1、线性代数自考题分类模拟 15及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：31，分数：62.00)1.f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 -2x 1 x 2 +3x 3 2 对应的矩阵是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.2.设 （分数：2.00）A.B.C.D.3.二次型 的矩阵为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.4.二次型 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.二次型 的标准形为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的秩为 3，符号差为-
2、1、a 1 0、a 2 0、a 3 0，则它的标准形为_ A.f=a1y12+a2y22+a3y32 B.f=-(a1y12-a2y22-a3y32 C.f=a1y12-a2y22-a3y32 D.f=a1y12+a2y22-a3y32（分数：2.00）A.B.C.D.7.若矩阵 A与 B是合同的，则它们也是_（分数：2.00）A.相似B.相等C.等价D.满秩8.设 A、B 均为 n阶实对称矩阵，且 A （分数：2.00）A.A、B 都是对角矩阵B.A、B 有相同的特征值C.|A|-|B|D.r(A)=r(B)9.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 x 2 +x 1 x 3 +
3、x 2 x 3 的秩为_（分数：2.00）A.1B.2C.3D.410.下列矩阵中，_与 同 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.11.实对称矩阵 A的秩等于 r，又它有 m个正特征值，则它的符号差为_（分数：2.00）ArB.m-rC.2m-rD.r-m12.如果二次型 f=X“AX的秩为 r，则经满秩线性变换 X=PY可化为平方和_ A ，其中 a i 0，i=1，2，n B ，其中 a i 0，i=1，2，r=1 C ，其中 a0，i=1，2，r D （分数：2.00）A.B.C.D.13.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的秩为 3，符号差为-1，则厂的标准形可
4、能为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.14.二次型 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.315.二次型 f=x T Ax经过满秩线性变换 x=Py可化为二次型 y T By，则矩阵 A与 B_（分数：2.00）A.一定合同B.一定相似C.即相似又合同D.即不相似也不合同16.下列二次型中，属于正定型的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X“AX为正定二次型的充要条件是_（分数：2.00）A.负惯性指数全为零B.对任意向量 X=(x1，x2，xn)“0，都是 X“AX0C.|A|0D.存在 n阶矩阵
5、P，使 A=P“P18.实二次型 f(x 1 ，x n )=X T Ax为正定的充要条件是_（分数：2.00）A.f的秩为 nB.f的正惯性指数为 nC.f的正惯性指数等于 f的秩D.f的负惯性指数为 n19.设 A，B 为正定阵，则_（分数：2.00）A.AB，A+B 都正定B.AB正定，A+B 非正定C.AB非正定，A+B 正定D.AB不一定正定，A+B 正定20.设 f=X“AX，g=X“BX 是两个 n元正定二次型，则_未必是正定二次型 A.X“(A+B)X B.X“A-1X C.X“B-1X D.X“ABX（分数：2.00）A.B.C.D.21.二次型 （分数：2.00）A.是正定的
6、B.其矩阵可逆C.其秩为 1D.其秩为 222.下列条件不能保证 n阶实对称阵 A为正定的是_ A.A-1正定 B.A没有负的特征值 C.A的正惯性指数等于 n D.A合同于单位阵（分数：2.00）A.B.C.D.23.以下结论中不正确的是_ A若存在可逆实矩阵 C，使 A=C“C，则 A是正定矩阵 B二次型 （分数：2.00）A.B.C.D.24.下列命题中不正确的是_（分数：2.00）A.合同矩阵的秩必相等B.与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵C.AA“与 A“A都是二次型的矩阵D.行列式大于零的矩阵是正定矩阵25.设 A，B 是 n阶正定矩阵，则_是正定矩阵（分数：2.00）A.A*+B*
7、B.A*-B*C.A*B*D.K1A*+K2B*26.已知矩阵 正定，k 1 ，k 2 。为正实数，则矩阵 （分数：2.00）A.不是对称矩阵B.是正定矩阵C.必为正交矩阵D.是奇异矩阵27.设二次型 f(x)=x T Ax正定，则下列结论中正确的是_ A.对任意 n维列向量 x，x TAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零（分数：2.00）A.B.C.D.28.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 -x 1 ) 2 的符号差为_（分数：2.00）A.0B.
8、1C.2D.329.A是 n阶正定阵，则下列结论错误的是_（分数：2.00）A.|A|0B.A非异C.A必为正交阵D.A的特征值全为正实数30.设方阵 为正定矩阵，则 A B C （分数：2.00）A.B.C.D.31.二次型 f(x 1 ，x n )的系数矩阵是_时必是正定型（分数：2.00）A.实对称且主对角线上元素为正B.实对称且顺序主子式值都为正数C.实对称且所有元素为正D.实对称且行列式值为正数二、填空题(总题数：16，分数：38.00)32.设二次型 （分数：2.00）33.用正交变换法将二次型 （分数：2.00）34.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 -2x
9、 2 2 +x 3 2 -2x 1 x 2 +4x 1 x 3 +8x 2 x 3 对应的对称矩阵 A= 1 （分数：2.00）35.矩阵 （分数：2.00）36.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(2x 1 -x 2 +3x 3 ) 2 的矩阵为 1 （分数：2.00）37.已知 （分数：2.00）38.二次型 f(x)=x T Ax经过正交变换化成标准形 ，已知 A -1 的特征值为 3、-1、 （分数：2.00）39.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax在正交变换下化为标准型 （分数：2.00）40.将 n阶实对称可逆矩阵按合同分类，即彼此合同的矩阵分为一
10、类，则可以分成 1 类 （分数：2.00）41.二次型的矩阵为 （分数：2.00）42.二次型 （分数：2.00）43.实二次型 （分数：2.00）44.规范形 f=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 -x 4 2 -x 5 2 的符号差为 1 （分数：2.00）45.设 （分数：4.00）46.已知 （分数：4.00）47.设矩阵 （分数：4.00）线性代数自考题分类模拟 15答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：31，分数：62.00)1.f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 -2x 1 x 2 +3x 3 2 对应的矩阵是_ A B C
11、 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 x 1 、x 2 、x 3 平方项系数对应主对角线元素：1，0，3x 1 x 2 系数-2，对应 a 12 和a 21 系数的和，a 12 =-1，a 21 =-1答案为 C2.设 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 A 的主对角线元素 1对应 x 2 2 系数；a 13 =1，a 31 =1，之和对应 x 1 x 3 系数 2答案为 C3.二次型 的矩阵为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为有 3个未知数，所以是三元实二次型，a 12 +a 21 =-1，又因为 a 12 =a 21 ，所以
12、 4.二次型 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 由二次型写出对应矩阵为 ，可知存在 5.二次型 的标准形为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 用配方法： 令 y 1 =x 1 +2x 2 ，y 2 =x 2 故 6.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的秩为 3，符号差为-1、a 1 0、a 2 0、a 3 0，则它的标准形为_ A.f=a1y12+a2y22+a3y32 B.f=-(a1y12-a2y22-a3y32 C.f=a1y12-a2y22-a3y32 D.f=a1y12+a2y22-a3y32（分数：2.00）A.B.C
13、. D.解析：解析 设 k为正惯性指数，因为 r=3，符号差为：k-(r-k)=2k-r=2k-3=-1，所以 k=1本题只有 C项满足题意答案为 C7.若矩阵 A与 B是合同的，则它们也是_（分数：2.00）A.相似B.相等C.等价 D.满秩解析：解析 此题要求知道两个矩阵合同、等价、相似的区别若矩阵 A与 B是合同的，则说明存在一个非奇异的 n阶矩阵 C，使得 B=C“AC，这就说明 B可以由 A线性表出；同样，A=(C -1 )“BC -1 ，说明 A也可以由 B线性表出，从而矩阵 A与矩阵 B等价，矩阵 A与矩阵 B相似的定义是存在一个非奇异的 n阶方阵 P，使得 B=P -1 AP答
14、案为 C8.设 A、B 均为 n阶实对称矩阵，且 A （分数：2.00）A.A、B 都是对角矩阵B.A、B 有相同的特征值C.|A|-|B|D.r(A)=r(B) 解析：解析 合同矩阵的性质答案为 D9.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 2 x 3 的秩为_（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 该二次型的矩阵为 ，而10.下列矩阵中，_与 同 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 题中矩阵均为三阶对角矩阵，由合同矩阵的定义知，对称矩阵 A与 B合同当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数答案为 A11
15、.实对称矩阵 A的秩等于 r，又它有 m个正特征值，则它的符号差为_（分数：2.00）ArB.m-rC.2m-r D.r-m解析：解析 A 的正惯性指数为 m，负惯性指数为 r-m，因此符号差等于 2m-r答案为 C12.如果二次型 f=X“AX的秩为 r，则经满秩线性变换 X=PY可化为平方和_ A ，其中 a i 0，i=1，2，n B ，其中 a i 0，i=1，2，r=1 C ，其中 a0，i=1，2，r D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 满秩线性变换不改变二次型 f的秩答案为 C13.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的秩为 3，符号差为-1，则厂的标准形
16、可能为_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的秩为 3，排除 D，计算知 B的符号差为 1，C 的符号差为 1，A 的符号差为-1答案为 A14.二次型 （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 (1)配方法化为规范形，15.二次型 f=x T Ax经过满秩线性变换 x=Py可化为二次型 y T By，则矩阵 A与 B_（分数：2.00）A.一定合同 B.一定相似C.即相似又合同D.即不相似也不合同解析：解析 f=x T Ax=(Py) T A(Py)=y T (P T AP)y=y T By，即 B=P T AP，
17、所以矩阵 A与 B一定合同只有当 P是正交矩阵时，由于 P T =P -1 ，所以 A与 B既相似又合同答案为 A16.下列二次型中，属于正定型的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 A 中的二次型正惯性指数等于 2，因此不是正定型B 中的二次型经简单的配方即知它的正惯性指数也是 2，因此也不是正定型再用初等变换法计算出 C中二次型的正惯性指数是 3答案为 C17.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X“AX为正定二次型的充要条件是_（分数：2.00）A.负惯性指数全为零B.对任意向量 X=(x1，x2，xn)“0，都是 X“AX0 C.|A|0D.存
18、在 n阶矩阵 P，使 A=P“P解析：解析 因为 B恰是正定二次型的定义A 错如 ，这里 知道 f(x 1 ，x 2 )虽然负惯性指数为零，但不是正定二次型，因为取 时，f(x 1 ，x 2 )=0C 错如 不管|A|=10，但因为它的一阶主子式-10，知 f(x 1 ，x 2 )=X“AX也不是正定二次型D 错 如 18.实二次型 f(x 1 ，x n )=X T Ax为正定的充要条件是_（分数：2.00）A.f的秩为 nB.f的正惯性指数为 n C.f的正惯性指数等于 f的秩D.f的负惯性指数为 n解析：解析 由正定的性质即得答案为 B19.设 A，B 为正定阵，则_（分数：2.00）A.
19、AB，A+B 都正定B.AB正定，A+B 非正定C.AB非正定，A+B 正定D.AB不一定正定，A+B 正定 解析：解析 A、B 正定，对任何元素不全为零的向量 X永远有 X“AX0；同理 X“BX0，X“(A+B)X=X“AX+X“BX0因此 A+B正定，AB 不一定正定，甚至 AB可能不是对称阵答案为 D20.设 f=X“AX，g=X“BX 是两个 n元正定二次型，则_未必是正定二次型 A.X“(A+B)X B.X“A-1X C.X“B-1X D.X“ABX（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 f是正定二次型，A 是 n阶正定阵，所以 A的 n个特征值 1 ， 2 ， n
20、都大于零，|A|0，设 AP j = j P j ，则 ，A -1 的 n个特征值 21.二次型 （分数：2.00）A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为 1 D.其秩为 2解析：解析 二次型的矩阵 22.下列条件不能保证 n阶实对称阵 A为正定的是_ A.A-1正定 B.A没有负的特征值 C.A的正惯性指数等于 n D.A合同于单位阵（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 A -1 正定表明存在可逆矩阵 C使 C“A -1 C=I n ，两边求逆得到 C -1 A(C“) -1 =C -1 A(C -1 )“=I n ， 即 A合同于 I n ，A 正定，因此不应选 AC 是 A正定的
21、定义，也不是正确的选择D 表明 A的正惯性指数等于行，故 A是正定阵，于是只能选择 B事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数答案为 B23.以下结论中不正确的是_ A若存在可逆实矩阵 C，使 A=C“C，则 A是正定矩阵 B二次型 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 对应的矩阵 24.下列命题中不正确的是_（分数：2.00）A.合同矩阵的秩必相等B.与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵C.AA“与 A“A都是二次型的矩阵D.行列式大于零的矩阵是正定矩阵 解析：解析 考查矩阵合同的运算性质及矩阵正定的行列式判别法 例如 25.设 A，B 是 n阶正
22、定矩阵，则_是正定矩阵（分数：2.00）A.A*+B* B.A*-B*C.A*B*D.K1A*+K2B*解析：解析 因为 A、B 是 n阶正定矩阵，则 A*，B*也是 n阶正定矩阵，所以对于任何非零实列向量 X都有 X T A*X0，X T B*X0，二式相加 X T A*X+X T B*X=X T (A*+B*)X0 对任何非零实列向量都成立，由定义知，A*+B*为正定矩阵答案为 A26.已知矩阵 正定，k 1 ，k 2 。为正实数，则矩阵 （分数：2.00）A.不是对称矩阵B.是正定矩阵 C.必为正交矩阵D.是奇异矩阵解析：解析 由于 A正定，故 因此 27.设二次型 f(x)=x T A
23、x正定，则下列结论中正确的是_ A.对任意 n维列向量 x，x TAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 如果对于任何非零实列向量 x，都有 x T Ax0，则称 f为正定二次型，称 A为正定矩阵，所以 A错；n 阶对称矩阵 A=(a ij )是正定矩阵 A的 n个特征值全大于零，所以 B错，C 对；又由定理 n阶实对称矩阵 A=(a ij )是正定矩阵 28.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 -x 1 )
24、2 的符号差为_（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析 作线性变换 即 而 ，因此经协可逆线性变换二次型化为规范型29.A是 n阶正定阵，则下列结论错误的是_（分数：2.00）A.|A|0B.A非异C.A必为正交阵 D.A的特征值全为正实数解析：解析 正定矩阵未必是正交矩阵答案为 C30.设方阵 为正定矩阵，则 A B C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 顺序主子式大于 0，因此 m0，2m0，m(2m-5n)0；又由于矩阵为对称矩阵，因此n=5，故 2m5n=25，即31.二次型 f(x 1 ，x n )的系数矩阵是_时必是正定型（分数：2.00）A.实对称且
25、主对角线上元素为正B.实对称且顺序主子式值都为正数 C.实对称且所有元素为正D.实对称且行列式值为正数解析：解析 由定理“实对称矩阵是正定阵的充要条件是它的顺序主子式都大于零”知 B是正确的选择这里须特别注意，元素全是正数的实对称阵未必是正定阵如矩阵二、填空题(总题数：16，分数：38.00)32.设二次型 （分数：2.00）解析：3 解析 ，已知 r(A)=3 故 33.用正交变换法将二次型 （分数：2.00）解析： 解析 将二次型 f用正交变换化为标准型的一般步骤为： (1)写出二次型 f的矩阵 A； (2)求出 A的全部特征值，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面求得的 r 1
26、+r 2 +r m =n个两两正交的单位向量作为列向量，排成一个 n阶方阵 P，则 P为正交阵且 P -1 AP=P T AP= 为对角阵； (3)作正交变换 x=Py，即可将二次型化为只含平方项的标准形： 二次型的矩阵为 由 得特征值为 1 =2， 2 =5， 3 =1，其对应的特征向量分别为 p 1 ，p 2 ，p 3 彼此正交，且均为单位向量，令 34.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 -2x 2 2 +x 3 2 -2x 1 x 2 +4x 1 x 3 +8x 2 x 3 对应的对称矩阵 A= 1 （分数：2.00）解析：35.矩阵 （分数：2.00）解析：x 1
27、 2 +4x 1 x 2 +8x 1 x 3 +2x 2 2 -2x 2 x 3 +3x 3 2 解析 由二次型矩阵的定义知所求的二次型为：x 1 2 +4x 1 x 2 +8x 1 x 3 +2x 2 2 -2x 2 x 3 +3x 3 2 36.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(2x 1 -x 2 +3x 3 ) 2 的矩阵为 1 （分数：2.00）解析：解析 ，由二次型矩阵的定义知，矩阵为37.已知 （分数：2.00）解析：解析 因为二次型 ，故由二次型矩阵的定义知矩阵为38.二次型 f(x)=x T Ax经过正交变换化成标准形 ，已知 A -1 的特征值为 3、-1、 （分
28、数：2.00）解析： 解析 因为 A -1 的特征值为 3、-1、 所以 ，-1，2 为 A的特征值，与标准形比较可知 39.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax在正交变换下化为标准型 （分数：2.00）解析：0 解析 二次型在正交变换下的标准型为 40.将 n阶实对称可逆矩阵按合同分类，即彼此合同的矩阵分为一类，则可以分成 1 类 （分数：2.00）解析：n+1解析 因为对称矩阵合同的充分必要条件为两个矩阵的秩相同，且正惯性指数相同因为可逆矩阵的秩均为 n，所以 n阶实对称可逆矩阵合同的充分必要条件为正惯性指数相同n 阶实对称可逆矩阵的正惯性指数可以为：0，1，2，n，
29、因此 n阶实对称可逆矩阵按合同分类可以分成 n+1类41.二次型的矩阵为 （分数：2.00）解析： 解析 作可逆线性变换 二次型化为规范型 42.二次型 （分数：2.00）解析：2 解析 的矩阵为 43.实二次型 （分数：2.00）解析：p=2解析 令 ，由于 ，所以经过可逆线性变换二次型化为标准型44.规范形 f=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 -x 4 2 -x 5 2 的符号差为 1 （分数：2.00）解析：1解析 正惯性指数为 3，负惯性指数为 2符号差为 3-2=145.设 （分数：4.00）解析：a4解析 46.已知 （分数：4.00）解析：a1 解析 A 为正定矩阵，故 A的顺序主子式均大于零，得 1 =20， 2 =80， 47.设矩阵 （分数：4.00）解析：k4(或 k(4，+) 解析 因为 f=x T Ax正定，所以 A是正定矩阵，则
