1、贵州省专升本考试高等数学模拟 12 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.B.C.D.2.集合a，b，c的所有真子集个数为_（分数：2.00）A.0B.3C.7D.83.当 x0 + 时，与 等价的无穷小，是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.4.两个无穷小量 与 (且 、 均不为 0)之积 仍是无穷小，则 与 相比是_（分数：2.00）A.同阶无穷小B.高阶无穷小C.可能是高阶，也可能是同阶无穷小D.不确定5.点 x=0 是函数 的连续点，则 a=_ A1 B C-2 D （分数
2、：2.00）A.B.C.D.6.下列方程在区间(0，1)内至少有一实根的为_ A.sinx+x+1=0 B.x5-3x=1 C.x3-4x2+1=0 D.arctanx+x2+1=0（分数：2.00）A.B.C.D.7.设函数 f(x)在点 x=1 处可导，且 ，则 f“(1)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.8. A B-2x(1+x 6 ) C D （分数：2.00）A.B.C.D.9.下列函数在-1，1上满足罗尔定理条件的是_ A （分数：2.00）A.B.C.D.10.若函数 f(x)=(lnx) x (x1)，则 f“(x)=_ A.(lnx)x-1 B.(ln
3、x)x-1+(lnx)xln(lnx) C.(lnx)xln(lnx) D.x(lnx)x（分数：2.00）A.B.C.D.11.若函数 y=f(u)可导，u=e x ，则 dy=_ A.f“(ex)dx B.f“(ex)dex C.f“(x)exdx D.f(ex)“dex（分数：2.00）A.B.C.D.12.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线13.若 _ A B Cxlnx-x+C D （分数：2.00）A.B.C.D.14.若 df(x)-dg(x)，则下列结论成立的是 _（分数：2.00）A.f(x)=g(
4、x)B.f(x)dx=g(x)dxC.df(x)dx=dg(x)dxD.f(x)-g(x)=C15.若 f(x)为可导函数，f(x)0，且满足 ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.16.设函数 f(x)在区间a，b上连续，则 （分数：2.00）A.大于零B.小于零C.等于零D.不确定17.双曲线 绕 z 轴旋转所成曲面的方程为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.由曲线 y=sinx(0x)与 x 轴所围图形的面积为_ A0 B2 C （分数：2.00）A.B.C.D.19.设 z=x 2 ln(x 2 +y 2 )，则 _ A B C
5、D （分数：2.00）A.B.C.D.20.函数 （分数：2.00）A.可微点B.不可微点C.驻点D.间断点21.设 z=x y ，则 dz| (2，1) =_（分数：2.00）A.dx+dyB.dx+2ln2dyC.0D.3dx+ln2dy22.设 （分数：2.00）A.2B.1C.-1D.223.设 D 是由圆 x 2 +y 2 =1 和两坐标轴围成的第一象限内的闭区域，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.24.设 z=e xy +3ln(x+y)，则 dz| (1，2) =_ A.(e2+1)(dx+dy) B.(2e2+1)dx+(e2+1)dy C.e2dx D
6、.e2（分数：2.00）A.B.C.D.25.二重积分 交换积分次序后为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.26.若幂级数 的收敛半径为 R，则幂级数 的收敛区间为_ A B(-R，R) C （分数：2.00）A.B.C.D.27.若级数 在 x=0 处条件收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能判定敛散性28.设 y 1 ，y 2 是微分方程 y“+p(x)y“+q(x)y=0 的两个解，则 y=C 1 y 1 +C 2 y 2 (C 1 ，C 2 为任意常数)是_（分数：2.00）A.该方程通解B.该方程的解C.该方程的特解D.不一定是方程
7、的解29.求 y“+y=cosx 的特解时，应设 y * =_（分数：2.00）A.axcosxB.acosxC.acosx+bsinxD.x(acosx+bsinx)30.微分方程 xdy+ylnydx=0 的通解为_ Aye x =C Bye -x =x+C Cxlny=C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 （分数：2.00）32. （分数：2.00）33.如果函数 f(x)在 x 0 处可导，且 f(x 0 )为 f(x)的极大值，则 f“(x 0 )= 1. （分数：2.00）34.设 f(x)=arctanxlnx，则 f“
8、(x)= 1. （分数：2.00）35. （分数：2.00）36.函数 z=x 2 +y 2 在点 P(1，2)处沿从点 P(1，2)到点 （分数：2.00）37.设 z=xe xy ，则 （分数：2.00）38. （分数：2.00）39.若 (k0)，则正项级数 （分数：2.00）40.微分方程 xy“-3y=x 2 的通解为 1. （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.求函数 y=x(cosx) sinx 的导数 （分数：5.00）_43.求 （分数：5.00）_44.求定积分 （分数：5.00）_45.设 z=f(x 2 +
9、y 2 ，y)+(xy)，其中，f(u，v)和 (x)都可微，求全微分 dz. （分数：5.00）_46.求二重积分 （分数：5.00）_47.求过直线 （分数：5.00）_48.求函数 f(x，y)=4(x-y)-x 2 -y 2 的极值. （分数：5.00）_49.将函数 （分数：5.00）_50.求微分方程 xdy+2(y-lnx)dx=0 的通解. （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.设有 A、B 两个工厂位于同一条公路的同一侧，A，B 到公路的垂直距离分别为 1km 和 2km，两工厂到公路的两个垂足 C、D 之间的距离为 6km，现欲在公路旁建一货物
10、转运站(如图)，并从 A、B 两工厂各修一条大道通往转运站 M，问转运站 M 建于何处才能使大道的总长最短? （分数：7.00）_52.过曲线 y=x 2 (x0)上某点 A 作切线，若切线、曲线、x 轴围成的面积为 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明：当 x0 时，(x 2 -1)lnx(x-1) 2 . （分数：6.00）_贵州省专升本考试高等数学模拟 12 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 2.集合a，b，c的所有真子集个数为_（
11、分数：2.00）A.0B.3C.7 D.8解析：解析 由真子集的概念可以判断，真子集的个数为 2 3 -1=7 个，故应选 C.3.当 x0 + 时，与 等价的无穷小，是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 根据常见的等价无穷小量可知，选项 B 与 等价，而 A、C、D 与4.两个无穷小量 与 (且 、 均不为 0)之积 仍是无穷小，则 与 相比是_（分数：2.00）A.同阶无穷小B.高阶无穷小 C.可能是高阶，也可能是同阶无穷小D.不确定解析：解析 因为5.点 x=0 是函数 的连续点，则 a=_ A1 B C-2 D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：
12、解析 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 ，即 6.下列方程在区间(0，1)内至少有一实根的为_ A.sinx+x+1=0 B.x5-3x=1 C.x3-4x2+1=0 D.arctanx+x2+1=0（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 构造函数，利用零点定理推证： 对于 C，设 f(x)=x 3 -4x 2 +1，则 f(0)-1，f(1)=-2， 所以 f(x)=x 3 -4x 2 +1 在(0，1)内至少一个零点，故应选 C.7.设函数 f(x)在点 x=1 处可导，且 ，则 f“(1)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 8. A B-2
13、x(1+x 6 ) C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 9.下列函数在-1，1上满足罗尔定理条件的是_ A （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 选项 A 和 B 在 x=0 处不可导，而 D 选项在 x=-1 处无定义，只有 C 选项符合题意，故选 C.10.若函数 f(x)=(lnx) x (x1)，则 f“(x)=_ A.(lnx)x-1 B.(lnx)x-1+(lnx)xln(lnx) C.(lnx)xln(lnx) D.x(lnx)x（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 11.若函数 y=f(u)可导，u=e x ，则 dy=_ A.f“(ex
14、)dx B.f“(ex)dex C.f“(x)exdx D.f(ex)“dex（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 y=f(u)可导，所以 dy=df(u)=f“(u)du=f“(e x )de x .12.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线 C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线解析：解析 因为 13.若 _ A B Cxlnx-x+C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 14.若 df(x)-dg(x)，则下列结论成立的是 _（分数：2.00）A.f(x)=g(x)B.f(x)dx=g(x)dxC.df(x)dx=
15、dg(x)dxD.f(x)-g(x)=C 解析：解析 由 df(x)=dg(x)得 f(x)-g(x)=C.故应选 D.15.若 f(x)为可导函数，f(x)0，且满足 ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 对等式两边求导，得 2f(x)f“(x)=2xf(x)e x2 ， 从而 f“(x)=xe x2 ， 又因为 f(0)=1，即代入得 所以 16.设函数 f(x)在区间a，b上连续，则 （分数：2.00）A.大于零B.小于零C.等于零 D.不确定解析：解析 因为定积分的大小与积分变量用什么字母表示无关， 所以 17.双曲线 绕 z 轴旋转所成曲
16、面的方程为_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 绕 z 轴旋转得旋转面方程为18.由曲线 y=sinx(0x)与 x 轴所围图形的面积为_ A0 B2 C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 所求平面图形的面积为19.设 z=x 2 ln(x 2 +y 2 )，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 20.函数 （分数：2.00）A.可微点B.不可微点 C.驻点D.间断点解析：解析 因为 的极值点为(0，0)，而21.设 z=x y ，则 dz| (2，1) =_（分数：2.00）A.dx+dyB.dx+2ln2dy C
17、.0D.3dx+ln2dy解析：解析 22.设 （分数：2.00）A.2B.1 C.-1D.2解析：解析 因为 f(x，1)=x，所以 f x (x，1)=1.故应选 B.23.设 D 是由圆 x 2 +y 2 =1 和两坐标轴围成的第一象限内的闭区域，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 24.设 z=e xy +3ln(x+y)，则 dz| (1，2) =_ A.(e2+1)(dx+dy) B.(2e2+1)dx+(e2+1)dy C.e2dx D.e2（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 所以 25.二重积分 交换积分次序后为_ A B C D
18、 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 积分区域可表示为 26.若幂级数 的收敛半径为 R，则幂级数 的收敛区间为_ A B(-R，R) C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 的收敛半径为 R，所以 的收敛半径为 ，又因为收敛中心 x 0 =3，故收敛区间为 27.若级数 在 x=0 处条件收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.不能判定敛散性解析：解析 由已知条件知，收敛半径为 R=2.所以级数在(0，4)内绝对收敛，在(-，0)和(4，+)内发散，由此可知在 x=5 处发散，故选 C.28.设 y 1 ，y 2 是微分方程 y“+
19、p(x)y“+q(x)y=0 的两个解，则 y=C 1 y 1 +C 2 y 2 (C 1 ，C 2 为任意常数)是_（分数：2.00）A.该方程通解B.该方程的解 C.该方程的特解D.不一定是方程的解解析：解析 由二阶线性齐次微分方程的解结构知 y=C 1 y 1 +C 2 y 2 只能说是方程的解，不能保证为通解，故应选 B.29.求 y“+y=cosx 的特解时，应设 y * =_（分数：2.00）A.axcosxB.acosxC.acosx+bsinxD.x(acosx+bsinx) 解析：解析 y“+y=0 的特征根为 r=i，所以特解应设为 y=x(acosx+bsinx)，应选
20、D.30.微分方程 xdy+ylnydx=0 的通解为_ Aye x =C Bye -x =x+C Cxlny=C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 xdy+ylnydx 得二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 （分数：2.00）解析：(2，3解析 由|x-2|1，得 1x3，且 x2，故 x(2，3.32. （分数：2.00）解析：解析 33.如果函数 f(x)在 x 0 处可导，且 f(x 0 )为 f(x)的极大值，则 f“(x 0 )= 1. （分数：2.00）解析：0 解析 因为 f(x)在 x=x 0 处可导，且 f(x 0 )为函数的极大值
21、.所以 x 0 也一定是函数的驻点，即 f“(x 0 )=0.34.设 f(x)=arctanxlnx，则 f“(x)= 1. （分数：2.00）解析：解析 35. （分数：2.00）解析：解析 36.函数 z=x 2 +y 2 在点 P(1，2)处沿从点 P(1，2)到点 （分数：2.00）解析： 解析 所以 37.设 z=xe xy ，则 （分数：2.00）解析：(2x+x 2 y)e xy 解析 因为 所以 38. （分数：2.00）解析：0解析 根据二重积分的对称性可知39.若 (k0)，则正项级数 （分数：2.00）解析：发散解析 由正项级数比较判别法的极限形式知 具有相同的敛散性，
22、而调和级数 是发散的，所以40.微分方程 xy“-3y=x 2 的通解为 1. （分数：2.00）解析：y=Cx 3 -x 2 解析 方程化为 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.求函数 y=x(cosx) sinx 的导数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：y=x(cosx) sinx =xe sinxlncosx ， 则 43.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.求定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.设 z=f(x 2 +y 2 ，y)+(xy)，其中，f(u，v)和 (x)都可微，求
23、全微分 dz. （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 x 2 +y 2 =u，y=u，则 z=f(u，v)+(xy) dz=df(u，v)+d(xy) =f u du+f v dv+(xy)d(xy) =f u 2xdx+2ydy+f v dy+(xy)xdy+ydx =2xfu+y(xy)dx+2yf u +f v +x(xy)dy.46.求二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示 在极坐标系下表示为 所以 47.求过直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 s=2，1，3，n 1 =1，4，1， 由题设知 48.求函数 f(x，y)=4(x-y)-
24、x 2 -y 2 的极值. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解方程组 49.将函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 又 所以 50.求微分方程 xdy+2(y-lnx)dx=0 的通解. （分数：5.00）_正确答案：()解析：方程可化为 所求通解为 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.设有 A、B 两个工厂位于同一条公路的同一侧，A，B 到公路的垂直距离分别为 1km 和 2km，两工厂到公路的两个垂足 C、D 之间的距离为 6km，现欲在公路旁建一货物转运站(如图)，并从 A、B 两工厂各修一条大道通往转运站 M，问转运站 M 建于何处才能使大道的总长最短?
25、（分数：7.00）_正确答案：()解析：设转运站 M 距 C 为 x km，大道总长为 y km， 则 令 y“=0，解得 x=2 或 x=-6(舍去)， 根据实际问题的最小值存在，且只能在区间(0，6) 内部取得，所以 x=2 是最小值点. 故距离 C 两公里处建转运站 M，可使大道总长最短. 52.过曲线 y=x 2 (x0)上某点 A 作切线，若切线、曲线、x 轴围成的面积为 （分数：7.00）_正确答案：()解析：设 A 点坐标为 ，由 y“=2x 得切线方程为 即 由 所以 x 0 =1，切点 A(1，1). 切线方程为 2x-y-1=0，切线与 x 轴交点为 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明：当 x0 时，(x 2 -1)lnx(x-1) 2 . （分数：6.00）_正确答案：()解析：【证明】 设 f(x)=(x 2 -1)lnx-(x-1) 2 ，f(1)=0.
