1、线性代数自考题-7 及答案解析(总分：55.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1. （分数：2.00）A.B.C.D.2.若 n 阶方阵 A 满足 A2-2A-3I=0，且矩阵 A 可逆则 A-1=_AA-2I B2I-AC D （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 是 n(2)阶可逆方阵，k 是一实常数且不为零，下列等式不成立的是_ A.(AB)-1=B-1A-1 B.(kA)-1=k-1A-1 C.(A)-1=(A-1)，A表示 A 的转置阵 D.(AB)-1=A-1B-1（分
2、数：2.00）A.B.C.D.4.设 A 为 mn 矩阵，秩为 r，C 为 n 阶可逆矩阵，矩阵 B=AC，秩(B)=r 1，则_ A.r1r 2 B.rr 1 C.r=r1 D.r1与 C 有关（分数：2.00）A.B.C.D.5.以下各线性方程组中，解空间的基是 1=(1，-1，1，-1，1) T， 2=(1，1，0，0，3)T， 3=(3，1，1，-1，7) T， 4=(0，2，-1，1，2) T的方程组是_A B （分数：2.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.已知四阶行列式 D 的第一行
3、元素依次为 1，3，0，-2，第三行元素对应的代数余子式依次为 8，k，-7，10，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9.已知 =(2，1，3)，=(-1，3，6)则 2+3= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.当 k 为_时，向量组 ， （分数：2.00）填空项 1:_11.已知线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知三阶矩阵 A 的特征值分别为 1、-1、2，则|A-5E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 n 阶方阵 A 与 B 相似且 A2=A，则 B2= 1（分数
4、：2.00）填空项 1:_14.设三阶矩阵 A 的特征值为 1，4，6，对应的特征向量分别为 （分数：2.00）填空项 1:_15.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：2.00）填空项 1:_五、B计算题/B(总题数：1，分数：18.00)设三阶实对称矩阵 A 满足 A2+2A=O，而且 r(A)=2（分数：18.00）(1).求出 A 的全体特征值（分数：9.00）_(2).当 k 为何值时，kE 3+A 必为正定矩阵?（分数：9.00）_六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)16.设 A，B 是 n 阶正交矩阵，证明：AB 也是正交矩阵（分数：7.00）_线性代数自考题
5、-7 答案解析(总分：55.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 *，答案为 C2.若 n 阶方阵 A 满足 A2-2A-3I=0，且矩阵 A 可逆则 A-1=_AA-2I B2I-AC D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 A(A-2I)=3I，因此*，所以 A-1*答案为 D3.设 A，B 是 n(2)阶可逆方阵，k 是一实常数且不为零，下列等式不成立的是_ A.(AB)-1=B-1A-1 B.(kA)-1=k-1A-1
6、 C.(A)-1=(A-1)，A表示 A 的转置阵 D.(AB)-1=A-1B-1（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查矩阵求逆阵运算法则选项 A、B、C 均正确，选项 D 中(AB) -1=B-1A-1答案为 D4.设 A 为 mn 矩阵，秩为 r，C 为 n 阶可逆矩阵，矩阵 B=AC，秩(B)=r 1，则_ A.r1r 2 B.rr 1 C.r=r1 D.r1与 C 有关（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 C 为可逆阵，且 B=ACr(B)=r(AC)=r(A)=r，即 r1=r答案为 C5.以下各线性方程组中，解空间的基是 1=(1，-1，1，-1，1)
7、T， 2=(1，1，0，0，3)T， 3=(3，1，1，-1，7) T， 4=(0，2，-1，1，2) T的方程组是_A B （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因 5-r(A)=4，故 r(A)=1于是，只可能为 C 或 D因一眼就能看出，A、B 中两方程的系数都不成比例，故 r(A)=r(B)=2再把解代入验证：因 1满足 C，不满足 D，故选 C答案为 C三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.已知四阶行列式 D 的第一行元素依次为 1，3，0，-2，第三行元素对应的代数余子式依次为 8，k，-7，10，
8、则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解析 根据代数余子性质 8+3k-20=0*k=47.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 (A+B) 2-(A2+AB+B2)=(A+B)(A+B)-(A2+AB+B2)=A2+B2+AB+BA-A2-AB-B2=BA*8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由于*，所以 A*=|A|A-1，(A *)-1=(|A|A-1)-1=*，又|A|=1，所以(A *)-1=A9.已知 =(2，1，3)，=(-1，3，6)则 2+3= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正
9、确答案：(1，11，24)）解析：解析 2+3=(4，2，6)+(-3，9，18)=(1，11，24)10.当 k 为_时，向量组 ， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 1， 2， 3不能构成 R3的一组基 1， 2， 3线性相关*，k=211.已知线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：- 1+ 2- 3+ 4=0）解析：解析 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，有*由此可得- 1+ 2- 3+ 4=0 时线性方程组有解，而- 1+ 2- 3+ 40 时线性方程组无解12.已知三阶矩阵 A 的特征值分别为 1、-1、2，则|A-5E|= 1（分数
10、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-72）解析：解析 A 的特征值分别为 1、-1、2，则 A-5E 的特征值分别为-4，-6，-3故|A-5E|=-7213.设 n 阶方阵 A 与 B 相似且 A2=A，则 B2= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：B）解析：解析 由于 A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 B=P-1AP，所以 B2=P-1APP-1AP=P-1A2P=P-1AP=B14.设三阶矩阵 A 的特征值为 1，4，6，对应的特征向量分别为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 根据特征值和特征向量的定义，有*(Ap 1，Ap 2，A
11、p 3)=(p1，4p 2，6p 3)，即 A(p1，p 2，p 3)=(p1，4p 2，6p 3),*，*15.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：半正定二次型）解析：解析 该题可利用特征值判定 由二次型对应的对称矩阵*，可知 A 的特征值为 0，2，2，故该二次型为半正定二次型五、B计算题/B(总题数：1，分数：18.00)设三阶实对称矩阵 A 满足 A2+2A=O，而且 r(A)=2（分数：18.00）(1).求出 A 的全体特征值（分数：9.00）_正确答案：(设矩阵 A 的特征值 ，则有 A2+2A=0 知， 2+2=0，故 =0 或
12、 =2因为 r(A)=2，=0能是二重根，故 是二重根)解析：(2).当 k 为何值时，kE 3+A 必为正定矩阵?（分数：9.00）_正确答案：(kE 3+A 的特征 k+，kE 3+A 为正定矩阵的充要条件是 kE3+A 有 3 个大于 0 的特征值，故当k0 时，k+0，kE 3+A 必为正定矩阵)解析：六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)16.设 A，B 是 n 阶正交矩阵，证明：AB 也是正交矩阵（分数：7.00）_正确答案：(证明 由已知条件 AAT=ATA=I，BB T=BTB=I，则(AB)(AB) T=ABBTAT=A(BBT)AT=I，所以 AB 也是正交矩阵)解析：
