1、线性代数自考题-1 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.若 A，B 均为 n阶方阵，且 AB=0，则_ A. A=O或 B=O B. A+B=O C. |A|=0或|B|=0 D. |A|+|B|=0（分数：2.00）A.B.C.D.2.若 n阶方阵 A可逆，且伴随矩阵 A*也可逆，则 A*的逆矩阵为_AA B|A|2C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 ，则以矩阵 A为
2、对应的二次型是_A. f(x1，x 2，x 3)=B. f(x1，x 2，x 3)=C. f(x1，x 2，x 3)=D. f(x1，x 2，x 3)= （分数：2.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_7.若 ，则 D1= （分数：2.00）填空项 1:_8.已知 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A为 n阶方阵且|A|0，则 A*可逆并且(A *)-1= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.已知向量组 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知齐
3、次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.若三阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知三阶方阵 A的三个特征值为 1，-2，-3，|A|及 A-1，A *，A 2+2A+E的特征值分别为_（分数：2.00）填空项 1:_14.已知方阵 A与方阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：2.00）填空项 1:_五、B计算题/B(总题数：7，分数：63.00)16.计算 （分数：9.00）_17.计算行列式 （分数：9.00）_18.设 （分数：9.00）_19.已知向量组 （分数：9.00）_20.已知 =(1，1，-1) T是 （
4、分数：9.00）_21.设矩阵 的三个特征值分别为 1，2，5，求正常数 a的值，及可逆矩阵 P，使 （分数：9.00）_22.二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：9.00）_六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)23.如果 Ak=O(k为正整数)，求证：(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1（分数：7.00）_线性代数自考题-1 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.若 A，B 均为 n阶方阵，且 AB=0，则_ A. A=O或 B=O B. A+B
5、=O C. |A|=0或|B|=0 D. |A|+|B|=0（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 AB=0*|A|B|=0*|A|=0 或|B|=0答案为 C2.若 n阶方阵 A可逆，且伴随矩阵 A*也可逆，则 A*的逆矩阵为_AA B|A|2C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 A可逆，因此|A|0，又 AA*=A*A=|A|I，所以*，所以*答案为 C3.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 首先已知 1、 2线性无关(其坐标不成比例)，又令 A=( 1， 2， 3)，则 1， 2， 3线性无关*|A|0由于 A的左上角 2阶主子式(记为|A
6、 11|)不等于 0，故选*即可(此时*)答案为 D4.设 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 V(A)=3，所以基础解集含有 4-3=1个向量答案为 A5.设 ，则以矩阵 A为对应的二次型是_A. f(x1，x 2，x 3)=B. f(x1，x 2，x 3)=C. f(x1，x 2，x 3)=D. f(x1，x 2，x 3)= （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 A 的主对角线元素 1对应*系数；a 13=1，a 31=1，之和对应 x1x3系数 2答案为 C三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.0
7、0)6.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解析 *7.若 ，则 D1= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 *8.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *9.设 A为 n阶方阵且|A|0，则 A*可逆并且(A *)-1= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 分析；由于|A|0，故 A可逆且*，所以 A*=|A|A-1，因此*10.已知向量组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k=2）解析：解析 向量 1， 2， 3线性相关，故对 1， 2， 3组成的矩阵作初等变换，即*
8、由于 1， 2， 3线性相关，故 k=211.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-2 或 1）解析：解析 由于齐次线性方程组有非零解，系数行列式 *=(+2) * =-2 或 -112.若三阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：线性无关）解析：解析 AB 知 A和 B有相同的特征值，故 A有 1，2，3 三个不同的特征值，A 为三阶的，故 A的三个特征值对应的三个特征向量线性无关13.已知三阶方阵 A的三个特征值为 1，-2，-3，|A|及 A-1，A *，A 2+2A+E的特征值分别为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：6；1，*；
9、6，-3，-2；4，1，4）解析：解析 本题考查利用公式求特征值与特征向量，设 i为 n阶方阵 A的特征值，p i为 A的对应于特征值 i的特征向量，i=1，2，n，则(1)f(A)的特征值为 f( i)，对应于 f( i)的特征向量为 pi，i=1，2，n，其中 f(x)为 x的多项式；(2)设 A可逆，则 A-1的特征值为*，对应的特征向量为 pi，i=1，2，n；(3)设 A可逆，则 A*的特征值为*，对应的特征向量为 pi，i=1，2，n；(4)AT的特征值为 i，i=1，2，2，对应的特征向量为 pi，i=1，2，n；(5)若 B=P-1AP，则 B的特征值为 ，对应的特征向量为 P
10、-1pi，i=1，2，n；从而有：|A|=1(-2)(-3)=6A-1的特征值为：*A*的特征值为：6，-3，-2；A2+2A+E的特征值为：4，1，414.已知方阵 A与方阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： 1= 2=2， 3=-2）解析：解析 由于 B的特征多项式为*因此 B的特征值为 1= 2=2， 3=-2，而 A与 B相似，因此有相同的特征值15.二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 x 1x2x3平方项系数对应主对角线元素：1，-2，1x1x2的系数-2 对应 a12和 a21的系数的和：a 12=-1a
11、21=-1x1x3的系数 4对应 a13和 a31系数的和：a 13=a31=2x2x3的系数 8对应 a23和 a32的系数的和：a 23=a32=4五、B计算题/B(总题数：7，分数：63.00)16.计算 （分数：9.00）_正确答案：(直接按对角线法则展开，并整理化简得 4a2b2c2)解析：17.计算行列式 （分数：9.00）_正确答案：(* * =-100(-54)=5400)解析：18.设 （分数：9.00）_正确答案：(2E+A) -1(A2-4E)=(2E+A)-1(A+2E)(A-2E)=*)解析：19.已知向量组 （分数：9.00）_正确答案：(3 1-3+2 3+2=5
12、 2+5，6=3 1-5 2+2 3，所以*)解析：20.已知 =(1，1，-1) T是 （分数：9.00）_正确答案：(设对应于特征向量 的特征值为 ，则有 * 得 a=2 b=3)解析：21.设矩阵 的三个特征值分别为 1，2，5，求正常数 a的值，及可逆矩阵 P，使 （分数：9.00）_正确答案：(由|A|=2(9-a 2)=125，得 a=2解方程组(E-A)x=0 得基础解系 1=(0，-1，1) T；解方程组(2E-A)x=0 得基础解系 2=(1，0，0) T；解方程组(5E-A)x=0 得基础解系 3=(0，1，1) T；所求的可逆矩阵 P可取为*，则有*)解析：22.二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：9.00）_正确答案：(二次型的矩阵为* 需*即*)解析：六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)23.如果 Ak=O(k为正整数)，求证：(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1（分数：7.00）_正确答案：(证明(E-A)(E+A+A 2+Ak-1)=E)解析：
