可导则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.22.设 ，
5、则下列各式中正确的是_ A （分数：2.00）A.B.C.D.23.设 （分数：2.00）A.B.C.D.24.设区域 D：x 2 +y 2 4a 2 ，若 ，则 a=_ A B3 C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 D=(x，y) |x|2，|y|1，则 （分数：2.00）A.8B.4C.2D.026.设 L 为从点 O(0，0)到点 A(1，0)再到 B(1，1)的折线，则 _ A1 B C （分数：2.00）A.B.C.D.27.设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：2.00）A.(-2，4)B.(-3，3)C.(-4，2)D.(-4，4)28.下列级数收敛的是_
6、 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.29.下列微分方程中的一阶线性方程的是_ A.y“=ex B.y“+x2y=cosx C.y“=xey D.yy“=x（分数：2.00）A.B.C.D.30.微分方程 ylnxdx=xlnydy 满足 y| x=1 =1 的特解是_ A.ln2x+ln2y=0 B.ln2x+ln2y=1 C.ln2x=ln2y D.ln2x=ln2y+1（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 （分数：2.00）32.若 （分数：2.00）33.函数 y=x-ln(x+1)的单调减少区间为 1 （分数：2.00）
7、34.已知 x-e x cosy=0，则 dy= 1 （分数：2.00）35.不定积分为 （分数：2.00）36.若 a=1，2，3，b=-1，0，1，以 a，b 为邻边的平行四边形面积为 1 （分数：2.00）37.设 f(x，y)=x 2 y+xy 2 ，则在点(1，-1)处的梯度为 1 （分数：2.00）38.设 D 是由直线 y=x， ，y=2 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）39.若数项级数 收敛，则 （分数：2.00）40.以 y=C 1 e -3x +C 2 xe -3x 为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为 1 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00
8、)41.用夹逼准则求极限 （分数：5.00）_42.已知 确定 y 是 x 的函数，求 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.计算 ，其中 （分数：5.00）_45.设 ，且 z=f(u，v)可微，求 （分数：5.00）_46.计算 ，其中 D 是由 （分数：5.00）_47.求过点(2，0，-1)且与直线 （分数：5.00）_48.求曲面 2x 2 +3y 2 -z 2 =10 在点(2，3，-5)处的切平面与法线方程 （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.求微分方程 y“+3y“+2y=3e -x 的通解 （分数：5.00）_四、应用题(总
9、题数：2，分数：14.00)51.将周长为 2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积最大? （分数：7.00）_52.求抛物线 y=4-x 2 与直线 y=3x 及 y 轴所围成第一象限内平面图形的面积，并求该图形绕 y 轴旋转一周得到旋转体的体积 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明：当 x1 时，不等式 （分数：6.00）_贵州省专升本考试高等数学模拟 1 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.(0，3) B.0，3)C
10、.(0，3D.0，3解析：解析 要使函数有意义，须满足2.设 f(x)为奇函数，则 F(x)=f(x)(e x -e -x )为_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数D.无法确定解析：解析 因为 F(-x)=f(-x)(e -x -e x )=f(x)(e x -e -x )=F(x).所以 F(x)为偶函数，故应选 B.3.当 x0 时， （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小 C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小解析：解析 因为 所以 4.x=0 是函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点 D.第二类间断点解析：解析 因为 ，所以 x=0 为
11、函数5. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 6.设函数 f(x)在 x 0 处可导，则 _ A2f“(x 0 ) B-2f“(x 0 ) C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为7.设函数 f(x)在点 x 0 处可导，且 （分数：2.00）A.-4B.4C.2D.-2 解析：解析 因为 8.函数 y=f(x)由方程 xy+lnx=1 确定，则该曲线在点(1，1)处的切线方程为_（分数：2.00）A.y+2x-3=0 B.y+2x+3=0C.2y+x-3=0D.2y+x+3=0解析：解析 由 xy+lnx=1 得 9.曲线 y=x 4 +4x 上切线平行于横轴
12、的点是_（分数：2.00）A.(0，0)B.(0，2)C.(-1，-3) D.(1，5)解析：解析 令 y“=4x 3 +4=0，得 x=-1，y=-3，故应选 C.10.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，则曲线 y=f(x)在(a，b)内平行于 x 轴的切线_（分数：2.00）A.仅有一条B.至少一条 C.有两条D.不存在解析：解析 由题设知，f(x)在a，b上满足罗尔定理的条件，由定理的几何意义知，平行于 x 轴的切线至少一条.故应选 B.11. (t 为参数)，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 12.若 f(x)在点 x=a 的邻域
13、内有定义，且 （分数：2.00）A.f(x)在点 a 的领域内单调增加B.f(x)在点 a 的领域内单调减少C.f(a)为函数 f(x)的极大值D.f(a)为函数 f(x)极小值 解析：解析 因为13.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线 D.既无水平又无垂直渐近线解析：解析 因为 ，所以 y=0 为水平渐近线，又因为14.极限 _ A1 B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 15.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由广义积分性质和结论可知16._ （分数：2.00）A.0 B
14、.-CD.2解析：解析 被积函数 是奇函数，积分区间 是关于原点对称的，所以17.设 f“(x)在1，2上可积，且 f(1)=1，f(2)=1， （分数：2.00）A.-1B.0C.1D.2 解析：解析 18.平面 x+ky-2z=9 与平面 2x+4y+3z=3 垂直，则 k=_ A1 B2 C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为两平面垂直，所以 n 1 n 2 ，则 12+k4-23=0，解得 k=1.故应选 A.19._ （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.不存在解析：解析 20.旋转曲面 （分数：2.00）A.x 轴B.y 轴C.z 轴 D.直线 x=y=z
15、解析：解析 因为方程中 x 2 与 y 2 项系数相等，所以是绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，故应选 C.21.设函数 且函数 可导则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 22.设 ，则下列各式中正确的是_ A （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 23.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 24.设区域 D：x 2 +y 2 4a 2 ，若 ，则 a=_ A B3 C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 根据二重积分的几何意义可知 表示的 2a 为半径的球体的体积的一半，即25.设 D=(x，y) |x|2，|y|1，则
16、（分数：2.00）A.8 B.4C.2D.0解析：解析 因为26.设 L 为从点 O(0，0)到点 A(1，0)再到 B(1，1)的折线，则 _ A1 B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 ，所以27.设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：2.00）A.(-2，4) B.(-3，3)C.(-4，2)D.(-4，4)解析：解析 因为幂级数28.下列级数收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 收敛，所以29.下列微分方程中的一阶线性方程的是_ A.y“=ex B.y“+x2y=cosx C.y“=xey D.yy“=x（分数：2.
17、00）A.B. C.D.解析：解析 选项 A 是二阶，选项 C 含 e y ，选项 D 含 yy“均不符合定义，只有选项 B 是一阶线性方程.故应选 B.30.微分方程 ylnxdx=xlnydy 满足 y| x=1 =1 的特解是_ A.ln2x+ln2y=0 B.ln2x+ln2y=1 C.ln2x=ln2y D.ln2x=ln2y+1（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 将 y| x=1 =1 代入验证，可排除 B 与 D，然后对 A 或 C 两边微分验证可排除 A，故应选 C.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 （分数：2.00）解析：1解析 32.若 （分
18、数：2.00）解析：2e 2t 解析 因为 33.函数 y=x-ln(x+1)的单调减少区间为 1 （分数：2.00）解析：(-1，0)解析 由34.已知 x-e x cosy=0，则 dy= 1 （分数：2.00）解析： 解析 对方程 x-e x cosy=0 两边同求微分得 dx-e x cosydx+e x (-siny)dy=0， dx-(e x cosydx-e x sinydy)=0， 35.不定积分为 （分数：2.00）解析：ln |x+sinx|+C解析 36.若 a=1，2，3，b=-1，0，1，以 a，b 为邻边的平行四边形面积为 1 （分数：2.00）解析： 解析 所以
19、37.设 f(x，y)=x 2 y+xy 2 ，则在点(1，-1)处的梯度为 1 （分数：2.00）解析：-1，-1 解析 因为 f x (x，y)=2xy+y 2 ，f y (x，y)=x 2 +2xy， f x (1，-1)=-1，f y (1，-1)=-1. 所以所求梯度为 gradf(1，-1)=-1，-1.38.设 D 是由直线 y=x， ，y=2 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）解析：2 解析 根据二重积分的几何意义知 39.若数项级数 收敛，则 （分数：2.00）解析：0解析 因为 收敛，所以40.以 y=C 1 e -3x +C 2 xe -3x 为通解的二阶常系数齐次线
20、性微分方程为 1 （分数：2.00）解析：y“+6y“+9y=0 解析 由 y=C 1 e -3x +C 2 xe -3x 为通解知，特征方程有二重特征根 r=-3，特征方程为(r+3) 2 =0，即 r 2 +pr+q=0，所以微分方程为 y“+6y“+9y=0.三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.用夹逼准则求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 所以 又因为 所以由夹逼准则知 42.已知 确定 y 是 x 的函数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：方程两边对 x 求导，得 整理，得 x+yy“=xy“-y， 从而 ，所以 43.求不定积分 （分数：5.
21、00）_正确答案：()解析：44.计算 ，其中 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.设 ，且 z=f(u，v)可微，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 u=xy， 46.计算 ，其中 D 是由 （分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示 由 解得交点为 A(1，1). 则区域 D 表示为 0y1， 所以 47.求过点(2，0，-1)且与直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由于所求直线与已知直线平行，所以可取已知直线的方向向量 s，作为它的方向向量，又 又因为所求直线过点(2，0，-1)，所以，所求直线的方程为 48.求曲面 2x 2 +3y 2 -
22、z 2 =10 在点(2，3，-5)处的切平面与法线方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 F(x，y，z)=2x 2 +3y 2 -z 2 -10 则有 得所求法向量为 n=24，9，5. 故所求切平面方程为 4(x-2)+9(y-3)+5(z+5)=0， 即 4x+9y+5z-10=0， 法线方程为 49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 x-3=t，则级数化为 ，它的收敛半径为 当 t=4 时，级数化为 是收敛的， 当 t=-4 时，级数化为 ，也是收敛的， 故 的收敛域为-4，4， 由-4x-34 得-1x7， 所求级数 50.求微分方程 y“+3y“+2
23、y=3e -x 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由 r 2 +3r+2=0 得 r 1 =-1，r 2 =-2， 故对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e -x +C 2 e -2x . 又 f(x)=3e -x ，=-1 为特征方程的单根. 可设方程的特解为 y * =axe -x ， 代入原方程得 a=3， 所以特解为 y * =3xe -x ， 故所求方程的通解为 y=C 1 e -x +C2e -2x +3xe -x .四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.将周长为 2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积最大? （分
24、数：7.00）_正确答案：()解析：设矩形的一边长为 x，则另一边长为 p-x， 设矩形绕长为 p-x 的一边旋转，则圆柱体的体积为 V=x 2 (p-x)，(0xp) V“=2x(p-x)-x 2 =x(2p-3x)=0， 解得驻点为 由于驻点唯一，且圆柱体一定存在最大体积，所以当矩形的边长为 和 52.求抛物线 y=4-x 2 与直线 y=3x 及 y 轴所围成第一象限内平面图形的面积，并求该图形绕 y 轴旋转一周得到旋转体的体积 （分数：7.00）_正确答案：()解析：平面图形如图所示， 由 得第一象限内的交点为 A(1，3)， 所求面积为 所求体积为 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明：当 x1 时，不等式 （分数：6.00）_正确答案：()解析：【证明】 构造函数 则 当 x1 时，f“(x)0，所以 f(x)在1，+)上单调增加. 又因为 f(1)=0所以当 x1 时 f(x)0 恒成立. 即
