1、线性代数自考题分类模拟 14及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：12，分数：48.00)1.设 n阶可逆阵 A的每行元素和均为 a(a0)，求 2A -1 +E的一个特征值及对应的特征向量 （分数：4.00）_已知三阶矩阵 A的特征值为-1，1，2，设 B=A 2 +2A-E 求：（分数：8.00）(1).矩阵 A的行列式及 A的秩（分数：4.00）_(2).矩阵 B的特征值及与 B相似的对角矩阵（分数：4.00）_2.求 及 （分数：4.00）_3.已知矩阵 A相似于对角矩阵 （分数：4.00）_4.已知 2是三阶方阵 （分数：4.00）_5.设矩阵 （
2、分数：4.00）_6.设矩阵 的三个特征值分别为 1，2，5，求正常数 a的值，及可逆矩阵 P，使 （分数：4.00）_7.向量 、 满足条件：(，)=1，(，)=3，(，)=1 且|=2，求内积(+，2-) （分数：4.00）_8.将线性无关向量组 （分数：4.00）_9.设 A=(a ij ) 33 为正交矩阵，其中 a 33 =-1，又 （分数：4.00）_10.设 （分数：2.00）_11.设三阶实对称矩阵 （分数：2.00）_二、证明题(总题数：13，分数：52.00)12.设 1 2 为矩阵 A的特征值，x 1 ，x 2 分别为对应于 1 ， 2 的特征向量，证明：x 1 +x 2
3、 不是 A的特征向量 （分数：4.00）_13.设方阵 A满足条件 A“A=E，求证：A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 1 （分数：4.00）_14. 1 ， 2 是 n阶方阵 A属于特征值 1 ， 2 的特征向量，证明： 1 + 2 是 A的特征向量的充要条件是 1 = 2 （分数：4.00）_15.设 n阶方阵 A的秩满足 r(A+I)+r(A-I)=n， 且 AI(单位方阵)，证明：-1 是 A的一个特征值 （分数：4.00）_16.设 n阶矩阵 A满足 A 2 =E，证明：A 的特征值只能是1 （分数：4.00）_17.若 AB、CD，证明： （分数：4.00）_18.设矩阵
4、 A与 B相似证明：A T B T （分数：4.00）_19.设 n阶实对称矩阵 A与 B相似，证明：存在正交矩阵 P使得 P -1 AP=B （分数：4.00）_20.设 A为正交矩阵且|A|=-1，证明：=-1 是 A的一个特征值 （分数：4.00）_21.设 A，B 是，n 阶正交矩阵，证明：AB 也是正交矩阵 （分数：4.00）_22.证明正交矩阵的特征值为 1和-1 （分数：4.00）_23.设 A，B，A+B 均为 n阶正交矩阵，证明：(A+B) -1 =A -1 +B -1 （分数：4.00）_24.设 A为实对称矩阵，且 A 2 =E，证明：存在正交矩阵 T，使得 （分数：4.
5、00）_线性代数自考题分类模拟 14答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：12，分数：48.00)1.设 n阶可逆阵 A的每行元素和均为 a(a0)，求 2A -1 +E的一个特征值及对应的特征向量 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：由题设知 所以 a为 A的一个特征值且 a0， 从而 为 2A -1 +E的一个特征值，对应的特征向量为 已知三阶矩阵 A的特征值为-1，1，2，设 B=A 2 +2A-E 求：（分数：8.00）(1).矩阵 A的行列式及 A的秩（分数：4.00）_正确答案：()解析：解：由于 A的特征值为-1，1，2，故|A|=(-1
6、)12=-2 因为|A|0，所以 r(A)=3(2).矩阵 B的特征值及与 B相似的对角矩阵（分数：4.00）_正确答案：()解析：解：B 的三个特征值分别为 1 =(-1) 2 +2(-1)-1=-2； 2 =1 2 +21-1=2； 3 =2 2 +22-1=7 所以，与 B相似的对角矩阵为 2.求 及 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：(1)特征值为 1 = 2 =0， 3 =3 属于 1 = 2 =0的特征向量满足 于是全部的特征向量为 (k 1 ，k 2 为不全为零的实数) 属于 3 =3的特征向量满足 于是全部的特征向量为 (k0 为任意实数) (2)特征值为 1 =-1
7、， 2 = 3 =1， 属于 1 =-1的特征向量满足 于是全部的特征向量为 (k0 为任意实数) 属于 2 = 3 =1的特征向量满足 x 1 -x 3 =0， 于是全部的特征向量为 3.已知矩阵 A相似于对角矩阵 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：A 为 A与 B相似，所以存在可逆矩阵 P，使 A=P -1 BP 4.已知 2是三阶方阵 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：设 A的另一个特征值为 ，则 2+2+=tr(A)，即 2+2+=1+4+5，所以 =6对应于 1 = 2 =2的特征向量为 对应于 3 =6的特征向量为 所以 5.设矩阵 （分数：4.00）_正确答案
8、：()解析：解：由于 A可以对角化，因此，A 有 3个线性无关的特征值向量，先求 A的特征值，由于 因此 A的特征值为 1 = 2 =1， 3 =-1，所以 A可对角化，则 1 = 2 =1对应于两个线性无关的特征向量即齐次线性方程组(E-A)X=0 的基础解系含有两个解向量，因此 r(E-A)=1，对 E-A作初等行变换有 6.设矩阵 的三个特征值分别为 1，2，5，求正常数 a的值，及可逆矩阵 P，使 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：由|A|=2(9-a 2 )=125，得 a=2 解方程组(E-A)x=0 得基础解系 1 =(0，-1，1) T ； 解方程组(2E-A)x=0
9、 得基础解系 2 =(1，0，0) T ； 解方程组(5E-A)x=0 得基础解系 3 =(0，1，1) T ； 所求的可逆矩阵 P可取为 ，则有 7.向量 、 满足条件：(，)=1，(，)=3，(，)=1 且|=2，求内积(+，2-) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：由于8.将线性无关向量组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：用施密特正交化方法，有 则 1 ， 2 ， 3 是正交向量组，再单位化，有 9.设 A=(a ij ) 33 为正交矩阵，其中 a 33 =-1，又 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：由于 A为正交矩阵，因此 A的列向量组与行向量组均为标
10、准正交向量组，故 因此 a 13 =a 23 =0；同理 a 31 =a 32 =0即 又 A正交，因此 A -1 =A T ，所以 10.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解：设 因为 A是正交阵，所以( 1 ， 2 )=0，( 1 ， 4 )=0，( 2 ， 3 )=0解得 11.设三阶实对称矩阵 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解： 所以 A的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =5 对于 1 =1，解齐次线性方程组(E-A)X=0 得到一个解 ，再单位化得 对于 2 =2，解齐次线性方程组(2E-A)X=0 得到一个解 ，单位 2 = 2 对于 3 =5，解齐线性方
11、程纽(5E-A)X=0 得到一个解 ，再单位化得 令 则 P为正交矩阵并且 二、证明题(总题数：13，分数：52.00)12.设 1 2 为矩阵 A的特征值，x 1 ，x 2 分别为对应于 1 ， 2 的特征向量，证明：x 1 +x 2 不是 A的特征向量 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 采用反证法 设 x 1 +x 2 是矩阵 A关于特征值 的特征向量，由定义，A(x 1 +x 2 )=(x 1 +x 2 ) 于是 Ax 1 +Ax 2 =x 1 +x 2 ，又 x 1 ，x 2 分别是矩阵 A对应 1 和 2 的特解 所以 Ax 1 = 1 x 1 ，Ax 2 = 2 x 2
12、 ，所以 1 x 1 + 2 x 2 =x 1 +x 2 即( 1 -)x 1 +( 2 -)x 2 =0 因 x 1 ，x 2 是矩阵 A关于不同特征值的特征向量，所以 x 1 与 x 2 是线性无关的，从而 1 -=0， 2 -=0 即 1 -， 2 =，故 1 = 2 与 1 2 矛盾 因此 x 1 +x 2 不是 A的特征向量13.设方阵 A满足条件 A“A=E，求证：A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 1 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 设 X是 A的实特征向量， 是对应的特征值，则 AX=X，因 X“A“=X“，于是X“A“AX=X“X= 2 X“X 因 A“
13、A=E，(E 为单位阵)， 所以 X“EX= 2 X“X， 即 X“X= 2 X“X，( 2 -1)X“X=0 又 X0 为实特征向量，从而 X“X0，所以； 2 =1即|=114. 1 ， 2 是 n阶方阵 A属于特征值 1 ， 2 的特征向量，证明： 1 + 2 是 A的特征向量的充要条件是 1 = 2 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 如果 1 = 2 =，则 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 = 1 1 + 2 2 =( 1 + 2 )，所以 1 + 2 是 A的特征向量 反之，如果 1 2 ，假设 1 + 2 是属于 的特征向量，即 A( 1 + 2 )=( 1 +
14、 2 )，则 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 = 1 1 + 2 2 = 1 + 2 ， 因此( 1 -) 1 +( 2 -) 2 =0， 由于属于不同特征值的特征向量线性无关，因此 1 -= 2 -=0， 1 = 2 ，出现矛盾，所以 1 + 2 一定不是 A的特征向量15.设 n阶方阵 A的秩满足 r(A+I)+r(A-I)=n， 且 AI(单位方阵)，证明：-1 是 A的一个特征值 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由于 AI，所以 A-I不是零矩阵，从而 r(A-I)1，因此由已知条件 r(A+I)n-1，A+I 是奇异矩阵，|A+I|=0，所以齐次线性方程组(A+
15、I)X=0 有非零解 ，即存在非零向量 使得(A+I)=0，A=-，所以 =-1 是 A的一个特征值16.设 n阶矩阵 A满足 A 2 =E，证明：A 的特征值只能是1 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 设 为 A的对应于特征值 的特征向量，则有 A=于是由 A 2 =E，得 =E=A 2 = 2 ， 从而(1- 2 )=0 而 0，所以有 1- 2 =0，=117.若 AB、CD，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 提示 由 AB 得 (P1可逆)，由 CD 得 (P 2 可逆) 令 ，则 P可逆 且 即 18.设矩阵 A与 B相似证明：A T B T （分数：
16、4.00）_正确答案：()解析：证明 由于 AB，故存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B 19.设 n阶实对称矩阵 A与 B相似，证明：存在正交矩阵 P使得 P -1 AP=B （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由于 A与 B相似，因此 A与 B有相同的特征值 1 ， 3 ， 3 ，又 A与 B均为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 P 1 和 P 2 使得 因此 ，令 ，由于 P 1 和 P 2 均正交，所以 P也正交并且 20.设 A为正交矩阵且|A|=-1，证明：=-1 是 A的一个特征值 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由于 A是正交矩阵，故 AA T =A
17、T A=E，因此 |A+E|=|A+A T A|=|E+A T |A|=|E+A|A|=-|E+A| 所以 2|A+E|=0，有|A+E|=0， 将 =-1 代入 A的特征多项式 f()=|E-A|， 有 f(-1)=|-E-A|=(-1) n |E+A|=0， 所以 =-1 是 A的一个特征值21.设 A，B 是，n 阶正交矩阵，证明：AB 也是正交矩阵 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由已知条件 AA T =A T A=I，BB T =B T B=I，则(AB)(AB) T =ABB T A T =A(BB T )A T =I，所以 AB也是正交矩阵22.证明正交矩阵的特征值
18、为 1和-1 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 提示 设正交矩阵 A的特征值为 ，对应的特征向量为 则 A= 所以 T A T = T ， T A T = T ， 即 T A -1 = T ，即 所以 而 T =(，)0， 于是 23.设 A，B，A+B 均为 n阶正交矩阵，证明：(A+B) -1 =A -1 +B -1 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由于 A，B，A+B 均为正交矩阵，所以 A T =A -1 ，B T -B -1 ，(A+B) T =(A+B) -1 因此(A+B) -1 =(A+B) T =A T +B T =A -1 +B -124.设 A为实对称矩阵，且 A 2 =E，证明：存在正交矩阵 T，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由 A 2 =E知 A的特征值为 1或-1，又 A是实对称矩阵，所以存在正交阵 T，使得
