1、线性代数自考题模拟 11 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.与二阶方阵 可交换的全部方阵为_ A c、d 任取 B c、d 任取 C c、d 任取 D （分数：2.00）A.B.C.D.2.设 A，B，C 均为 n 阶方阵，AB=BA，AC=CA，则 ABC=_（分数：2.00）A.ACBB.CABC.CBAD.BCA3.mn 是 m 个方程 n 个未知数的齐次线性方程组有非零解的_条件（分数：2.00）A.充分B.必要C.充分必要D.必要而不充分的4.设 A 为 mn 矩阵
2、，mn，则齐次线性方程组 Ax=0，只在零解的充分必要条件是 A 的秩_（分数：2.00）A.小于 mB.等于 mC.小于 nD.等于 n5.设 A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为_ A.AT B.A2 C.A-1 D.A*（分数：2.00）A.B.C.D.三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.行列式 （分数：2.00）7.设矩阵 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 )，B=(b 1 ，b 2 ，b 3 )并且 （分数：2.00）8.设 （分数：2.00）9.设向量 （分数：2.00）10.设 A 为 n 阶矩阵，B 为
3、 n 阶非零矩阵，若 B 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则|A|= 1 （分数：2.00）11.若线性方程组 （分数：2.00）12.实对称矩阵 A 满足 A 3 +A 2 +A=3I，则 A= 1 （分数：2.00）13.设矩阵 （分数：2.00）14.设二次型 （分数：2.00）15.若二次型 f(x)=x T Ax 中 A 的特征值为 （分数：2.00）五、计算题(总题数：7，分数：63.00)16.设 （分数：9.00）_17.设向量组 1 =(2，1，3，1) T ， 2 =(1，2，0，1) T ， 3 =(-1，1，-3，0) T ， 4 =(1，1，1，1)
4、 T ，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量 （分数：9.00）_18.已知 是 R 3 的一组基，求向量 （分数：9.00）_19.已知 （分数：9.00）_设方程 A 有特征值 1 =2， 2 =-1，又 和 是 A 属于 1 =2 和 2 =-1 的特征向量，向量 （分数：9.00）(1).将 表示成 1 ， 2 的线性组合（分数：4.50）_(2).求 A（分数：4.50）_20.设矩阵 的三个特征值分别为 1，2，5，求正常数 a 的值，及可逆矩阵 P，使 （分数：9.00）_在 Q(x，y，z)=(x 2 +y 2 +z 2 )+2xy+2x
5、z-2yz 中，问：（分数：9.00）(1). 取什么值时，Q 为正定的?（分数：3.00）_(2). 取什么值时，Q 为负定的?（分数：3.00）_(3).当 =2 和 =-1 时，Q 为什么类型?（分数：3.00）_六、证明题(总题数：1，分数：7.00)21.设向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，而向量 不能由 1 ， 2 ， s 线性表示，证明： 1 ， 2 ， s ， 线性无关 （分数：7.00）_线性代数自考题模拟 11 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.与二阶方
6、阵 可交换的全部方阵为_ A c、d 任取 B c、d 任取 C c、d 任取 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由于矩阵乘法无交换律，故不是所有的方阵都满足已知要求设所求方阵2.设 A，B，C 均为 n 阶方阵，AB=BA，AC=CA，则 ABC=_（分数：2.00）A.ACBB.CABC.CBAD.BCA 解析：解析 根据可逆矩阵的定义，可知，A 与 B 可逆，同理 A 与 C 可逆，所以 B 与 C 的位置不可以交换，只能选 D答案为 D3.mn 是 m 个方程 n 个未知数的齐次线性方程组有非零解的_条件（分数：2.00）A.充分 B.必要C.充分必要D.必要而不充分
7、的解析：解析 n 元线性齐次方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵 A 的秩小于 n因为 m 个程 n 个未知数的齐次线性方程组的系数矩阵 A 是 m 行 n 列矩阵，矩阵 A 的秩 r(A)minm，n，若 mn，则 r(A)n，从而方程组有非零解；但反之，若方程组有非零解，m 不一定小于 n如方程组4.设 A 为 mn 矩阵，mn，则齐次线性方程组 Ax=0，只在零解的充分必要条件是 A 的秩_（分数：2.00）A.小于 mB.等于 mC.小于 nD.等于 n 解析：解析 根据齐次方程组只有需解的推论：若 A 是 mn 矩阵 (1)Ax=0 只有零解 r(A)=n (2)Ax=0
8、有非零解 5.设 A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为_ A.AT B.A2 C.A-1 D.A*（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 根据定理：n 阶矩阵 A 和转置矩阵 A T 必有相同的特征值答案为 A三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.行列式 （分数：2.00）解析：-2解析 7.设矩阵 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 )，B=(b 1 ，b 2 ，b 3 )并且 （分数：2.00）解析：(2) 11 解析 由 AB T =(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) 11 ，而 8.设
9、 （分数：2.00）解析：a=-3 解析 此题考查利用矩阵的初等变换求矩阵的秩，就是利用初等变换将 A 化为阶梯形矩阵，然后由阶梯阵的秩确定 A 的秩 9.设向量 （分数：2.00）解析：解析 10.设 A 为 n 阶矩阵，B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则|A|= 1 （分数：2.00）解析：0解析 根据题意即 Ax=0 有非零解11.若线性方程组 （分数：2.00）解析：2解析 对增广矩阵作初等行变换，有12.实对称矩阵 A 满足 A 3 +A 2 +A=3I，则 A= 1 （分数：2.00）解析：I 解析 设矩阵 A 的特征值为 ，则有
10、3 + 2 +=3，即(-1)( 2 +2+3)=0由于实对称矩阵的特征值是实数，故 2 +2+3=(+1) 2 +20，由此可得 A 只有惟一的三重特征值 1，即存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=I，于是有 A=PIP -1 =I13.设矩阵 （分数：2.00）解析：-2解析 根据题意，(-2)(-2)x=41(-2)14.设二次型 （分数：2.00）解析：3 解析 ，已知 r(A)=3 故 15.若二次型 f(x)=x T Ax 中 A 的特征值为 （分数：2.00）解析： 解析 因为二次型 f(x)=x T Ax 中 A 的特征值为 1， ，故 f(x)的标准形为 ，规范形为 五、
11、计算题(总题数：7，分数：63.00)16.设 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解：由 AB=A+2B 可得(A-2E)B=A，故 17.设向量组 1 =(2，1，3，1) T ， 2 =(1，2，0，1) T ， 3 =(-1，1，-3，0) T ， 4 =(1，1，1，1) T ，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解：由于 18.已知 是 R 3 的一组基，求向量 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解：以 1 ， 2 ， 3 ， 为列向量的矩阵作初等行变换，有 所以 ，所以 在基 1 ， 2
12、， 3 下的坐标为 19.已知 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解： = 2 -a 2 -b 2 = 2 -1=0 所以 A 的特征值为 1 =1， 2 =-1 标准形为 设方程 A 有特征值 1 =2， 2 =-1，又 和 是 A 属于 1 =2 和 2 =-1 的特征向量，向量 （分数：9.00）(1).将 表示成 1 ， 2 的线性组合（分数：4.50）_正确答案：()解析：解：以 1 ， 2 ， 为列向量的矩阵作初等行变换，有 (2).求 A（分数：4.50）_正确答案：()解析：解：20.设矩阵 的三个特征值分别为 1，2，5，求正常数 a 的值，及可逆矩阵 P，使 （分数：
13、9.00）_正确答案：()解析：解：由|A|=2(9-a 2 )=125，得 a=2 解方程组(E-A)x=0 得基础解系 1 =(0，-1，1) T ； 解方程组(2E-A)x=0 得基础解系 2 =(1，0，0) T ； 解方程组(5E-A)x=0 得基础解系 3 =(0，1，1) T ； 所求的可逆矩阵 P 可取为 ，则有 在 Q(x，y，z)=(x 2 +y 2 +z 2 )+2xy+2xz-2yz 中，问：（分数：9.00）(1). 取什么值时，Q 为正定的?（分数：3.00）_正确答案：()解析：解：用 Q 正定 它的矩阵的各阶顺序主子式皆为正数 因 (2). 取什么值时，Q 为负
14、定的?（分数：3.00）_正确答案：()解析：解：Q 负定 D 1 0，D 2 0，D 3 0，即 0， 2 1，2 (3).当 =2 和 =-1 时，Q 为什么类型?（分数：3.00）_正确答案：()解析：解：当 =2 时，A 的所有主子式均为正数或 0，所以 Q 是半正定的(因 a 11 =a 22 =a 33 =20，detA=0，二阶主子式有 3 个值均为 3)或用配方法 六、证明题(总题数：1，分数：7.00)21.设向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，而向量 不能由 1 ， 2 ， s 线性表示，证明： 1 ， 2 ， s ， 线性无关 （分数：7.00）_正确答案：()解析：证明 用反证法，假设 1 ， 2 ， s ， 线性相关，则存在不全为 0 的常数 k 1 ，k 2 ，k s ，k s+1 使得 k 1 1 +k s s +k s+1 =0 此处一定有 k s+1 0，如不然，将与 1 ， 2 ， s 线性无关矛盾，所以
