1、线性代数自考题分类模拟 11 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：12，分数：24.00)1.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0，且 A 的秩为 n-1，则齐次线性方程组 Ax=0 的通解为 1 （分数：2.00）2.设 1 ， 2 ， 3 是 Ax=0 的基础解系，则 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1 也是 Ax=0 的基础解系的充要条件为 1 （分数：2.00）3.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）4.设矩阵 A 为 46 矩阵，如果秩 A=3，则齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有解向量的个数为 1 （分数：2.00）5.设
2、 A 为 n 阶矩阵，B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则|A|= 1 （分数：2.00）6.设 A 是 43 非零矩阵， （分数：2.00）7.设 1 ， 2 ， r 是非齐次线性方程组 AX= 的解，若 k 1 1 +k 2 2 +k r r 也是 AX= 的解，则 k 1 ，k 2 ，k r 满足的条件是 1 （分数：2.00）8.已知 Ax=b 为 4 元线性方程组，r(A)=3， 1 ， 2 ， 3 为该方程组的 3 个解，且 （分数：2.00）9.已知线性方程组 （分数：2.00）10.若线性方程组 （分数：2.00）11.已知线性方
3、程组 （分数：2.00）12.设 A 是 34 矩阵且秩 A=3，若 1 ， 2 是非齐次线性方程组 AX=B 的两个不同解向量，则 AX=B 的通解为 1 （分数：2.00）二、计算题(总题数：7，分数：28.00)13.求 的值使齐次线性方程组 （分数：4.00）_14.判断线性方程组 （分数：4.00）_15.a、b 的值使线性方程组 （分数：4.00）_16.设三元非齐次线性方程组 Ax=b 的 r(A)=2， 1 =(1，2，2) T ， 2 =(3，2，1) T 是 Ax=b 的两个解，求该方程组的通解 （分数：4.00）_17.设向量组 （分数：4.00）_18.已知四元非齐次线
4、性方程组 Ax=b 的 r(A)=3， 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 （分数：4.00）_19.已知矩阵 （分数：4.00）_三、证明题(总题数：9，分数：48.00)20.设 A 是 n 阶方阵，已知线性方程组 Ax=0 有非零解，求证：对任意的自然数 k，线性方程组 A k x=0 也有非零解 （分数：5.00）_21.求证：若非齐次线性方程组 Ax=b 有解，则它有惟一解的充要条件是它的相伴齐次线性方程组 Ax=0 只有零解 （分数：5.00）_22.设齐次线性方程组 （分数：5.00）_23.设 1 ， 2 ， 3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，证明： 1 +
5、 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 也是该方程组的一个基础解系 （分数：5.00）_24.设 1 ， 2 ， 3 是齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，证明： 1 =2 1 -2 2 ， 2 =2 1 -2 2 + 3 ， 3 = 2 +4 3 也是 AX=0 的基础解系 （分数：5.00）_25.设齐次线性方程组 Ax=0 的系数行列式|A|=0，而|A|中元素 a ij 的代数余子式 A ij 0 求证：该方程组的所有解均可写成如下形式 （分数：5.00）_26.设 A 为 nm 阶矩阵，B 为 mn 阶矩阵，且 AB=E，证明：B 的列向量组线性无关 （分数：5.00）_设 是非齐次
6、线性方程组 Ax=b 的一个解 1 ， 2 ， n-r 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系证明：（分数：8.00）(1).， 1 ， 2 ， n-r 线性无关；（分数：4.00）_(2).，+ 1 ，+ 2 ，+ n-r ，是 Ax=b 的 n-r+1 个线性无关的解（分数：4.00）_27.设 1 ， 2 ， m 是线性方程组 Ax=b 的 m 个解，当 k 1 +k 2 +k m =1 时，证明： （分数：5.00）_线性代数自考题分类模拟 11 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：12，分数：24.00)1.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0
7、，且 A 的秩为 n-1，则齐次线性方程组 Ax=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析：k(1，1，1) T ，(k 为任意常数) 解析 因为 A 的秩为 n-1，所以方程组 AX=0 的解空间是一维的 n-R(A)=1因为 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，得(1，1，1) T 是一个非零解(就是基础解系)，所以通解为 k(1，1，1) T ，(k 为任意常数)2.设 1 ， 2 ， 3 是 Ax=0 的基础解系，则 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1 也是 Ax=0 的基础解系的充要条件为 1 （分数：2.00）解析：1 解析 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1 线
8、性无关时，便是 Ax=0 的基础解系 设存在一组数 k 1 ，k 2 ，k 3 使 k 1 ( 1 - 2 )+k 2 ( 2 - 3 )+k 3 ( 3 - 1 )=0， (k 1 -k 3 ) 1 +(k 2 -k 1 ) 2 +(k 3 -k 2 ) 3 =0， 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 且此方程只有零解，故 3.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）解析：-2 或 1 解析 由于齐次线性方程组有非零解，系数行列式 4.设矩阵 A 为 46 矩阵，如果秩 A=3，则齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有解向量的个数为 1 （分数：2.00）解析：3解析 由于 AX=0 是
9、 6 个未知量的齐次线性方程组6-r(A)=6-3=3，所以基础解系中含有 3 个解向量5.设 A 为 n 阶矩阵，B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则|A|= 1 （分数：2.00）解析：0解析 根据题意即 Ax=0 有非零解6.设 A 是 43 非零矩阵， （分数：2.00）解析：1解析 由于 r(B)=2，又 AB=0，所以 B 的列向量均为 AX=0 的解向量，即 AX=0 的基础解系至少含有两个解向量所以 r(A)1；又 A 不是零矩阵，因此 r(A)0，所以一定有 r(A)=17.设 1 ， 2 ， r 是非齐次线性方程组 AX= 的
10、解，若 k 1 1 +k 2 2 +k r r 也是 AX= 的解，则 k 1 ，k 2 ，k r 满足的条件是 1 （分数：2.00）解析：k 1 +k 2 +k r =1 解析 由于 A i =，i=1，2，r，因此 A(k 1 1 +k 2 2 +k r r )=k 1 A 1 +k 2 A 2 +k r A r =(k 1 +k 2 +k r )=， 所以 k 1 +k 2 +k r =18.已知 Ax=b 为 4 元线性方程组，r(A)=3， 1 ， 2 ， 3 为该方程组的 3 个解，且 （分数：2.00）解析： 解析 A( 1 + 3 )=A 1 +A 3 =2b 2A 1 =2
11、b A( 1 + 3 )=2A 1 A( 1 + 3 )=2A 1 =0即 A( 1 + 3 -2 1 )=0 1 + 3 -2 1 是 Ax=0 齐次方程组的解， 又 (A)=3，齐次方程组 Ax=0 只有一解 所以该线性方程的通解为 9.已知线性方程组 （分数：2.00）解析：-1解析 当 =-1 时，第 4 个方程为矛盾方程，因而无解10.若线性方程组 （分数：2.00）解析：12解析 对增广矩阵作初等行变换，有 因此可见，r(A)=2，如果方程有解，必有11.已知线性方程组 （分数：2.00）解析：-a 1 +a 2 -a 3 +a 4 =0 解析 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，
12、有 12.设 A 是 34 矩阵且秩 A=3，若 1 ， 2 是非齐次线性方程组 AX=B 的两个不同解向量，则 AX=B 的通解为 1 （分数：2.00）解析：k( 1 - 2 )+ 1 解析 由于 r(A)=3，所以齐次线性方程组基础解系中含有 4-3=1 个解向量，又 1 - 2 是 AX=O 的一个非零解，因此 1 - 2 是 AX=O 的基础解系，所以 AX=B 的通解为 k( 1 - 2 )+ 1 ，k 为任意实数二、计算题(总题数：7，分数：28.00)13.求 的值使齐次线性方程组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：齐次线方程组有非零解的充要条件是系数行列式 所以 =
13、1 或 =-2 对于 =1，同解方程组为 x 1 +x 2 +x 3 =0，自由未知量为 x 2 ，x 3 ，方程组通解为 对于 =-2，对系数矩阵作初等行变换，有 同解方程组为 自由未知量为 x 3 ，方程组通解为 14.判断线性方程组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解： 由此得 15.a、b 的值使线性方程组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：对增广矩阵作初等行变换，有 由此可见，当 a=b=0 时，增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=2未知量个数，方程组有无穷多解，并且当a=b=0 时，线性方程组的同解方程组为 所以方程组通解为 16.设三元非齐次线性方程组 Ax=b 的 r
14、(A)=2， 1 =(1，2，2) T ， 2 =(3，2，1) T 是 Ax=b 的两个解，求该方程组的通解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：提示 1 - 2 =(-2，0，1) T 是 Ax=0 是基础解系所以通解为(1，2，2) T +c(-2，0，1) T (c 为任意常数)17.设向量组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 ，则 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 是线性方程组 的解，对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，有 18.已知四元非齐次线性方程组 Ax=b 的 r(A)=3， 1 ， 2 ， 3
15、 是它的三个解向量，且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：提示Ax=0 的基础解系为： 所以通解为 19.已知矩阵 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：由于|A|=10，所以矩阵 A 可逆，经计算 因此 三、证明题(总题数：9，分数：48.00)20.设 A 是 n 阶方阵，已知线性方程组 Ax=0 有非零解，求证：对任意的自然数 k，线性方程组 A k x=0 也有非零解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明设 A 的秩为 r，因为齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，故 rn，即 A 是奇异阵因此对任意的自然数 k，A k 也是奇异阵，即 A k 的秩也小于 n，因
16、此方程组 A k x=0 也有非零解21.求证：若非齐次线性方程组 Ax=b 有解，则它有惟一解的充要条件是它的相伴齐次线性方程组 Ax=0 只有零解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明若 Ax=0 有非零解，则必有无穷多组解，于是 Ax=b 也有无穷多组解反之若 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 只有一组解22.设齐次线性方程组 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明由秩 A=n-1，故|A|中存在 n-1 阶子式 D 1 0，设 D 1 是在|A|中划去第 i 行第 j 列所得，于是，(-1) i+j D 1 =A ij ，又 a i1 A i1 +a i2 A i2 +a
17、 in A in =D=0，而 a i1 A j1 +a i2 2A j2 +a in A jn =0(ij)，故(A i1 ，A i2 ，A in )确为 Ax=0 的一个非零解，而秩 A=n-1，故 Ax=0 的基础解系中仅含有一个解向量，即 =(A i1 ，A i2 ，A in )是基础解系，故所有解均为 k 的形式，即(kA i1 ，kA i2 ，kA in )23.设 1 ， 2 ， 3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，证明： 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 也是该方程组的一个基础解系 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明首先，因 Ax=0 的解构成一
18、个线性空间，其对加法和数乘封闭故当 1 ， 2 ， 3 是Ax=0 的解时， 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 也都是解其次，记 Ax=0 的解空间为 W A ，则 1 ， 2 ， 3 是 W A 的基，而向量 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 在此基上的坐标列分别为 它们线性无关，因为 24.设 1 ， 2 ， 3 是齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，证明： 1 =2 1 -2 2 ， 2 =2 1 -2 2 + 3 ， 3 = 2 +4 3 也是 AX=0 的基础解系 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明由于 A 1 =2A 1 -2A 2 =0，A 2 =
19、2A 1 -2A 2 +A 3 =0，A 3 =A 2 +4A 3 ，所以 1 ， 2 ， 3 是 AX=0 的解向量，再设 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0 则(2k 1 +2k 2 ) 1 +(-2k 1 -2k 2 +k 3 ) 2 +(k 2 +4k 3 ) 3 =0 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，k 1 ，k 2 ，k 3 是齐次线性方程组 的解，而这个齐次线性方程组的系数行列式 25.设齐次线性方程组 Ax=0 的系数行列式|A|=0，而|A|中元素 a ij 的代数余子式 A ij 0 求证：该方程组的所有解均可写成如下形式 （分数：5.00）_正确答案：()解
20、析：证明只需证 是 Ax=0 的基础解系即可 由|A|=0，A ij 0 可得 r(A)=n-1 于是 Ax=0 的基础解系存在，且含有一个非零解 而 即 26.设 A 为 nm 阶矩阵，B 为 mn 阶矩阵，且 AB=E，证明：B 的列向量组线性无关 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明因 AB=E，故 r(AB)=r(E)=n，又 n=r(AB)r(B)minm，nn， 所以 r(B)=n 因为 B 为 mn 矩阵，其列向量组含 n 个向量，记为 1 ， 2 ， n ，则 r( 1 ， 2 ， n )=r(B)=n 从而 1 ， 2 ， n 线性无关设 是非齐次线性方程组 Ax=b
21、 的一个解 1 ， 2 ， n-r 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系证明：（分数：8.00）(1).， 1 ， 2 ， n-r 线性无关；（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明设存在一组数 k 1 ，k 2 ，k n-r ，k 使得 k 1 1 +k 2 2 +k n n-r +k=0 则 k=0，否则 是 1 ， 2 ， n-r 的线性组合，从而是 Ax=0 的解，与 是 Ax=b 的解矛盾， 再进一步地得到 k 1 =k 2 =k n-r =k=0， 即证得 ， 1 ， 2 ， n-r 线性无关(2).，+ 1 ，+ 2 ，+ n-r ，是 Ax=b 的 n-r+1 个线性无关的解（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明，+ 1 ，+ 2 ， n-r 是 AX=b 的解， 2 ， n-r 线性无关，27.设 1 ， 2 ， m 是线性方程组 Ax=b 的 m 个解，当 k 1 +k 2 +k m =1 时，证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明由已知条件 A i =b，i=1，2，3，m，所以 A=A(k 1 1 +k 2 2 +k m m ) =k 1 A 1 +k 2 A 2 +k m A m =k 1 b+k 2 b+k m b=(k 1 +k m )b=b， 所以 是 Ax=b 的解
