1、线性代数自考题模拟 12 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：10.00)1.设|A|=|a ij |为 n 阶行列式，则 a 12 a 23 a 34 a n-1，n a n，1 在行列式中符号为_ A.正 B.负 C.(-1)n D.(-1)n-1（分数：2.00）A.B.C.D.2.设 n 维向量 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次矩阵的初等变换后所得的矩阵，则有_（分数：2.00）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0D.若|A|0，则一定有|B|0
2、4.设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A * 是矩阵 A 的伴随矩阵，则_ A.(A*)*=|A|n-1A B.(A*)*=|A|n+1A C.(A*)*=|A|n-2A D.(A*)*=|A|n+2A（分数：2.00）A.B.C.D.5.设 3 阶矩阵 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.4二、第二部分 非选择题(总题数：10，分数：20.00)6.设 1 ， 2 ， 3 ， 均为 4 维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ，)，B=( 1 ， 2 ， 3 ，)，且|A|=2，|B|=3，则|A-3B|= 1 （分数：2.00）7.设 a，b 为实数，则当 a= 1，且 b= 2 时，
3、 （分数：2.00）8.若对任意的 n1 矩阵 x，均有 Ax=0，则 A= 1 （分数：2.00）9.在 n 阶行列式 D=|a ij |中，当 ij 时，a ij =0(i，j=1，2，n)，则 D= 1 （分数：2.00）10.设 A 为 n 阶矩阵，则存在两个不相等的 n 阶矩阵 B，C，使 AB=AC 的充要条件为 Ax=0 有非零解，则|A|= 1 （分数：2.00）11.设 A 为 44 矩阵，B 为 55 矩阵，且|A|=2，|B|=-2，则|-|A|B|= 1，|-|B|A|= 2 （分数：2.00）12.设 （分数：2.00）13.设 A 为 33 矩阵，|A|=-2，把
4、A 按行分块为 其中 A j (j=1，2，3)是 A 的第 j 行，则行列式 （分数：2.00）14.设 n 阶方阵 A 满足 A 2 -A-2E n =O，则 A -1 = 1，(A-E n ) -1 = 2，(A+2E n ) -1 = 3 （分数：2.00）15.设 A，B 均为 n 阶矩阵，|A|=2，|B|=-3，则|2A * B -1 |= 1 （分数：2.00）三、计算题(总题数：7，分数：63.00)设 （分数：9.00）(1).AB-BA；（分数：3.00）_(2).A 2 -B 2 ；（分数：3.00）_(3).B T A T （分数：3.00）_16.设 （分数：9.0
5、0）_17.已知三阶矩阵 A 满足 A i =i i (i=1，2，3)， 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，试求矩阵 A （分数：9.00）_18.计算元素为 a ij =|i-j|的 n 阶行列式 （分数：9.00）_19.设 B 为可逆矩阵，A 是与 B 同阶的方阵，且满足 A 2 +AB+B 2 =O，证明：A 和 A+B 都是可逆矩阵 （分数：9.00）_20.设 A，B 是 n 阶方阵，已知|B|0，A-E 可逆，且(A-E) -1 =(B-E) T ，求证：A 可逆 （分数：9.00）_21.设 A，B，A+B 为 n
6、阶正交矩阵，试证：(A+B) -1 =A -1 +B -1 （分数：9.00）_四、证明题(总题数：1，分数：7.00)22.设 A，B 为 n 阶方阵，试证明： （分数：7.00）_线性代数自考题模拟 12 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：10.00)1.设|A|=|a ij |为 n 阶行列式，则 a 12 a 23 a 34 a n-1，n a n，1 在行列式中符号为_ A.正 B.负 C.(-1)n D.(-1)n-1（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：考点 逆序数 解析 (2 3 4n 1)=n-1，故符号为(-1)
7、 n-1 故选 D2.设 n 维向量 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵运算 解析 AB=(E- T )(E+2 T ) =E+ T -2 T T =E+ T -2 T ( T ) =E+ T -2 3.设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次矩阵的初等变换后所得的矩阵，则有_（分数：2.00）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0 D.若|A|0，则一定有|B|0解析：考点 初等变换的性质 解析 设 B=PAQ，其中 P，Q 为可逆矩阵， 于是当|A|=0 时，|B|=|PAQ|=|P|A|Q|=0 故选 C4.设 n 阶矩阵 A 非奇异
8、(n2)，A * 是矩阵 A 的伴随矩阵，则_ A.(A*)*=|A|n-1A B.(A*)*=|A|n+1A C.(A*)*=|A|n-2A D.(A*)*=|A|n+2A（分数：2.00）A.B.C. D.解析：考点 伴随矩阵的性质及运算 解析 AA * =|A|E 两边取行列式，得 |A|A * |=|A| n |E|，又|A|0，得|A * |=|A| n-1 又(A * ) * A * =|A * |E=|A| n-1 E，故 5.设 3 阶矩阵 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：考点 行列式的计算 解析 二、第二部分 非选择题(总题数：10，分数：20.00)6.设
9、 1 ， 2 ， 3 ， 均为 4 维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ，)，B=( 1 ， 2 ， 3 ，)，且|A|=2，|B|=3，则|A-3B|= 1 （分数：2.00）解析：56 考点 行列式基本运算 解析 |A-3B|=|(-2 1 ，-2 2 ，-2 3 ，-3)| 7.设 a，b 为实数，则当 a= 1，且 b= 2 时， （分数：2.00）解析：0，0 考点 行列式的展开 解析 将行列式按最后一列展开，得 8.若对任意的 n1 矩阵 x，均有 Ax=0，则 A= 1 （分数：2.00）解析：O 考点 齐次线性方程组具有非零解的相关定理 解析 设 A=(a ij ) mn ，
10、令 则有 9.在 n 阶行列式 D=|a ij |中，当 ij 时，a ij =0(i，j=1，2，n)，则 D= 1 （分数：2.00）解析：a 11 a 22 a nn 考点 三角形的行列式 解析 该行列式为下三角形，故 D=a 11 a 22 a nn 10.设 A 为 n 阶矩阵，则存在两个不相等的 n 阶矩阵 B，C，使 AB=AC 的充要条件为 Ax=0 有非零解，则|A|= 1 （分数：2.00）解析：0 考点 齐次线性方程组具有非零解的相关定理 解析 考虑 Ax=0 有非零解，即|A|=0 设其一个解为 x * ，则 2x * 同样是它的一个解，构造 B，C，令 x * 与 2
11、x * 分别为 B 与 C 的一个列向量，其余元素都取 0，于是有 AB=AC=0，但 BC 故所求答案即为|A|=011.设 A 为 44 矩阵，B 为 55 矩阵，且|A|=2，|B|=-2，则|-|A|B|= 1，|-|B|A|= 2 （分数：2.00）解析：64，32 考点 行列式的运算 解析 |-|A|B|=|-2B|=(-2) 5 |B|=(-2) 6 =2 6 =64|-|B|A|=|2A|=2 4 |A|=2 5 =3212.设 （分数：2.00）解析： 考点 矩阵的运算 解析 因 A 2 -9E=(A+3E)(A-3E)， 故原式 13.设 A 为 33 矩阵，|A|=-2，
12、把 A 按行分块为 其中 A j (j=1，2，3)是 A 的第 j 行，则行列式 （分数：2.00）解析：6 考点 行列式的性质及运算 解析 14.设 n 阶方阵 A 满足 A 2 -A-2E n =O，则 A -1 = 1，(A-E n ) -1 = 2，(A+2E n ) -1 = 3 （分数：2.00）解析： 考点 矩阵的逆 解析 由 A(A-E n )=2E n ， 得 故 又 A+2E n =A 2 ， 得 15.设 A，B 均为 n 阶矩阵，|A|=2，|B|=-3，则|2A * B -1 |= 1 （分数：2.00）解析： 考点 矩阵的逆 解析 AA * =|A|E，即|A|A
13、 * |=|A| n |E|=2 n 得|A * |=2 n-1 而 BB -1 =E，得 所以|2A * B -1 |=2 n |A * |B -1 |= 三、计算题(总题数：7，分数：63.00)设 （分数：9.00）(1).AB-BA；（分数：3.00）_正确答案：()解析：(2).A 2 -B 2 ；（分数：3.00）_正确答案：()解析：(3).B T A T （分数：3.00）_正确答案：()解析：考点 矩阵的运算16.设 （分数：9.00）_正确答案：()解析：考点 代数余子式的运算17.已知三阶矩阵 A 满足 A i =i i (i=1，2，3)， 1 =(1，2，2) T ，
14、 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，试求矩阵 A （分数：9.00）_正确答案：()解析：A( 1 ， 2 ， 3 )=(A 1 ，A 2 ，A 3 )=( 1 ，2 2 ，3 3 )，其中 1 ， 2 ， 3 分别为 A 的特征值 1，2，3 的特征向量，故线性无关，于是( 1 ， 2 ， 3 )可逆， 得 A=( 1 ，2 2 ，3 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) -1 18.计算元素为 a ij =|i-j|的 n 阶行列式 （分数：9.00）_正确答案：()解析：考点 行列式的计算19.设 B 为可逆矩阵，A 是与 B 同阶的方阵，且满足 A 2 +AB
15、+B 2 =O，证明：A 和 A+B 都是可逆矩阵 （分数：9.00）_正确答案：()解析：证明：由 A 2 +AB+B 2 =O 20.设 A，B 是 n 阶方阵，已知|B|0，A-E 可逆，且(A-E) -1 =(B-E) T ，求证：A 可逆 （分数：9.00）_正确答案：()解析：证明：由(A-E) -1 =(B-E) T (A-E)(B T -E)=E 21.设 A，B，A+B 为 n 阶正交矩阵，试证：(A+B) -1 =A -1 +B -1 （分数：9.00）_正确答案：()解析：证明：A+B 为正交矩阵，故(A+B) -1 =(A+B) T =A T +B T ，而 A，B 也为正交矩阵，即 A T =A -1 ，B T =B -1 故(A+B) -1 =A -1 +B -1 考点 正交矩阵四、证明题(总题数：1，分数：7.00)22.设 A，B 为 n 阶方阵，试证明： （分数：7.00）_正确答案：()解析：证明：由于 两边取行列式得
