1、线性代数自考题模拟 13 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：10.00)1.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是_（分数：2.00）A.1+2，2+3，3+1B.1，1+2，1+2+3C.1-2，2-3，3-1D.1+2，22+3，33+12.要使 1 =(1，0，1) T ， 2 =(-2，0，1) T 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.设向量组()： 1 =(a 11 ，a 21 ，a 31 ) T ， 2 =(a 12 ，a
2、22 ，a 32 ) T ， 3 =(a 13 ，a 23 ，a 33 ) T ，向量组()： 1 =(a 11 ，a 21 ，a 31 ，a 41 ) T ， 2 =(a 12 ，a 22 ，a 32 ，a 42 ) T ， 3 =(a 13 ，a 23 ，a 33 ，a 43 ) T ，则_ A()相关 ()相关 B()无关 ()无关 C()无关 ()无关 D()无关 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 1 ， 2 ， 3 是 Ax=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成_（分数：2.00）A.1，2，3 的一个等价向量组B.1，2，3 的一个等秩向量组C.1，1+2，1+
3、2+3D.1-2，2-3，3-15.设 ， 1 ， 2 线性相关， 2 ， 3 线性无关，则_（分数：2.00）A.1，2，3 线性相关B.1，2，3 线性无关C.1 可以用 ，2，3 线性表示D. 可以用 1，2，3 线性表示二、第二部分 非选择题(总题数：10，分数：20.00)6.在齐次线性方程组 A mn x=0 中，若秩(A)=k 且 1 ， 2 ， r 是它的一个基础解系，则 r= 1；当 k= 2 时，此方程组只有零解 （分数：2.00）7.设 1 =(2，-1，0，5)， 2 =(-4，-2，3，0)， 3 =(-1，0，1，k)， 4 =(-1，0，2，1)，则k= 1 时，
4、 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 （分数：2.00）8.若 n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 r，则当 1 时，方程组有唯一解；当 2 时，方程组有无穷多解 （分数：2.00）9.设 1 =(2，-1，3，0)， 2 =(1，2，0，-2)， 3 =(0，-5，3，4)， 4 =(-1，3，t，0)，则时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 （分数：2.00）10.齐次线性方程组 （分数：2.00）11.已知 =(3，5，7，9)，=(-1，5，2，0)，x 满足 2+3x=，则 x= 1 （分数：2.00）12.设 A 为 4 阶方阵，且秩(A)=2，则齐次线性方程组 A
5、* x=0(A * 是 A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为 1 （分数：2.00）13.当 k= 1 时，向量 =(1，k，5)能由向量 1 =(1，-3，2)， 2 =(2，-1，1)线性表出 （分数：2.00）14.设 （分数：2.00）15.已知 1 =(1，1，2，2，1)， 2 =(0，2，1，5，-1)， 3 =(2，0，3，-1，3)， 4 =(1，1，0，4，-1)，则秩 （分数：2.00）三、计算题(总题数：7，分数：63.00)求解下列线性方程组（分数：9.00）(1). （分数：4.50）_(2). （分数：4.50）_16.已知向量组 1 =(t，
6、2，1)， 2 =(2，t，0)， 3 =(1，-1，1)，试求出 t 为何值时向量 1 ， 2 ， 3 线性相关或线性无关 （分数：9.00）_17.求方程组 （分数：9.00）_18.设有三维列向量 （分数：9.00）_19.设有线性方程组 （分数：9.00）_设向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，向量组 2 ， 3 ， 4 线性无关（分数：9.00）(1). 1 能否由 2 ， 3 线性表示?证明你的结论（分数：4.50）_(2). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示?证明你的结论（分数：4.50）_20.A 为 mn 矩阵，秩为 m；B 为 n(n-m)矩阵，秩为 n-m；又知
7、 AB=O， 是满足条件 A=0 的一个 n 维列向量，证明：存在唯一个 n-m 维列向量 使得 =B （分数：9.00）_四、证明题(总题数：1，分数：7.00)21.已知 m 个向量 1 ， 2 ， m 线性相关，但其中任意 m-1 个都线性无关 证明： 如果存在等式 k 1 1 +k m m =0，则这些系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零 （分数：7.00）_线性代数自考题模拟 13 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：10.00)1.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是_（分数：2.00）
8、A.1+2，2+3，3+1B.1，1+2，1+2+3C.1-2，2-3，3-1 D.1+2，22+3，33+1解析：考点 向量组的线性相关性 解析 显然( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 1 )=02.要使 1 =(1，0，1) T ， 2 =(-2，0，1) T 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：考点 矩阵的秩 解析 1 ， 2 显然线性无关，故系数矩阵的秩至多为 3-2=1，只有 D 符合3.设向量组()： 1 =(a 11 ，a 21 ，a 31 ) T ， 2 =(a 12 ，a 22 ，a
9、 32 ) T ， 3 =(a 13 ，a 23 ，a 33 ) T ，向量组()： 1 =(a 11 ，a 21 ，a 31 ，a 41 ) T ， 2 =(a 12 ，a 22 ，a 32 ，a 42 ) T ， 3 =(a 13 ，a 23 ，a 33 ，a 43 ) T ，则_ A()相关 ()相关 B()无关 ()无关 C()无关 ()无关 D()无关 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：考点 向量组的线性相关性 解析 令 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，0，0) T ， 3 =(0，1，0) T ， 1 =(1，0，0，1) T ， 2 =(1，0，0，0) T ，
10、 3 =(0，1，0，0) T ，显然 1 ， 2 ， 3 线性相关，而 1 ， 2 ， 3 线性无关，排除 A，C同理可举例排除 D 也可证明 B 成立，()无关，故矩阵 A 43 =( 1 ， 2 ， 3 )有一个 3 阶主式不为零，故 A 的列向量组的秩也必为 3，故 1 ， 2 ， 3 线性无关4.设 1 ， 2 ， 3 是 Ax=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成_（分数：2.00）A.1，2，3 的一个等价向量组B.1，2，3 的一个等秩向量组C.1，1+2，1+2+3 D.1-2，2-3，3-1解析：考点 Ax=0 的基础解系 解析 A 错误，这是因为等价向量组所含
11、向量的个数不一定相同，如 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 也与 1 ， 2 ， 3 等价，但它不是基础解系B 也错误，等价自然等秩C 正确，一方面它与 1 ， 2 ， 3 等价，且另一方面个数也为 3D 错误， 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1 线性相关5.设 ， 1 ， 2 线性相关， 2 ， 3 线性无关，则_（分数：2.00）A.1，2，3 线性相关B.1，2，3 线性无关C.1 可以用 ，2，3 线性表示 D. 可以用 1，2，3 线性表示解析：考点 向量组的线性相关性 解析 ， 2 ， 3 线性无关，自然 ， 2 也线性无关， 1 ， 2 线性相关，故存在不全为零的数
12、k 1 ，k 2 ，k 3 使得 k 1 +k 2 1 +k 3 2 =0，又 ， 2 线性无关，故 k 2 0(否则 k 1 ，k 2 都为 0)，故 二、第二部分 非选择题(总题数：10，分数：20.00)6.在齐次线性方程组 A mn x=0 中，若秩(A)=k 且 1 ， 2 ， r 是它的一个基础解系，则 r= 1；当 k= 2 时，此方程组只有零解 （分数：2.00）解析：n-k，n 考点 齐次方程组解的结构 解析 方程组 A mn x=0 的未知量个数为 n，故 r=n-秩(A)=n-k 方程组只有零解，也即 r=0， 故当 k=n 时，方程组只有零解7.设 1 =(2，-1，0
13、，5)， 2 =(-4，-2，3，0)， 3 =(-1，0，1，k)， 4 =(-1，0，2，1)，则k= 1 时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 （分数：2.00）解析： 考点 行列式运算 解析 只需满足 解得 8.若 n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 r，则当 1 时，方程组有唯一解；当 2 时，方程组有无穷多解 （分数：2.00）解析：r=n，rn 考点 线性方程组解的结构 解析 当 r=n 时，方程组有唯一解；当 rn 时，方程组有无穷多解9.设 1 =(2，-1，3，0)， 2 =(1，2，0，-2)， 3 =(0，-5，3，4)， 4 =(-1，3，t，0)，则时，
14、 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 （分数：2.00）解析：tR 考点 行列式的性质及应用 解析 同上只需满足 又 10.齐次线性方程组 （分数：2.00）解析： 考点 方程组解的判定 解析 方程组只有零解，说明系数矩阵满秩 即 解得 11.已知 =(3，5，7，9)，=(-1，5，2，0)，x 满足 2+3x=，则 x= 1 （分数：2.00）解析： 考点 向量的运算 解析 12.设 A 为 4 阶方阵，且秩(A)=2，则齐次线性方程组 A * x=0(A * 是 A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为 1 （分数：2.00）解析：4 考点 线性方程组解的结构 解析 秩
15、(A)=2，则秩(A * )=0，即 A * =O 故任意 4 维向量都是 A * x=0 的解， 即它的基础解系所包含的线性无关的解向量的个数为 413.当 k= 1 时，向量 =(1，k，5)能由向量 1 =(1，-3，2)， 2 =(2，-1，1)线性表出 （分数：2.00）解析：-8 考点 向量组的线性相关 解析 1 ， 2 线性无关，故只需 14.设 （分数：2.00）解析：x=k(1，1，1) T 考点 求线性方程组的通解 解析 15.已知 1 =(1，1，2，2，1)， 2 =(0，2，1，5，-1)， 3 =(2，0，3，-1，3)， 4 =(1，1，0，4，-1)，则秩 （分
16、数：2.00）解析：3 考点 求矩阵的秩 解析 三、计算题(总题数：7，分数：63.00)求解下列线性方程组（分数：9.00）(1). （分数：4.50）_正确答案：()解析：系数矩阵 取 x 3 ，x 4 ，x 5 为自由未知量，得 三个线性无关的解向量 (2). （分数：4.50）_正确答案：()解析：增广矩阵 16.已知向量组 1 =(t，2，1)， 2 =(2，t，0)， 3 =(1，-1，1)，试求出 t 为何值时向量 1 ， 2 ， 3 线性相关或线性无关 （分数：9.00）_正确答案：()解析：17.求方程组 （分数：9.00）_正确答案：()解析： 取 x 3 ，x 4 为自由
17、未知量，并令 x 3 =x 4 =0，得特解 =(1，-2，0，0) T ，另可得对应齐次性线性方程组的基础解系为 1 =(-9，1，7，0) T ， 2 =(1，-1，0，2) T 故原方程组的解即为 x=+k 1 1 +k 2 2 ，k 1 ，k 2 任取 又增广矩阵 18.设有三维列向量 （分数：9.00）_正确答案：()解析：设 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =，则系数行列式 故当 k0，k1 时，上述方程有唯一解 故 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示 增广矩阵 故当 k=1 时，秩(A)=秩( )，此时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示且表示法不唯一 当 k=0
18、时，由有秩(A)秩( 19.设有线性方程组 （分数：9.00）_正确答案：()解析：系数矩阵的行列式为 故当 m-1 时，方程组有唯一解 又增广矩阵 秩( )=秩(A)=23 得 k=1 即当 m=-1，k=-1 时方程有无穷多解取 x 3 为自由未知量，并令 x 3 =0，得特解 基础解为 =(1，0，1) T 则一般解为 设向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，向量组 2 ， 3 ， 4 线性无关（分数：9.00）(1). 1 能否由 2 ， 3 线性表示?证明你的结论（分数：4.50）_正确答案：()解析：能 证明： 2 ， 3 ， 4 线性无关，故 2 ， 3 也线性无关 又 1 ，
19、2 ， 3 线性相关，故存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0 且 k 1 0(否则 k 2 =k 3 =0) 故 (2). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示?证明你的结论（分数：4.50）_正确答案：()解析：不能 证明：假设 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，于是向量组 1 ， 2 ， 3 与 1 ， 2 ， 3 ， 4 等价，得秩( 1 ， 2 ， 3 )=秩( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=秩( 2 ， 3 ， 4 )=3，得 1 ， 2 ， 3 线性无关，矛盾，故 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示 考
20、点 线性相关20.A 为 mn 矩阵，秩为 m；B 为 n(n-m)矩阵，秩为 n-m；又知 AB=O， 是满足条件 A=0 的一个 n 维列向量，证明：存在唯一个 n-m 维列向量 使得 =B （分数：9.00）_正确答案：()解析：证明：B 为 n(n-m)矩阵，且秩为 n-m，故方程 Bx=0 只有零解，先假设 Bx= 有解， 假设 Bx= 有两个不同解 1 ， 2 ，则有 B 1 =，B 2 =，故 B( 1 - 2 )=0 得 1 = 2 故 Bx= 在有解的情形只有唯一解 下证 Bx= 有解：由 AB=O，A 的秩为 m，可知 Ax=0 的基础解系含 n-m 个解向量，而 B 的秩
21、为 n-m，这表示B 的 n-m 个列向量即构成 Ax=0 的基础解系，设 B 的这 n-m 个列向量分别为 1 ， 2 ， n-m ，又 A=0 故可将 表示成 =k 1 1 +k n-m n-m ，令 =(k 1 ，k 2 ，k n-m ) T 即 B=( 1 ， 2 ， n-m ) 四、证明题(总题数：1，分数：7.00)21.已知 m 个向量 1 ， 2 ， m 线性相关，但其中任意 m-1 个都线性无关 证明： 如果存在等式 k 1 1 +k m m =0，则这些系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零 （分数：7.00）_正确答案：()解析：证明：假设 k 1 ，k m 中有一个为零，不妨设为 k 1 ， 则有 k 2 2 +k m m =0，而 2 ， 3 ， m 线性无关， 得 k 2 =k m =0=k 1 ，矛盾，故 k 1 ，k 2 ，k m 或者全为零，或者全不为零 考点 线性相关
