1、线性代数自考题-9 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.设 A、B 为 n阶方阵，满足 A2=B2，则必有_ A.A=B B.A=-B C.|A|=|B| D.|A|2=|B|2（分数：2.00）A.B.C.D.2.设 A是 2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与 A等价的矩阵是_ A B C D（分数：2.00）A.B.C.D.3.线性方程组 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A是 n阶矩阵，C 是 n阶正交阵，且 B=CAC，则下述结论_不成立 A.A与 B相似
2、B.A与 B等价 C.A与 B有相同的特征值 D.A与 B有相同的特征向量（分数：2.00）A.B.C.D.5.当 t为_，二次型 f(x1，x 2，x 3)= +2tx1x2+2x1x3是正定的A|t|2 B|t|3C （分数：2.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.函数 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 （分数：2.00）填空项 1:_8.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_9.设向量组的秩为 r1，向量组的秩为 r2，且可由表出，则 r1、r 2的关系为 1（分数：2.00）填空项
3、 1:_10.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_11.三元非齐次线性方程组 Ax=b的 r(A)=2，且 1=(1，2，2) T， 2=(3，2，1) T是 Ax=b的两个解，则Ax=b的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 3阶矩阵 A的 3个特征值为 1，2，3，则|A *|=_（分数：2.00）填空项 1:_13.若 （分数：2.00）填空项 1:_14.设向量 =(1，1，1)，则它的单位化向量为_（分数：2.00）填空项 1:_15.f(x1，x 2，x 3)= （分数：2.00）填空项 1:_五、B计算题/B(总题数：7，分数：63.00)16.计算 n+1阶
4、行列式 （分数：9.00）_17.设方阵 A、B 满足 AB+E=A2+B，且（分数：9.00）_18.设 A为 n阶方阵(n3)，秩 r(A)=r，求 A的伴随矩阵 A*的秩（分数：9.00）_19.设 3维列向量 1， 2， 3， 1， 2， 3，满足： 1+ 3+2 1- 2=0，3 1- 2+ 1- 2=0，- 2+ 3- 2+ 3=0，且| 1， 2， 3|=4，求| 1， 2， 3|（分数：9.00）_20.设 1， 2， 3是 4元非齐线性方程组 AX=B的三个解向量，并且 r(A)=3， （分数：9.00）_21.设三阶实对称矩阵 A的特征值为 1，2，3， ， 2= （分数：
5、9.00）_22.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= +2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换 x=Py化成 f= （分数：9.00）_六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)23.设 为非齐次线性方程组 Ax=b的一个解， 1， 2， r，是其导出组 Ax=0的一个基础解系，证明 ， 1， 2， r线性无关（分数：7.00）_线性代数自考题-9 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.设 A、B 为 n阶方阵，满足 A2=B2，则必有_ A.A=B
6、 B.A=-B C.|A|=|B| D.|A|2=|B|2（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 2=B2，A 2=AA=BB=B2，|A 2|=|B2|，|AA|=|BB|AA|=|A|A|=|A| 2，|BB|=|B|B|=|B| 2，|A| 2=|B|2答案为 D2.设 A是 2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与 A等价的矩阵是_ A B C D（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 是 2阶可逆矩阵，A 的秩为 2，由于两矩阵等价则矩阵的秩相等，由题知 D答案中矩阵秩为 2，所以选 D答案为 D3.线性方程组 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 当 0 且
7、-1 时有惟一解，当 =-1 时有无穷多解，当 =0 时无解答案为 A4.设 A是 n阶矩阵，C 是 n阶正交阵，且 B=CAC，则下述结论_不成立 A.A与 B相似 B.A与 B等价 C.A与 B有相同的特征值 D.A与 B有相同的特征向量（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 C 是正交阵，C=C -1，B=C -1AC，因此 A与 B相似A 对 C是正交阵|C|0，C TAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A 与 B等价，B 对两个相似矩阵 A、B 有相同的特征值，C对(I-A)X=0 与(I-B)X=0 是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程
8、的非零解常常不同，所以只有 D不对，选 D答案为 D5.当 t为_，二次型 f(x1，x 2，x 3)= +2tx1x2+2x1x3是正定的A|t|2 B|t|3C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 二次型的矩阵*各阶顺序主子式为 20， *， 即*，*，即* 因为*，故当*时，f 正定答案为 C三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 只有主对角线上都含有 x项，由行列式的性质得 2x(-x)(-x)=2x3，x 3的系数为 27.设 （分数
9、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 |A|=1 利用公式*， 由*知*|A|=1111=1 故*8.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 * *9.设向量组的秩为 r1，向量组的秩为 r2，且可由表出，则 r1、r 2的关系为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：r 1r 2）解析：解析 向量组可由表出，故向量组的秩向量组的秩，即 r1r 210.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 *由此得 r(A)=2，所以 AX=0的自由未知量有 4-2=2个，基础解系中含有 2个解向量11.三元非齐次线性方
10、程组 Ax=b的 r(A)=2，且 1=(1，2，2) T， 2=(3，2，1) T是 Ax=b的两个解，则Ax=b的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*(c 为任意常数)）解析：解析 r(A)=2 知三元非齐次方程 Ax=b的基础解系只有一个解向量， 1=(1，2，2)T， 2=(3，2，1) T是 Ax=6的两个解，故 1- 2=(-2，0，1) T是 Ax=0的一个解向量，故 Ax=b的通解为*(c为任意常数)12.已知 3阶矩阵 A的 3个特征值为 1，2，3，则|A *|=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：36）解析：解析 *而 1=1， 2=2，
11、 3=3|A|=123-6AA *=|A|EAA *=6E两边同时求行列式有，|AA *|=|6E|=63*|A|A|=63|A *|=3613.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：72）解析：解析 *，故*14.设向量 =(1，1，1)，则它的单位化向量为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 * *， 根据单位向量定义可知：|=1 为单位向量 =(1，1，1)的单位化向量为*答案为*15.f(x1，x 2，x 3)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k2）解析：解析 它是正定二次型当且仅当它的所有系数都是正数 k2五、B计算题/B(总题数
12、：7，分数：63.00)16.计算 n+1阶行列式 （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：17.设方阵 A、B 满足 AB+E=A2+B，且（分数：9.00）_正确答案：(由于 AB-B=A2-E，(A-E)B=(A-E)(A+E)，又|A-E|=*=-10即 A-E可逆，所以 B=(A-E)-1(A-E)(A+E)=A+E=*)解析：18.设 A为 n阶方阵(n3)，秩 r(A)=r，求 A的伴随矩阵 A*的秩（分数：9.00）_正确答案：(当 r(A)=n时，A 可逆，则 A*也可逆，因此 r(A*)=n；当 r(A)=n-1时，|A|=0，因此 AA*=|A|E=0，即 A*的 n个
13、列向量均为齐次线性方程组 Ax=0的解向量，由于 r(A)=n-1，AX=0 的基础解系仅含一个解向量，所以 A*的列向量的秩1；又 r(A)=n-1，A 中存在一个不为 0的 n-1阶子式，故 A*的 n个列向量中至少有一个不为零向量，所以 A*的列向量的秩1，由以上讨论可知，r(A *)=1当 r(A)n-1 时，A 的每一个 n-1阶子式均为零，即 A*是零矩阵，所以 r(A*)=0所以*)解析：19.设 3维列向量 1， 2， 3， 1， 2， 3，满足： 1+ 3+2 1- 2=0，3 1- 2+ 1- 2=0，- 2+ 3- 2+ 3=0，且| 1， 2， 3|=4，求| 1， 2
14、， 3|（分数：9.00）_正确答案：(由条件可知*而*，*，所以*，两边取行列试，得*即| 1， 2， 3|=-4| 1， 2， 3|=-16)解析：20.设 1， 2， 3是 4元非齐线性方程组 AX=B的三个解向量，并且 r(A)=3， （分数：9.00）_正确答案：(由于 r(A)=3，所以齐次线性方程组 AX=0的基础解系含有一个解向量，又 A2 1-( 2+ 3)=2A 1-A 2-A 3=2B-B-B=0，因此*是 AX=0的一个非零解向量是 AX=0的基础解系，所以 AX=B的通解为*(k 为任意实数)解析：21.设三阶实对称矩阵 A的特征值为 1，2，3， ， 2= （分数：
15、9.00）_正确答案：(设属于 3的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，由( 1， 2)=0，( 2， 3)=0得*所以*即 3=k(1，0，1) T又因为 A的特征值为 1，2，3，所以*即 P-1AP=A于是*)解析：22.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= +2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换 x=Py化成 f= （分数：9.00）_正确答案：(根据假设条件知，变换后二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵分别为*，二次型 f可以写成 f=XTAX，f=Y TBY由于 PTAP=B，且 P为正交矩阵，故 PT=P-1，于是有 P-1AP=B，即 AB，所以有|
16、I-A|=|I-B|，即* 由此可得方程 3-3 2+(2-a2-b2)A+(a-b)2= 3-3 2+2，从而有方程组*解之得 a-b=0，为所求的常数)解析：六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)23.设 为非齐次线性方程组 Ax=b的一个解， 1， 2， r，是其导出组 Ax=0的一个基础解系，证明 ， 1， 2， r线性无关（分数：7.00）_正确答案：(证明 证一：因为 1， 2， r，是 Ax=0的基础解系，所以 1， 2， r线性无关，若 ， 1， 2， r线性无关，则 必可由 1， 2， r线性表出，从而 为 Ax=0的解，这与 为 Ax=b的解矛盾，故 ， 1， 2， r线性无关证二(反正法)：若 ， 1， 2， r线性相关，则存在不全为零的数 l，k 1，k 2，k r使l+k 1 1+k2 2+kr r=0若 l0，则*即 可以由 1， 2， r线性表出，由此可得 为 Ax=0的解，与已知矛盾，故 l=0从而 k1，k 2，k r不全为零，使 k1 1+k2 2+kr r=0，这表明 1， 2， r线性相关，与 1， 2， r为 Ax=0的基础解系矛盾所以 ， 1， 2， r线性无关)解析：
