1、线性代数自考题分类模拟 16及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：6，分数：40.00)1.设向量组 （分数：5.00）_2.用初等变换法将下列二次型化为标准型并求正、负惯性指数： （分数：5.00）_3.设二次型 经过正交变换 x=Py化成 （分数：5.00）_4.用正交变换将二次型 （分数：5.00）_5.二次型 （分数：5.00）_在 Q(x，y，z)=(x 2 +y 2 +z 2 )+2xy+2xz-2yz中，问：（分数：15.00）(1). 取什么值时，Q 为正定的?（分数：5.00）_(2). 取什么值时，Q 为负定的?（分数：5.00）_(3)
2、.当 =2 和 =-1 时，Q 为什么类型?（分数：5.00）_二、证明题(总题数：12，分数：60.00)6.若实对称阵 A的秩为 r，符号差为 s，求证：|s|r （分数：5.00）_7.设设 A为任意 mn实矩阵，E 为 n阶单位矩阵，B=E+A T A，证明：当 0 时，B 一定是正定矩阵 （分数：5.00）_8.设 A是正定矩阵，证明：A 2 也是正定矩阵 （分数：5.00）_9.设 n阶实对称矩阵 A为正定矩阵，B 为 n阶实矩阵，证明：B T AB为正定矩阵的充分必要条件是|B|0 （分数：5.00）_10.若 n阶实对称阵 A，B 是正定阵，求证：分块阵 （分数：5.00）_1
3、1.证明如果 A是正定实对称阵，那么 A -1 和 A*(古曲伴随方阵)也是正定实对称方阵 （分数：5.00）_12.设 A为 n阶实对称阵，且|A|0，证明：必存在实 n维向量 x0，使 x T Ax0 （分数：5.00）_13.设 A为 n阶正定矩阵，C 为 n阶可逆矩阵，并且 B=C T AC，证明：B 也是正定矩阵 （分数：5.00）_14.设 A为 n阶实矩阵且秩 r(A)=n，证明：A T A是正定矩阵 （分数：5.00）_15.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=(x 1 +ax 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +(x 3 +a 3 x 4
4、 ) 2 +(x 4 +a 4 x 1 ) 2 为正定二次型，其中 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 为实数，证明：a 1 a 2 a 3 a 4 1 （分数：5.00）_16.设 A为 n阶实对称矩阵，AB+B T A正定，求证：A 可逆 （分数：5.00）_17.设实二次型 （分数：5.00）_线性代数自考题分类模拟 16答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：6，分数：40.00)1.设向量组 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为列向量的矩阵作初等行变换，有 由此可见， 1 ， 2 是极大无关组，并且 3 =
5、1 + 2 ， 4 =2 1 + 2 利用施密特正交化方法，有 ，则 1 ， 2 是正交向量组，再标准化 则 2.用初等变换法将下列二次型化为标准型并求正、负惯性指数： （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：对二次型的系数矩阵进行行初等变换： 因此二次型的标准型为 3.设二次型 经过正交变换 x=Py化成 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：根据假设条件知，变换后二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵分别为 二次型 f可以写成 f=X T AX，f=Y T BY 由于 P T AP=B，且 P为正交矩阵，故 P T =P -1 ，于是有 P -1 AP=B，即 AB，所
6、以有|I-A|=|I-B|，即 由此可得方程 3 -3 2 +(2-a 2 -b 2 )+(a-b) 2 = 3 -3 2 +2，从而有方程组 4.用正交变换将二次型 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：首先写出二次型的系数矩阵为 A的特征多项式|E-A|=(-3) 2 ，所以 A的特征值为 1 = 2 =3， 3 =0对于 1 = 2 =3解齐次线性方程组(3E-A)X=0，求出基础解系 将 1 ， 2 标准正交化得 对于 3 =0，解齐次线性方程组(-A)X=0，求出基础解系 将 3 标准化得 令 ，则 P为正交矩阵，经过正交变换 X=Py，二次型化为标准型 5.二次型 （分数：5
7、.00）_正确答案：()解析：解：提示二次型的矩阵为 需 即 在 Q(x，y，z)=(x 2 +y 2 +z 2 )+2xy+2xz-2yz中，问：（分数：15.00）(1). 取什么值时，Q 为正定的?（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：用 Q正定 它的矩阵的各阶顺序主子式皆为正数 因 (2). 取什么值时，Q 为负定的?（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：Q 负定 D 1 0，D 2 0，D 3 0，即 0， 2 1，2 (3).当 =2 和 =-1 时，Q 为什么类型?（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：当 =2 时，A 的所有主子式均为正数或 0，所以 Q是半正
8、定的(因 a 11 =a 22 =a 33 =20，detA=0，二阶主子式有 3个值均为 3)或用配方法 二、证明题(总题数：12，分数：60.00)6.若实对称阵 A的秩为 r，符号差为 s，求证：|s|r （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 设 A的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，则 r=p+q，s=p-q由不等式|p-q|p+q 即知|s|r7.设设 A为任意 mn实矩阵，E 为 n阶单位矩阵，B=E+A T A，证明：当 0 时，B 一定是正定矩阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 由于 B T =(E+A T A) T =E T +(A T A) T =E
9、+A T A=B，所以 B为 n阶实对称矩阵任取 n维向量 X，并且 X0，则 X T BX=X T (E+A T A)X=X T X+X T (A T A)X =X T X+(AX) T (AX) 当 0 时，由于 X0，X T X0，又(AX) T (AX)0，所以 X T BX=X T X+(AX) T (AX)0，即 B是正定矩阵8.设 A是正定矩阵，证明：A 2 也是正定矩阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 由于 A正定，因此是对称矩阵，即 A T =A，所以(A 2 ) T =(AA) T =A T A T =AA=A 2 ，即 A 2 也是对称矩阵 又由于 A正定，
10、因此 A的，2 个特征值 1 ， 2 ， n 均大于零，而 A 2 的特征值为 1 2 ， 2 2 ， n 2 ，所以 A 2 的特征值也均大于零，所以 A 2 正定9.设 n阶实对称矩阵 A为正定矩阵，B 为 n阶实矩阵，证明：B T AB为正定矩阵的充分必要条件是|B|0 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 如果|B|0，则齐次线性方程组 BX=0仅有零解，所以对一切非零向量 X有 Y=BX也是非零向量，而 A正定，因此 X T (B T AB)X=(BX) T A(BX)=Y T AY0 即 B T AB正定 反之，如果 B T AB正定，则|B T AB|0 所以|B T |
11、A|B|=|A|B| 2 0，当然有|B|010.若 n阶实对称阵 A，B 是正定阵，求证：分块阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 一个实对称矩阵是正定阵的充要条件是它合同于一个同阶单位阵因为 A及 B正定，存在可逆阵 C 1 及 C 2 使 C 1 “ AC 1 =I n ，C 2 “ BC 2 =I n 做分块矩阵 于是有 此即表明 11.证明如果 A是正定实对称阵，那么 A -1 和 A*(古曲伴随方阵)也是正定实对称方阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 证法一：因为(A -1 ) T =(A T ) -1 =A -1 ，所以 A -1 是实对称阵设 i 为
12、A的特征根(i=1，n)，则 i -1 是 A -1 的特征根(因由 Ax i = i x i 可得 )所以 A正定 正定 证法二：因为 A正定，所以对任 x0，有 x T Ax0，作可逆线性代换 x=A -1 Y，得 0x T Ax=(A -1 y) T A(A -1 y)=y T (A -1 ) T AA -1 )y=y T A -1 y所以 A -1 正定，(因为上式对任意 y0 成立) 又因为 A*=(detA)A -1 12.设 A为 n阶实对称阵，且|A|0，证明：必存在实 n维向量 x0，使 x T Ax0 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 证法一：(反证法)若对任意
13、非零向量 x均有 x T Ax0，则 A是半正定的由定理知 A的所有主子式0，与已知|A|0 矛盾，故必有 x0，使 x T Ax0 证法二：设 1 ， n 为 A的特征值，则有 detA= 1 2 ， n 由已知|A|0，故必有某个 i 0，即 A的负惯性指数0故存在可逆线性代换 x=Py使 rn 取 y 1 =y r =0，y r+1 =y n =1，则 13.设 A为 n阶正定矩阵，C 为 n阶可逆矩阵，并且 B=C T AC，证明：B 也是正定矩阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 由于 B T =(C T AC) T =C T A T C=C T AC，所以 B是对称矩阵
14、 又任取非零 n维向量 X，令 Y=CX，由于 C为可逆矩阵，齐次线性方程组 CX=0仅有零解，所以 Y一定是非零 n维向量，根据 A正定的条件有 Y T AY0，因此 X T BX=X T (C T AC)X=(CX) T A(CX)=Y T AY0，所以 B是正定矩阵14.设 A为 n阶实矩阵且秩 r(A)=n，证明：A T A是正定矩阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 任取 n维向量 令 ，则 15.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=(x 1 +ax 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +(x 3 +a 3 x 4 ) 2 +(x 4
15、+a 4 x 1 ) 2 为正定二次型，其中 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 为实数，证明：a 1 a 2 a 3 a 4 1 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 由于对任意一组 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 不全为 0，有 f( x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )0，因此 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )正定的充分必要条件是齐次线性方程组 仅有零解，即系数行列式 16.设 A为 n阶实对称矩阵，AB+B T A正定，求证：A 可逆 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 反证法 若 A不可逆，则|A|=0，于是 Ax=0有非零解，记为 x 0 0 即 Ax 0 =0，X 0 T A T =X 0 T A=0从而 17.设实二次型 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 二次型的矩阵为 ，由于 A正定，其顺序主子式均大于 0，即 当 a 12 =0时，a 11 a 22 0 而 a 11 0，所以有 a 22 0； 当 a 12 0 时，
