1、线性代数自考题-8 及答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.设 A，B 是两个同阶的上三角矩阵，那么 ATBT是矩阵_ A.上三角 B.下三角 C.对角形 D.即非上三角也非下三角（分数：2.00）A.B.C.D.2.设 A 是 n 阶方阵，且|A|=5，则|(5A T)-1|=_ A.5n+1 B.5n-1 C.5-n-1 D.5-n（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B，A+B，A -1+B-1均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1=_ A.A-1
2、+B-1 B.A+B C.A(A+B)-1B D.(A+B)-1（分数：2.00）A.B.C.D.4.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.B.C.D.5.已知线性方程组 （分数：2.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_7.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9.k=_时，向量组 1=(6，k+1，7)， 2=(k，2，2)， 3=(k，1，0)线性相关（分数：2.00）填空项 1:_10.已知 是 R3的一组基
3、，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.若线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知方阵 A 相似于对角矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_14.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(2x1-x2+3x3)2的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_五、B计算题/B(总题数：1，分数：9.00)在 Q(x，y，z)=(x 2+y2+z2)+2xy+2xz-2yz 中，问：（分数：9.00）(1). 取什么值时，Q 为正定的?（分数：3.00）_(2). 取什么值时，Q 为负定的?（分
4、数：3.00）_(3).当 =2 和 =-1 时，Q 为什么类型?（分数：3.00）_六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)16.设 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，B 为 n 阶实矩阵，证明：B TAB 为正定矩阵的充分必要条件是|B|0（分数：7.00）_线性代数自考题-8 答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.设 A，B 是两个同阶的上三角矩阵，那么 ATBT是矩阵_ A.上三角 B.下三角 C.对角形 D.即非上三角也非下三角（分数：2.00）A.B.
5、C.D.解析：解析 A T，B T均为下三角阵，因此 ATBT也是下三角阵答案为 B2.设 A 是 n 阶方阵，且|A|=5，则|(5A T)-1|=_ A.5n+1 B.5n-1 C.5-n-1 D.5-n（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为|A|=5，所以* * =*答案为 C3.设 A，B，A+B，A -1+B-1均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1=_ A.A-1+B-1 B.A+B C.A(A+B)-1B D.(A+B)-1（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由于(A -1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(
6、B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B)(A+B)-1B=B-1B=I，所以(A -1+B-1)-1=A(A+B)-1B答案为 C4.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 齐次线性方程系数矩阵 A 的秩为：r(A)=34，故齐次线性方程组有无穷多个解答案为B5.已知线性方程组 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 对方程组的增广矩阵进行初等变换，依次将第一行、第二行和第三行加到第四行上： * 这时就可发现若 =-3，则矩阵最后一行前面 4 个数等于 0，而最后一个数等于 4，用方程式表示将得到0=4，这表明方程组无解，故应该选 B答案为 B三、
7、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：7）解析：解析 由于*，因此 x=-1 所以*7.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 a 为行列式 D 的 a23项，故 a 的代数余子式为 A23，且*9.k=_时，向量组 1=(6，k+1，7)， 2=(k，2，2)， 3=(k，1，0)线性相关（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k=4 或*）解析：解析 * 解得
8、 k=4 或*10.已知 是 R3的一组基，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 以 1， 2， 3， 为列向量的矩阵作初等行变换，有*因此*，即 在 1， 2， 3下的坐标为*11.若线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 对增广矩阵作初等行变换， 有*，当 -20 时，增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=2，因此方程有解；当 -2=0 时，增广矩阵的秩=2，而系数矩阵的秩=1，方程无解，所以 -2=0，即 =212.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-1，1）解析：解析 特征方程|E n-A|=* 1=-1， 2=1
9、13.已知方阵 A 相似于对角矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：E）解析：解析 存在可逆矩阵 P 使*，因此 A=P*， 所以* =*14.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(2x1-x2+3x3)2的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 f(x 1+x2+x3)=(2x1-x2+3x3)2=*-4x1x2+12x1x3+*-6x2x3+*，由二次型矩阵的定义知，矩阵为*15.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 矩阵 A 正定，因此顺序主子式大于 0， |1|=10，*，*，所以 a 的最大取值范围是*五、
10、B计算题/B(总题数：1，分数：9.00)在 Q(x，y，z)=(x 2+y2+z2)+2xy+2xz-2yz 中，问：（分数：9.00）(1). 取什么值时，Q 为正定的?（分数：3.00）_正确答案：(用 Q 正定*它的矩阵的各阶顺序主子式皆为正数因*故 D1=A，D 2= 2-1，D 3=(-2)(+1) 2所以要 Q 正定，必须 0， 21，2，故 2 为答案)解析：(2). 取什么值时，Q 为负定的?（分数：3.00）_正确答案：(Q 负定*D 10，D 20，D 30，即 0， 21，2*-1所以 -1 时，Q 负定)解析：(3).当 =2 和 =-1 时，Q 为什么类型?（分数：
11、3.00）_正确答案：(当 =2 时，A 的所有主子式均为正数或 0，所以 Q 是半正定的(因a11=a22=a33=20，detA=0，二阶主子式有 3 个值均为 3)或用配方法*，所以 Q 半正定当 =-1 时，Q=-(x-y-z) 2，故 Q 半负定)解析：六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)16.设 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，B 为 n 阶实矩阵，证明：B TAB 为正定矩阵的充分必要条件是|B|0（分数：7.00）_正确答案：(证明 如果|B|0，则齐次线性方程组 BX=0 仅有零解，所以对一切非零向量 X 有 Y=BX 也是非零向量，而 A 正定，因此 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)=YTAY0即 BTAB 正定反之，如果 BTAB 正定，则|B TAB|0所以|B T|A|B|=|A|B|20，当然有|B|0)解析：
