1、线性代数自考题-4 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.行列式 （分数：2.00）A.B.C.D.2.设 A、B 为 n 阶方阵，且 AB=O(零矩阵)，则_ A.A=O 或 B=O B.A+B=O C.|A|+|B|=0 D.|A|=0 或|B|=0（分数：2.00）A.B.C.D.3. 1=(1，2，3)， 2=(2，1，3)， 3=(-1，1，0), 4=(1，1，1)，则_ A. 1线性相关 B. 1， 2线性相关 C. 1， 2， 3线性相关 D. 1，
2、2， 4线性相关（分数：2.00）A.B.C.D.4.方程组 （分数：2.00）A.B.C.D.5.实二次型 f(x1，x n)=xTAx 为正定的充要条件是_ A.f 的秩为 n B.f 的正惯性指数为 n C.f 的正惯性指数等于 f 的秩 D.f 的负惯性指数为 n（分数：2.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 a、b、c 为互异实数，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A 为 n 阶方阵且|A|=3，则|(3A T)-1|= 1（分数
3、：2.00）填空项 1:_9.若 （分数：2.00）填空项 1:_10.由 m 个 n 维向量组成的向量组，当_时，向量组一定线性相关（分数：2.00）填空项 1:_11.设 1， 2， r是非齐次线性方程组 AX= 的解，若 k1 1+k2 2+kr r，也是 AX= 的解，则 k1，k 3，k r满足的条件是_（分数：2.00）填空项 1:_12.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_13.实对称矩阵 A 满足 A3+A2+A=3I，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.在 R3中向量 （分数：2.00）填空项 1:_15.二次型的矩阵为 （分数：2.00）填空项 1:_五、B
4、计算题/B(总题数：7，分数：63.00)16.计算 （分数：9.00）_17.设矩阵 （分数：9.00）_18.设矩阵 （分数：9.00）_19.设向量组 （分数：9.00）_20.设三元非齐次线性方程组 Ax=b 的 r(A)=2， 1= (1，2，2) T， 2=(3，2，1) T是 Ax=b 的两个解，求该方程组的通解（分数：9.00）_21.设 n 阶可逆阵 A 的每行元素和均为 a(a0)，求 2A-1+E 的一个特征值及对应的特征向量（分数：9.00）_22.设 （分数：9.00）_六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)23.已知向量组 1， 2， m与向量组 1， 2，
5、 m， 有相同的秩，证明： 可由 1， 2， m线性表示（分数：7.00）_线性代数自考题-4 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.行列式 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 行列式展开性质，* *答案为 D2.设 A、B 为 n 阶方阵，且 AB=O(零矩阵)，则_ A.A=O 或 B=O B.A+B=O C.|A|+|B|=0 D.|A|=0 或|B|=0（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于|AB|=|A|B|=|0|=0，所以|A|=
6、0 或|B|=0答案为 D3. 1=(1，2，3)， 2=(2，1，3)， 3=(-1，1，0), 4=(1，1，1)，则_ A. 1线性相关 B. 1， 2线性相关 C. 1， 2， 3线性相关 D. 1， 2， 4线性相关（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 单个非零向量是线性无关的，选项 A 不对而( 1， 2， 3)*，因为含有零向量的向量组一定线性相关，所以 C 是正确，答案为 C4.方程组 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 该方程组的系数矩阵秩等于 1，有 3 个未知数，因此基础解系由 2 个线性无关的向量组成，答案为 B5.实二次型 f(x1，x n)=x
7、TAx 为正定的充要条件是_ A.f 的秩为 n B.f 的正惯性指数为 n C.f 的正惯性指数等于 f 的秩 D.f 的负惯性指数为 n（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由正定的性质即得答案为 B三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：42）解析：解析 的代数余子式为*7.设 a、b、c 为互异实数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：a+b+c=0）解析：解析 abc 为互异实数 *8.设 A 为 n 阶方阵且|A|=3，则|(3A T
8、)-1|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *9.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k1 且 k-2）解析：解析 *=(k-1)2(k+2)0，故 k1 且 k-210.由 m 个 n 维向量组成的向量组，当_时，向量组一定线性相关（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：mn）解析：解析 由于向量组里都是 n 维向量，任意 n+1 个 n 维向量必线性相关， 故 mn 时，向量组线性相关11.设 1， 2， r是非齐次线性方程组 AX= 的解，若 k1 1+k2 2+kr r，也是 AX= 的解，则 k1，k 3，k r满足的条件是_（分数
9、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k 1+k2+kr=1）解析：解析 由于 A i=，i=1，2，r，因此 A(k1 1+k2 2+kr r)=k1A 1+k2A 2+krA r=(k1+k2+kr)=，所以 k1+k2+kr=112.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：=4）解析：解析 A 的特征多项式为 *13.实对称矩阵 A 满足 A3+A2+A=3I，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：I）解析：解析 设矩阵 A 的特征值为 ，则有 3+ 2+=3，即(-1)( 2+2+3)=0由于实对称矩阵的特征值是实数，故 2+2+3=(+1) 2+20
10、，由此可得 A 只有惟一的三重特征值 1，即存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=I，于是有 A=PIP-1=I14.在 R3中向量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 由于( 1，e 1)=a1=0，( 1，e 2)=a2=0，( 1，e 3)=a3=0，所以 为零向量，故=015.二次型的矩阵为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 作可逆线性变换* 二次型化为规范型*五、B计算题/B(总题数：7，分数：63.00)16.计算 （分数：9.00）_正确答案：(将各行乘 1 加到第一行上，提取公因子 3a+b，再利用行列式的性质化为三角形，从而
11、得结果为(3a+b)(b-a) 3)解析：17.设矩阵 （分数：9.00）_正确答案：(由于(A-2E)X=B，所以 *)解析：18.设矩阵 （分数：9.00）_正确答案：(* 因此 A 可逆并且*， 所以*)解析：19.设向量组 （分数：9.00）_正确答案：(以 1， 2， 3为列向量的矩阵作初等行变换，有*因为当 a-2=0 即 a=2 时， 1， 2， 3的秩为 2，而 a-20 即 a2， 1， 2， 3的秩为 3，所以a=2)解析：20.设三元非齐次线性方程组 Ax=b 的 r(A)=2， 1= (1，2，2) T， 2=(3，2，1) T是 Ax=b 的两个解，求该方程组的通解（
12、分数：9.00）_正确答案：( 1- 2=(-2，0，1) T是 Ax=0 是基础解系，所以通解为(1，2，2) T+c(-2，0，1) T(c 为任意常数)解析：21.设 n 阶可逆阵 A 的每行元素和均为 a(a0)，求 2A-1+E 的一个特征值及对应的特征向量（分数：9.00）_正确答案：(由题设知*，所以 a 为 A 的一个特征值且 a0，从而*为 2A-1+E 的一个特征值，对应的特征向量为*)解析：22.设 （分数：9.00）_正确答案：(设*因为 A 是正交阵，所以( 1， 2)=0，( 1， 4)=0，( 2， 3)=0 解得 a=*)解析：六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)23.已知向量组 1， 2， m与向量组 1， 2， m， 有相同的秩，证明： 可由 1， 2， m线性表示（分数：7.00）_正确答案：(证明 设*是 1， 2， m的一个极大无关组，由于 1， 2， m， 的秩也是 r，所以*也是 1， 2， m， 的一个极大无关组，所以 可由*线性表示，而*，*仅是 1， 2， m的一个部分向量组，所以 也可由 1， 2， m线性表示)解析：
