1、线性代数自考题分类模拟 12及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：39，分数：100.00)1.不属于矩阵 （分数：2.50）A.(0，0)“B.(1，1)“C.(1，0)“D.(0，1)“2. 1 、 2 都是 n阶矩阵 A的特征值， 1 2 ，且 x 1 与 x 2 分别是对应于 1 与 2 的特征向量，当_时，x=k 1 x 1 +k 2 x 2 必是 A的特征向量（分数：2.50）A.k1=0且 k2=0B.k10 且 k20C.k1k2=0D.k10 而 k2=03.设 是矩阵 A对应于特征值 的特征向量，则_（分数：2.50）A.A0 且 0
2、B.0 且 0C.A与 可以为零但 0D. 与 可以为零但 A04.已知三阶矩阵 A的特征值为 1，2，3，则|A-5I|=_（分数：2.50）A.2B.6C.-24D.245.已知矩阵 ，且 （分数：2.50）A.1B.-1C.2D.-26.若 A 2 =E，则矩阵 A的特征值为_（分数：2.50）A.1B.-1C.1D.07.设矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D.8.设 n阶方阵 A有一个特征值 2，则 2A 2 -3A+E必有特征值_（分数：2.50）A.1B.2C.3D.49.设 ， 是 n阶矩阵 A的属于不同特征值的特征向量，则_（分数：2.50）A.， 必正交B.， 线性相关C
3、.， 线性无关D.以上关系不一定成立10.矩阵 A的特征值为 1，则行列式|(A-E) 2 |的值等于_（分数：2.50）A.1B.2C.3D.011.若 n阶矩阵 A的任意一行中的 n个元素的和都为 a，则 A的一个特征值为_ A.a B.-a C.a-1 D.na（分数：2.50）A.B.C.D.12.设 （分数：2.50）A.B.C.D.13.设 =3 是可逆矩阵 A的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.14.已知矩阵 （分数：2.50）A.x=0B.x=-1C.x=1D.x=215.已知 A为 n阶方阵，以下说法错误的是_ A|E-
4、A|=|E-A T | BA 的全部特征向量为(E-A)x=0 的全部解 C若 A有 n个互不相同的特征值，则必有 n个线性无关的特征向量 D若 A可逆，则矩阵 A的属于 的特征向量是矩阵 A -1 的属于 （分数：2.50）A.B.C.D.16.设 A为可逆矩阵，则与 A必有相同特征值的矩阵为_ A.AT B.A2 C.A-1 D.A*（分数：2.50）A.B.C.D.17.设 A为三阶实对称矩阵，A 的全部特征值为 0，1，1，则齐次线性方程组(E-A)x=0 的基础解系所含解向量的个数为_（分数：2.50）A.0B.1C.2D.318.已知 f(x)=x 2 -2x-1，方阵 A的特征值
5、 1，0，-1，则 f(A)的特征值为_（分数：2.50）A.-2，-1，2B.-2，-1，-2C.2，1，-2D.2，0，-219.设 （分数：2.50）A.1=2=2B.1=2=-2C.1=2=4D.1=2=-420.若可逆矩阵 A有特征值 =2，则(A 2 ) -1 必有特征值_ A4 B C D （分数：2.50）A.B.C.D.21.设 A为 n阶矩阵，则在_情况下，它的特征值可以是零 A.A2=A B.A2=E C.A正交 D.A可逆（分数：2.50）A.B.C.D.22.设方阵 A有特征值 且属于 的特征向量 ，方阵 B=P -1 AP，则 B有特征向量_ A. B.P C.P-
6、1 D.PT（分数：2.50）A.B.C.D.23.下列命题错误的是_（分数：2.50）A.属于不同特征值的特征向量必线性无关B.属于同一特征值的特征向量必线性相关C.相似矩阵必有相同的特征值D.特征值相同的矩阵未必相似24.下列矩阵必相似于对角矩阵的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.25.已知 （分数：2.50）A.a=3，b=1B.a=1，b=3C.a=-1，b=-3D.a=-3，b=-126.已知 A、B 均 n方阵且 A与 B相似，若 A 2 =E，则 B 2 为_ A.A2 B.A C.E D.A2-E（分数：2.50）A.B.C.D.27.与矩阵 相似的对角矩
7、阵为_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.28.下列结论错误的有_ A.如果 AB，则|E-A|=|E-B| B.如果 AB，则 A与 B都可逆 C.如果 AB，则 ATB T D.如果 AB，则 tr(A)=tr(B)（分数：2.50）A.B.C.D.29.设 （分数：2.50）A.2B.1C.3D.030.n阶矩阵 A相似于对角阵的充要条件是_（分数：2.50）A.A有 n个特征值B.A的行列式不等于零C.A的特征多项式无重根D.A有 n个线性无关的特征向量31.设 A的特征值为 1，-1，向量 是属于 1的特征向量， 是属于-1 的特征向量，则下列论断正确的是_（分数：2
8、.50）A. 和 线性无关B.+ 是 A的特征向量C. 与 线性相关D. 与 必正交32.关于向量内积的基本性质，下列说法错误的是_ A.(，)=(，) B.(k，)=k(，) C.(，)0 D.(，) 2(，)(，)（分数：2.50）A.B.C.D.33.向量组 是标准正交向量组，则 a，b，c，d 取值_ Aa=1，b=2，c=3，d=4 B C D （分数：2.50）A.B.C.D.34.设 A为正交阵，则_ A.A=E B.|A|=1 C.A-1=AT D.|A|0（分数：2.50）A.B.C.D.35.设 A，B 是同阶正交矩阵，则下列命题不正确的是_ A.A-1也是正交矩阵 B.A
9、*也是正交矩阵 C.AB也是正交矩阵 D.A+B也是正交矩阵（分数：2.50）A.B.C.D.36.n阶实方阵 A的 n个行向量构成一组标准正交向量组，则 A是_（分数：2.50）A.对称矩阵B.正交矩阵C.反对称矩阵D.|A|=n37.设 A为 n阶实对称方阵且为正交矩阵，则有_ A.A=I B.A相似于 I C.A2=I D.A合同于 I（分数：2.50）A.B.C.D.38.设 A，B 均是 n阶实对称矩阵，则正确的命题是_（分数：2.50）A.若 A与 B等价，则 A与 B相似B.若 A与 B相似，则 A与 B合同C.若 A与 B合同，则 A与 B相似D.若 A与 B等价，则 A与 B
10、合同39.设三阶矩阵 A与 B相似，且已知 A的特征值为 2，2，3则|B -1 |=_ A B （分数：5.00）A.B.C.D.线性代数自考题分类模拟 12答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：39，分数：100.00)1.不属于矩阵 （分数：2.50）A.(0，0)“ B.(1，1)“C.(1，0)“D.(0，1)“解析：解析 令 得 =1(二重)为矩阵的特征值 与 =1 相应的齐次线性方程组为(I-A)x=0 即 而 r=0，n=2，n-r=2-0=2， 此方程组的基础解系有两个解向量 取 x 1 =1时，x 2 =0，得 取 x 2 =1时，x
11、1 =0，得 A 的属于 =1 的全部特征向量为 c 1 ，c 2 为不全为 0的任意数 当 c 1 =1，c 2 =0时特征向量为 ；当 c 1 =0，c 2 =1时特征向量为 当 c 1 =c 2 =1时特征向量为 2. 1 、 2 都是 n阶矩阵 A的特征值， 1 2 ，且 x 1 与 x 2 分别是对应于 1 与 2 的特征向量，当_时，x=k 1 x 1 +k 2 x 2 必是 A的特征向量（分数：2.50）A.k1=0且 k2=0B.k10 且 k20C.k1k2=0D.k10 而 k2=0 解析：解析 A 的特征向量不能是零向量，所以 k 1 、k 2 不同时为零，所以 A、C
12、不对；x 1 、x 2 是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和不再是其中一个方程的解，所以 A的特征向量不选 B选 D是因为 k 2 =0，k 1 0，x=k 1 x 1 仍然是 A的特征向量答案为 D3.设 是矩阵 A对应于特征值 的特征向量，则_（分数：2.50）A.A0 且 0B.0 且 0C.A与 可以为零但 0 D. 与 可以为零但 A0解析：解析 由特征值特征向量的定义即5.1 定义 1得 A=，其中 0，知 A与 可以为零，但 0答案为 C4.已知三阶矩阵 A的特征值为 1，2，3，则|A-5I|=_（分数：2.50）A.2B.6C.-24 D.24解析：解析 三阶
13、矩阵 A的特征值为 1，2，3 |I-A|展开式含有三个因子乘积：(-1)(-2)(-3)， |I-A|展开式 3 项系数为 1， |AI-A|=(-1)(-2)(-3)， A 为三阶矩阵， |A-I|=(-1) 3 |I-A|=-|I-A| =-(-1)(-2)(-3)， 将 =5 代入上式： |A-5I|=-(5-1)(5-2)(5-3)=-432=-24答案为 C5.已知矩阵 ，且 （分数：2.50）A.1 B.-1C.2D.-2解析：解析 所求特征值 应满足 A=，因为 6.若 A 2 =E，则矩阵 A的特征值为_（分数：2.50）A.1B.-1C.1 D.0解析：解析 设 A的特征值
14、为 ，对应的特征向量为 ，则 A= A 2 =AA=A=A= 2 A 2 =E 故 2 =E，又因为 为特征向量，故=1答案为 C7.设矩阵 （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 Ap=p，则 p是 A的属于特征值 的一个特征向量，且 p必须是非零向量答案为 B8.设 n阶方阵 A有一个特征值 2，则 2A 2 -3A+E必有特征值_（分数：2.50）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 由已知条件，存在非零向量 使 A=2，因此 A 2 =A(2)=4，所以(2A 2 -3A+E)=2(A 2 )-3(A)+E()=2(4)-3(2)+=8-6+=3，即 3是 2A 2 -3A+E
15、的一个特征值答案为 C9.设 ， 是 n阶矩阵 A的属于不同特征值的特征向量，则_（分数：2.50）A.， 必正交B.， 线性相关C.， 线性无关 D.以上关系不一定成立解析：解析 因为 ， 是 n阶矩阵 A的属于不同特征值的特征向量，则可设特征值分别为 1 ， 2 ， 1 2 ，则有：A= 1 ，A= 2 ， 1 2 若 l 1 +l 2 =0，则有： A(l 1 +l 2 )=l 1 A+l 2 A= 1 l 1 + 2 l 2 =0 但 2 (l 1 +l 2 )= 2 l 1 p 1 + 2 l 2 =0 将式减式，即得( 2 - 1 )l 1 =0 但是 1 2 ，O，于是必有 l
16、1 =0，再将它代入式，并由 0，又得到 l 2 =0这就证明 与 线性无关答案为 C10.矩阵 A的特征值为 1，则行列式|(A-E) 2 |的值等于_（分数：2.50）A.1B.2C.3D.0 解析：解析 矩阵 A的特征值为 1，对应特征值的特征向量为 ，得 A=，(A-E)=0，因为 0故|A-E|=0，|(A-E) 2 |=|A-E|A-E|=0答案为 D11.若 n阶矩阵 A的任意一行中的 n个元素的和都为 a，则 A的一个特征值为_ A.a B.-a C.a-1 D.na（分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 设 A=(a ij )，设 A的特征为 ，得|E-A|=0，即
17、12.设 （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 用定义 Ax=x 来判断，这时 =0，故计算 Ax的值，使 Ax=0的向量 x就是 A的属于特征值 0的特征向量当 x=(1，2，3) T 时，有 Ax=0答案为 B13.设 =3 是可逆矩阵 A的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 ，因为 3是 A的一个特征值，|AA -1 |=1，所以 一定是 A -1 的一个特征值，所以必有一个特征值为 14.已知矩阵 （分数：2.50）A.x=0B.x=-1 C.x=1D.x=2解析：解析 |A|=x+1，A 有零特征值，得|A
18、|=0，故 x=-1，显然应选 B答案为 B15.已知 A为 n阶方阵，以下说法错误的是_ A|E-A|=|E-A T | BA 的全部特征向量为(E-A)x=0 的全部解 C若 A有 n个互不相同的特征值，则必有 n个线性无关的特征向量 D若 A可逆，则矩阵 A的属于 的特征向量是矩阵 A -1 的属于 （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 (E-A) T =(E-A T )，因转置不改变行列式的值，故|E-A|=|E-A T |；设 1 ， 2 ， n 为 A的全部特征向量，对应的特征值为 1 ， 2 ， n ，则必有( i E-A)a i =0，( i E-A)c i =O，所
19、以 c i 也是(E-A)x=0 的解，但 c i 不包含在 1 ， i ， n 中；A= 16.设 A为可逆矩阵，则与 A必有相同特征值的矩阵为_ A.AT B.A2 C.A-1 D.A*（分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 根据定理：n 阶矩阵 A和转置矩阵 A T 必有相同的特征值答案为 A17.设 A为三阶实对称矩阵，A 的全部特征值为 0，1，1，则齐次线性方程组(E-A)x=0 的基础解系所含解向量的个数为_（分数：2.50）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 因为 A的特征值为 0，1，1，则 E-A的特征值为-1，0，0，即 R(E-A)=1n 元齐次线性方程组基础
20、解系所含向量的个数为 n-R个，3-1=2，所以有 2个答案为 C18.已知 f(x)=x 2 -2x-1，方阵 A的特征值 1，0，-1，则 f(A)的特征值为_（分数：2.50）A.-2，-1，2 B.-2，-1，-2C.2，1，-2D.2，0，-2解析：解析 方法一： A的特征值 适合方程|I-A|=0，为了出现 f(A)=A 2 -2A-I，f()= 2 -2-1，上式两边同乘|A-(2-)I|，有 |A-(2-)I|I-A|=|A-(2-)I(I-A)| =|-(2- 2 )I-A 2 +2A| =|( 2 -2-1)I-(A 2 -2A-I)|=0 可知 A 2 -2A-I的特征值
21、为 2 -2-1， 即 f(A)的特征值为 f() 所以 f(A)的特征值 f(1)=1-2-1=-2， f(0)=-1，f(-1)=1+2-1=2 方法二： AX=X，两边左乘 A，A 2 X=AX=AX= 2 X， 2 是 A 2 的特征值f(A)=A 2 -2A-I， f(A)X=(A 2 -2A-I)X=A 2 X-2AX-X = 2 X+2X-X=( 2 -2-1)X=f()X 矩阵 f(A)的特征值为 f()答案为 A19.设 （分数：2.50）A.1=2=2B.1=2=-2 C.1=2=4D.1=2=-4解析：解析 由于 A的特征值为 1 = 2 =2，又 0 是 A的特征值，则
22、 20.若可逆矩阵 A有特征值 =2，则(A 2 ) -1 必有特征值_ A4 B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 由于 A=2是 A的特征值，=4 是 2 特征值，所以 21.设 A为 n阶矩阵，则在_情况下，它的特征值可以是零 A.A2=A B.A2=E C.A正交 D.A可逆（分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 A 2 =A 22.设方阵 A有特征值 且属于 的特征向量 ，方阵 B=P -1 AP，则 B有特征向量_ A. B.P C.P-1 D.PT（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 由于 A=，因此 B(P -1 )=P -1 AP(P
23、-1 )=P -1 (A)=P -1 =P -1 ，所以 P -1 是 B的特征向量答案为 C23.下列命题错误的是_（分数：2.50）A.属于不同特征值的特征向量必线性无关B.属于同一特征值的特征向量必线性相关 C.相似矩阵必有相同的特征值D.特征值相同的矩阵未必相似解析：解析 属于同一特征值的特征向量未必线性相关，比如单位阵的特征值全是 1，但它有 n个线性无关的特征向量答案为 B24.下列矩阵必相似于对角矩阵的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 C 是对称阵，必相似于对角阵答案为 C25.已知 （分数：2.50）A.a=3，b=1 B.a=1，b=3C.
24、a=-1，b=-3D.a=-3，b=-1解析：解析 AB，令 为 A的特征值，则|A|=|B|且|E-A|=|E-B|解得 a=3，b=1答案为 A26.已知 A、B 均 n方阵且 A与 B相似，若 A 2 =E，则 B 2 为_ A.A2 B.A C.E D.A2-E（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 存在可逆矩阵 P使 B=P -1 AP，因此 B 2 =P -1 APP -1 AP=P -1 A 2 P=P -1 P=E答案为C27.与矩阵 相似的对角矩阵为_ A B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 由于矩阵 的特征多项式为 28.下列结论错误的有_
25、A.如果 AB，则|E-A|=|E-B| B.如果 AB，则 A与 B都可逆 C.如果 AB，则 ATB T D.如果 AB，则 tr(A)=tr(B)（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 AB，必有|E-A|=|E-B|，A T B T ，tr(A)=tr(B)，但 A与 B不一定都可逆，故本题选 B其他选项均正确答案为 B29.设 （分数：2.50）A.2B.1 C.3D.0解析：解析 由于相似矩阵具有相同的特征值，如果知道 B的特征值，那么由特征值定义即可求得 B 2 的特征值由|I-A|=(+1)(-2)(-3)=0，得 A的特征值为 1 =-1， 2 =2， 3 =3，又
26、A与 B相似，从而 A与 B有相同的特征值，故 1 =-1， 2 =2， 3 =3，亦为 B的特征值若 i 为 B的特征值，由定义存在非零向量 X，使 BX=A i X，两边左乘 B得 即若 i 是 B的特征值，则 30.n阶矩阵 A相似于对角阵的充要条件是_（分数：2.50）A.A有 n个特征值B.A的行列式不等于零C.A的特征多项式无重根D.A有 n个线性无关的特征向量 解析：解析 由相似矩阵基本定理知答案为 D31.设 A的特征值为 1，-1，向量 是属于 1的特征向量， 是属于-1 的特征向量，则下列论断正确的是_（分数：2.50）A. 和 线性无关 B.+ 是 A的特征向量C. 与
27、线性相关D. 与 必正交解析：解析 属于不同特征值的特征向量必线性无关答案为 A32.关于向量内积的基本性质，下列说法错误的是_ A.(，)=(，) B.(k，)=k(，) C.(，)0 D.(，) 2(，)(，)（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 由向量内积的定义知答案为 B(k，)=(，k)=k(，)答案为 B33.向量组 是标准正交向量组，则 a，b，c，d 取值_ Aa=1，b=2，c=3，d=4 B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 本题考查标准正交向量组的定义，任意两个正交、长度都为 1，解得34.设 A为正交阵，则_ A.A=E B.|A|=1
28、C.A-1=AT D.|A|0（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 A 为正交阵，故 AA T =E，得 A -1 =A T 答案为 C35.设 A，B 是同阶正交矩阵，则下列命题不正确的是_ A.A-1也是正交矩阵 B.A*也是正交矩阵 C.AB也是正交矩阵 D.A+B也是正交矩阵（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 设 A=E，B=-E，则 A、B 均为正交矩阵，但 A+B为零矩阵不是正交矩阵答案为 D36.n阶实方阵 A的 n个行向量构成一组标准正交向量组，则 A是_（分数：2.50）A.对称矩阵B.正交矩阵 C.反对称矩阵D.|A|=n解析：解析 由已知 A的 n个
29、行向量构成 R n 的一组标准正交基，故由教材中定理 533 知 A为正交矩阵答案为 B37.设 A为 n阶实对称方阵且为正交矩阵，则有_ A.A=I B.A相似于 I C.A2=I D.A合同于 I（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 A 为实对称矩阵A T =A又 A为正交矩阵 AA T =IA 2 =I答案为 C38.设 A，B 均是 n阶实对称矩阵，则正确的命题是_（分数：2.50）A.若 A与 B等价，则 A与 B相似B.若 A与 B相似，则 A与 B合同 C.若 A与 B合同，则 A与 B相似D.若 A与 B等价，则 A与 B合同解析：解析 矩阵 A与 B相似的充分必要条件为存在正交矩阵 P，使得 P -1 AP=P T AP=B，因此，若两个同形矩阵相似则必定合同，反之不一定答案为 B39.设三阶矩阵 A与 B相似，且已知 A的特征值为 2，2，3则|B -1 |=_ A B （分数：5.00）A. B.C.D.解析：解析 A 与 B是相似矩阵 B=P -1 AP，B -1 =(P -1 AP) -1 =P -1 A -1 P
