1、线性代数自考题分类模拟 13及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：32，分数：80.00)1.三阶矩阵 A的特征值为-1，1，2，则 B=E+A*的特征值为 1 （分数：2.50）2.设 （分数：2.50）3.若三阶矩阵 （分数：2.50）4.设 =2 是 n阶方阵 A的一个特征且|A|0，则 n阶方阵 B=A 3 -3E+A -1 必有特征值 1 （分数：2.50）5.方阵 （分数：2.50）6.设 A为 n阶方阵，|A|0，若 A有特征值 ，则 A*的特征值 1 （分数：2.50）7.设 B=P -1 AP，如果 A= 0 ，则 B的关于 0 的特征向量
2、为 1 （分数：2.50）8.已知三阶方阵 A的三个特征值为 1，-2，-3，|A|及 A -1 ，A*，A 2 +2A+E的特征值分别为 1 （分数：2.50）9.设三阶方阵 A的行列式|A|=8，又已知 A有特征值-2 和 4，则 A的另一个特征值为 1. （分数：2.50）10.设三阶方阵 A的特征值为 1 =-1， 2 =1， 3 =2，则|A|= 1 （分数：2.50）11.设 2是矩阵 A的一个特征值，则矩阵 3A必有一个特征值为 1 （分数：2.50）12.若 =2 是可逆矩阵 A的一个特征值，则矩阵 （分数：2.50）13.设 A、B 是 n阶方阵，E 为 n阶单位方阵且 A+
3、2E=B，如果 5是 B的一个特征值，则 A必有特征值 1 （分数：2.50）14.若 （分数：2.50）15.实对称矩阵 A满足 A 3 +A 2 +A=3I，则 A= 1 （分数：2.50）16.与矩阵 （分数：2.50）17.已知向量 （分数：2.50）18.设 n阶方阵 A与 B相似且 A 2 =A，则 B 2 = 1 （分数：2.50）19.已知方阵 A相似于对角矩阵 （分数：2.50）20.设三阶矩阵 A与 B相似，若 A的特征值为 （分数：2.50）21.已知方阵 A与方阵 （分数：2.50）22.矩阵 与 （分数：2.50）23.如果 （分数：2.50）24.设向量 =(1，2
4、，3，4)，则 的单位化向量为 1 （分数：2.50）25.设向量 （分数：2.50）26.在 R 3 中向量 （分数：2.50）27.若 =(1，2，3)，则 （分数：2.50）28.向量 =(2，4)，=(a，-1)若 ，则 a= 1 （分数：2.50）29.正交矩阵 A的行列式的值为 1 （分数：2.50）30.已知 P是三阶正交矩阵，向量 （分数：2.50）31.设 A为实对称矩阵， 和 （分数：2.50）32.设 1 =1， 2 =-1是实对称矩阵 A的两个特征向量 （分数：2.50）二、计算题(总题数：5，分数：20.00)33.已知二阶矩阵 A的特征值为 1 =1， 2 =9，对
5、应的特征向量依次为 1 =(-1，1) T ， 2 =(7，1) T ，求矩阵 A （分数：2.50）_34.已知 =(1，1，-1) T 是 （分数：2.50）_35.已知 （分数：2.50）_设三阶实对称矩阵 A满足 A 2 +2A=O，而且 r(A)=2（分数：5.00）(1).求出 A的全体特征值（分数：2.50）_(2).当 k为何值时，kE 3 +A必为正定矩阵?（分数：2.50）_设方程 A有特征值 1 =2， 2 =-1，又 和 （分数：7.50）(1).将 表示成 1 ， 2 的线性组合（分数：3.75）_(2).求 A（分数：3.75）_线性代数自考题分类模拟 13答案解析
6、(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：32，分数：80.00)1.三阶矩阵 A的特征值为-1，1，2，则 B=E+A*的特征值为 1 （分数：2.50）解析：3，-1，0 解析 设 为三阶矩阵 A的特征值，|A|=-112=-2.A -1 的特征值为的-1，1， 2.设 （分数：2.50）解析：每一个非零的三维向量 解析 3.若三阶矩阵 （分数：2.50）解析：线性无关解析 AB 知 A和 B有相同的特征值，故 A有 1，2，3 三个不同的特征值，A 为三阶的，故 A的三个特征值对应的三个特征向量线性无关4.设 =2 是 n阶方阵 A的一个特征且|A|0，则 n阶方阵
7、 B=A 3 -3E+A -1 必有特征值 1 （分数：2.50）解析： 解析 |A|0，因此 A可逆，又 =2 是 A的特征值，因此存在非零向量 使得A=2，所以 A 3 =A 2 (A)=A 2 (2)=2A(Aa)=4A=8， ，所以 ，所以 B有特征值 5.方阵 （分数：2.50）解析： 1 = 2 = 3 =1， 4 =-1 解析 A 的特征多项式为 6.设 A为 n阶方阵，|A|0，若 A有特征值 ，则 A*的特征值 1 （分数：2.50）解析： 解析 由于|A|0，因此 A可逆并且 ，即 A*=|A|A -1 ；如果 A=，则 A -1 A=A -1 ，所以 ，所以 7.设 B=
8、P -1 AP，如果 A= 0 ，则 B的关于 0 的特征向量为 1 （分数：2.50）解析：P -1 解析 P -1 AP=B A=PBP -1 又 A= 0 PBP -1 = 0 B(P -1 )= 0 (P -1 )8.已知三阶方阵 A的三个特征值为 1，-2，-3，|A|及 A -1 ，A*，A 2 +2A+E的特征值分别为 1 （分数：2.50）解析：6；1， ；6，-3，-2；4，1，4 解析 本题考查利用公式求特征值与特征向量，设 i 为n阶方阵 A的特征值，P i 为 A的对应于特征值 i 的特征向量，i=1，2，n，则 (1)f(A)的特征值为 f( i )，对应于 f( i
9、 )的特征向量为 p i ，i=1，2，n，其中 f(x)为 x的多项式； (2)设 A可逆，则 A -1 的特征值为 ，对应的特征向量为 p i ，i=1，2，n； (3)设 A可逆，则 A*的特征值为 ，对应的特征向量为 p i，i =1，2，n； (4)A T 的特征值为 i ，i=1，2，n，对应的特征向量为 p i ，i=1，2，n； (5)若 B=P -1 AP，则 B的特征值为 ，对应的特征向量为 P -1 p i ，i=1，2，n； 从而有：|A|=1(-2)(-3)=6 A -1 的特征值为： 9.设三阶方阵 A的行列式|A|=8，又已知 A有特征值-2 和 4，则 A的另一
10、个特征值为 1. （分数：2.50）解析：-1 解析 设 A的特征值为： 1 ， 2 ， 3 ，则|A|= 1 2 3 ，所以另一特征值为 ，有 8=(-2)410.设三阶方阵 A的特征值为 1 =-1， 2 =1， 3 =2，则|A|= 1 （分数：2.50）解析：-2 解析 |A|= 1 2 3 =-211.设 2是矩阵 A的一个特征值，则矩阵 3A必有一个特征值为 1 （分数：2.50）解析：6解析 因为 Z是 A的一个特征值，则 A=2两同乘 3则 3A=6，即 3A的特征值为 6答案为 612.若 =2 是可逆矩阵 A的一个特征值，则矩阵 （分数：2.50）解析：解析 A 有特征值
11、=2，则 必有特征值 必有特征值 13.设 A、B 是 n阶方阵，E 为 n阶单位方阵且 A+2E=B，如果 5是 B的一个特征值，则 A必有特征值 1 （分数：2.50）解析：3解析 由于 5是 B的特征值，所以|5E-B|=0，又 A=B-2E，所以|3E-A|=|5E-A-2E|=|5E-B|=0，因此 3是 A的一个特征值14.若 （分数：2.50）解析：0，4，16 解析 令 A的特征值为 ， 15.实对称矩阵 A满足 A 3 +A 2 +A=3I，则 A= 1 （分数：2.50）解析：I 解析 设矩阵 A的特征值为 ，则有 3 + 2 +=3，即(-1)( 2 +2+3)=0由于实
12、对称矩阵的特征值是实数，故 2 +2+3=(+1) 2 +20，由此可得 A只有惟一的三重特征值 1，即存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=I，于是有 A=PIP -1 =I16.与矩阵 （分数：2.50）解析： 解析 先求特征值， (-3)=(-1)(-3)=0，所以 1 =1， 2 =3，所以矩阵A的相似对解阵为 或 17.已知向量 （分数：2.50）解析： 解析 由特征值和特征向量的定义和已知条件知，三阶方阵 A有特征值 1，0，-1，对应的特征向量分别为 p 1 ，p 2 ，p 3 ，方阵 A有不同的特征值，故 A相似于对角矩阵，令矩阵 则有 P -1 AP=D，故 18.设 n阶
13、方阵 A与 B相似且 A 2 =A，则 B 2 = 1 （分数：2.50）解析：B 解析 由于 A与 B相似，存在可逆矩阵 P，使得 B=P -1 AP，所以 B 2 =P -1 APP -1 AP=P -1 A 2 P=P -1 AP=B19.已知方阵 A相似于对角矩阵 （分数：2.50）解析：E 解析 存在可逆矩阵 P使 ，因此 所以 20.设三阶矩阵 A与 B相似，若 A的特征值为 （分数：2.50）解析：24 解析 因为 A与 B相似，所以 A与 B有相同的特征值，因为|BB -1 |=1，所以 B与 B -1 的特征值互为倒数， 21.已知方阵 A与方阵 （分数：2.50）解析： 1
14、 = 2 =2， 3 =-2 解析 由于 B的特征多项式为 22.矩阵 与 （分数：2.50）解析：0解析 A 与 B相似tr(A)=tr(B)，即 1+0+x=1+1-1，x=023.如果 （分数：2.50）解析：0 解析 A 可对角化，故三维矩阵 A有 3个不相关的特征向量，设 为 A的特征值 故 =1，=2(2 重) =2 时， 24.设向量 =(1，2，3，4)，则 的单位化向量为 1 （分数：2.50）解析：解析 单位化即使各元素的平方加起来为 1， ，所以单位化向量为 25.设向量 （分数：2.50）解析：-3解析 (，)=11+21+(-2)2+1(-2)=-326.在 R 3
15、中向量 （分数：2.50）解析：0 解析 由于( 1 ，e 1 )=a 1 =0，( 1 ，e 2 )= 2 =0，( 1 ，e 3 )=a 3 =0，所以 a为零向量，故|=027.若 =(1，2，3)，则 （分数：2.50）解析：解析 28.向量 =(2，4)，=(a，-1)若 ，则 a= 1 （分数：2.50）解析：2解析 ，2a-4=0，a=229.正交矩阵 A的行列式的值为 1 （分数：2.50）解析：1 解析 AA T =E，|AA T |A|A T |=|A| 2 =|E|=1， |A|=130.已知 P是三阶正交矩阵，向量 （分数：2.50）解析：5 解析 对于任意 n维列向量
16、 ， 都有内积等式(A，A)=(，) 所以(P，P)=(，)=11+30+22=531.设 A为实对称矩阵， 和 （分数：2.50）解析：5 解析 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此( 1 ， 2 )=a-8+3=a-5=0，所以 a=532.设 1 =1， 2 =-1是实对称矩阵 A的两个特征向量 （分数：2.50）解析：2 解析 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此( 1 ， 2 )=-4+8k-12=0，所以 k=2二、计算题(总题数：5，分数：20.00)33.已知二阶矩阵 A的特征值为 1 =1， 2 =9，对应的特征向量依次为 1 =(-1，1) T ，
17、2 =(7，1) T ，求矩阵 A （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：由于 1 ， 2 线性无关，令 P=( 1 ， 2 )，则由 ，得到 34.已知 =(1，1，-1) T 是 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：提示设对应于特征向量 的特征值为 ，则有 35.已知 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解： = 2 -a 2 -b 2 = 2 -1=0 所以 A的特征值为 1 =1， 2 =-1 标准形为 设三阶实对称矩阵 A满足 A 2 +2A=O，而且 r(A)=2（分数：5.00）(1).求出 A的全体特征值（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：提示 设矩阵
18、 A的特征值为 ，则由 A 2 +2A=O知， 2 +2=0，故 =0 或 =-2因为 r(A)=2，=0 不可能是二重根，故 =-2 是二重根(2).当 k为何值时，kE 3 +A必为正定矩阵?（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：提示 kE 3 +A的特征值为 k+，kE 3 +A为正定矩阵的充要条件是 kE 3 +A有 3个大于 0的特征值，故当 k2 时，k+0，kE 3 +A必为正定矩阵设方程 A有特征值 1 =2， 2 =-1，又 和 （分数：7.50）(1).将 表示成 1 ， 2 的线性组合（分数：3.75）_正确答案：()解析：解：以 1 ， 2 ， 为列向量的矩阵作初等行变换，有 (2).求 A（分数：3.75）_正确答案：()解析：解：
